C05 - RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA - Zadania do oddania
Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,
pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia.
Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach!
Nale y wypełni zał czon stron tytułow i dodatkow , wpisuj c wskazane
wyniki.
Zadanie 1
Niech P(A) = 0,0007
⋅k, P(B) = 0,0008⋅k, P(A∪B) = 0,0009⋅k.
Oblicz: a)
)
(
B
A
P
∩
, b)
)
(
B
A
P
∩
′
, c)
)
(
B
A
P
′
∩
′
, d)
)
(
B
A
P
∪
′
, e)
)
(
B
A
P
′
∪
′
.
Zadanie 2
Z przedziału <-k, k> wybrano losowo liczby b, c. Obliczy prawdopodobie stwo, e równanie
0
25
,
0
2
=
+
+
c
bx
kx
ma pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 3
W skrzyni jest k detali wyprodukowanych w zakładzie A, 2k detali wyprodukowanych
w zakładzie B i 5k detali wyprodukowanych w zakładzie C. Wadliwo produkcji
poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 0,01k%, 0,05k % i 0,02k %.
a)
Obliczy prawdopodobie stwo, e losowo wybrany detal oka e si dobry,
b)
Wylosowany detal okazał si wadliwy jakie jest prawdopodobie stwo, e wyprodukował
go zakład B?
Zadanie 4
Zmienna losowa X ma rozkład okre lony funkcj prawdopodobie stwa:
x
k
– 1
0
0,01k
p
k
k
1
,
0
1
k
k
1
,
0
3
1
,
0
−
k
1
,
0
2
a) wyznaczy dystrybuant tej zmiennej losowej i naszkicowa jej wykres,
b) obliczy P(X > 0), P(X
≥ 0), P(X < 1), P(|X| ≥ 1),
c) obliczy EX, D
2
X.
Zadanie 5.
X jest zmienn losow o g sto ci
+
+
∪
−
−
−
−
∈
=
x
innych
dla
k
k
k
k
x
dla
c
x
f
0
]
4
01
,
0
;
2
01
,
0
[
]
1
01
,
0
;
2
01
,
0
[
)
(
a)
wyznaczy c,
b)
wyznaczy dystrybuant ,
c)
obliczy
(
)
3
01
,
0
5
,
1
01
,
0
+
≤
≤
−
−
k
X
k
P
i zinterpretowa na wykresie g sto ci,
d)
wyznacz x, aby
(
)
25
,
0
=
≥ x
X
P
,
e)
obliczy EX, D
2
X
f)
Y = -2X + 1. Oblicz EY, D
2
Y.
Zadanie 6
Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okre lony tabel :
Y
X
-1
0
1
k
1
,
0
1
k
1
,
0
2
0
k
1
,
0
1
k
k
1
,
0
4
1
,
0
−
a) Wyznaczy macierz kowariancji,
b) Obliczy współczynnik korelacji mi dzy tymi zmiennymi.
c) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 7
Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okre lony tabel :
Y
X
0
1
2
-1
0
0
k
1
,
0
1
0
k
1
,
0
2
k
1
,
0
2
k
k
1
,
0
8
1
,
0
−
1
k
1
,
0
2
0
k
1
,
0
1
a)
wyznaczy F(1; 2),
b)
obliczy
(
)
1
|
|
;
1
|
|
≤
≥
Y
X
P
,
c) Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
d) Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y.
e)
wyznacz rozkładów warunkowych
1
|
=
Y
X
;
0
|
=
X
Y
,
f) Obliczy współczynnik korelacji mi dzy tymi zmiennymi.
g) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 8
Zmienna losowa (X, Y) ma macierz kowariancji:
−
−
=
16
005
,
0
005
,
0
4
k
k
K
Ile wynosi współczynnik korelacji mi dzy X i Y?
Zadanie 9
Zmienne losowe X
1
, X
2
s niezale ne. Wiadomo, e D
2
X
1
= k, D
2
X
2
= 2k.
Niech Y = X
1
- 2X
2
, Z = X
1
+ X
2
.
Ile wynosi współczynnik korelacji mi dzy Y i Z?
Zadanie 10.
Zmienna losowa X ma g sto
<
≥
⋅
=
⋅
−
0
0
0
01
,
0
)
(
01
,
0
x
dla
x
dla
ke
x
f
kx
a) wyznaczy jej funkcj charakterystyczn ,
b) za pomoc funkcji charakterystycznej obliczy
EX, D
2
X, współczynnik asymetrii i kurtoz .
Zadanie 11.
(X, Y ) jest zmienn losow o g sto ci
+
∈
∈
=
)
,
(
0
]
01
,
0
1
;
[
],
1
;
0
[
)
,
(
y
x
k
x
y
x
c
y
x
f
innych
dla
dla
a)
wyznaczy c,
b)
wyznaczy F(0,001
⋅⋅⋅⋅
k; 0,0005
⋅⋅⋅⋅
k),
c)
obliczy
(
)
1
|
|
;
1
001
,
0
≤
≤
≤
Y
X
k
P
i zinterpretowa na wykresie g sto ci,
d)
wyznacz g sto ci rozkładów warunkowych
1
|
=
Y
X
;
5
,
0
|
=
X
Y
,
e)
obliczy cov(X, Y), czy X, Y s nieskorelowane?
f)
czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 12.
(X, Y ) jest zmienn losow o g sto ci
∉
∈
=
D
y
x
D
y
x
c
y
x
f
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
dla
dla
gdzie D jest trójk tem o wierzchołkach (-0,01k; 0); (0; -0,01k); (-0,01k; -0,01k).
a)
wyznaczy c,
b)
wyznaczy F(0,0),
c)
obliczy EX, EY, cov(X, Y). Czy X, Y s nieskorelowane?
d)
wyznacz prost regresji Y wzgl dem X,
Zadanie 13.
Prawdopodobie stwo wygrania nagrody na loterii wynosi
0,0001
⋅⋅⋅⋅
k
. Korzystaj c z przybli enia
Poissona wyznaczy prawdopodobie stwo, e w ród 1000 osób graj cych na tej loterii:
a) adna nie wygra,
b) wygraj 2 osoby,
c) wygraj co najmniej 3 osoby,
Zadanie 14.
Zmienna losowa X ma rozkład N(– k; 0,1
⋅k).
Obliczy :
a)
P(X > – 0,9
⋅k),
b)
P(X < – 0,95
⋅k),
c)
)
15
,
0
(
k
k
X
P
<
+
Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie g sto ci.
Zadanie 15.
Zmienna losowa X ma rozkład N(– k; 0,01
⋅k).
Wyznaczy x aby:
a)
P(X > x) = 0,98,
b)
P(X < x) = 0,01,
c)
05
,
0
)
(
=
>
+
x
k
X
P
.
Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie g sto ci.
Nale y odda co najmniej 10 zada .
L.Kowalski, 3.03.2006
...................................
data
Zadania
–
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
.............................................
................................................
.................
Imi
Nazwisko
grupa
......................................................
.......................
nr indeksu
k
ZADANIE
ODPOWIEDZI DO WSKAZANYCH PODPUNKTÓW
1a
1d
1e
2
3a
3b
3B a
3B c
4b
4c
5c
5e
5f
6a
6b
7a
7b
7f
ZADANIE
ODPOWIEDZI DO WSKAZANYCH PODPUNKTÓW
8
9
10a
10b
11c
11e
12b
12c
12d
13a
13b
13c
14a
14b
14c
15a
15b
15c