1 

 

Roboty Przemysłowe 

 

3. Parametry i charakterystyki robotów 

 
Charakterystyka przestrzeni roboczej –  zasady wyznaczania 
orientacji chwytaka w przestrzeni roboczej przy wykorzystaniu 

przekształcenia jednorodnego – kąty Eulera RPY 

 
 

1.  Podstawy teoretyczne 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 1. Wzajemne położenie i orientacja układów współrzędnych odniesienia Oxyz  
             i lokalnego Puvw 
 

𝐴 = �

𝑢

𝑥

𝑣

𝑥

𝑤

𝑥

𝑥

𝑝

𝑢

𝑦

𝑣

𝑦

𝑤

𝑦

𝑦

𝑝

𝑢

𝑧

𝑣

𝑧

𝑤

𝑧

𝑧

𝑝

0

0

0

1

� 𝑅 = �

𝑢

𝑥

𝑣

𝑥

𝑤

𝑥

𝑢

𝑦

𝑣

𝑦

𝑤

𝑦

𝑢

𝑧

𝑣

𝑧

𝑤

𝑧

� = �

𝚤̂

𝑥

∘ 𝚤̂

𝑢

𝚤̂

𝑥

∘ 𝚥̂

𝑣

𝚤̂

𝑥

∘ 𝑘�

𝑤

𝚥̂

𝑦

 ∘ 𝚤̂

𝑢

𝚥̂

𝑦

 ∘ 𝚥̂

𝑣

𝚥̂

𝑦

 ∘ 𝑘�

𝑤

𝑘�

𝑧

 ∘ 𝚤̂

𝑢

𝑘�

𝑧

 ∘ 𝚥̂

𝑣

𝑘�

𝑧

 ∘ 𝑘�

𝑤

� 

 

Macierz przekształcenia jednorodnego A opisuje położenie i orientacje układu lokalnego 

Puvw 

w układzie odniesienia Oxyz. Macierz R jest tzw. macierzą rotacji i opisuje orientację 

układu  lokalnego  Puvw  w  układzie  odniesienia  Oxyz. Wektory: i, j, k  oznaczają  wersory 

układów współrzędnych Oxyz i Puvw. 

 

Macierz przekształcenia jednorodnego odpowiadająca obrotom o kąty RPY: przechylania 

(ang. Roll) - 

φ, pochylenia (ang. Pitch) - θ 

i skręcenia (ang. Yaw) - ψ jest postaci: 

RPY

Rot z

Rot y

Rot x

C C

S C

C S S

S S

C S C

S C

C C

S S S

C S

S S C

S

C S

C C

( , , )

( , )

( , )

( , )

φ θ ψ

φ

θ

ψ

φ θ

φ ψ

φ θ ψ

φ ψ

φ θ ψ

φ θ

φ ψ

φ θ ψ

φ ψ

φ θ ψ

θ

θ ψ

θ ψ

=

=

=

−

+

+

+

−

+

−

























0

0

0

0

0

0

1

 

x 

y 

z 

u 

v 

w 

O 

P 

2 

 

Porównanie  wyrazów  tej  macierzy  z  ogólną  postacią  macierzy  przekształcenia 

jednorodnego A: 
 

























=

1

0

0

0

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

P

A

O

N

P

A

O

N

P

A

O

N

A

 

 

pozwala znaleźć wartości kątów Eulera RPY wg wzoru: 

 
poza przypadkiem gdy: N

x

=0 i N

y

=0 (oraz O

z

=0, A

z

=0), wtedy występują 2 możliwości: 

 

o

90

=

θ

 

 

 

 

o

90

−

=

θ

 

 

(

)

(

)

y

x

O

O

=

−

=

−

φ

ψ

φ

ψ

cos

sin

 

 

 

(

)

(

)

y

x

O

O

=

+

=

+

−

φ

ψ

φ

ψ

cos

sin

 

 

y

x

O

O

arctg

=

−

φ

ψ

 

 

 

y

x

O

O

arctg

−

=

+

φ

ψ

 

 

Wykonanie obrotów układu odniesienia względem jego osi kolejno o kąty: ψ, θ, φ pozwala 

wskazać  orientacje  osi  układu  reprezentowanego  przez  przekształcenie  RPY(φ,  θ,  ψ) w 

układzie odniesienia. 
 

2. 

Uwagi do sporządzenia sprawozdania 
 

W sprawozdaniu z wykonania zadania nr 2 należy zamieścić narysowany układ końcowy 

z  translacją  i  rotacją  oraz  na  osobnej  kartce  narysowane  kolejne  przekształcenia  układu 
odniesienia. 
 

z

z

z

z

x

y

A

O

arctg

N

N

arctg

N

N

arctg

=

−

−

=

=

ψ

θ

φ

2

1