Teoria Analiza Matematyczna
1. Kresy zbiorów, definicja.
kresem górnym (zbioru niepustego i ograniczonego)
nazywamy najmniejsze ograniczenie górne.
Niepusty podzbiór X zawarty w prostej nazywamy ograniczonym z
góry <=>
M R
x X
x
M
kresem dolnym (zbioru niepustego i ograniczonego)
nazywamy największe ograniczenie dolne.
Niepusty podzbiór X zawarty w prostej nazywamy ograniczonym z
dołu<=>
m R
x X
x
m
2. Twierdzenie: a=sup x, b=inf x
a= sup x <=> 1. a ogranicza X z góry
2.
lim
n
b= inf x <=> 1. b ogranicza X z dołu
2.
0
x X
x
b
3. Granica ciągu
def. Liczbę a
R nazywamy granicą ciągu a
n
<=>
0
n
n n
n
a
a
Pokazać, że lim a
n
=
2
3
, a
n
=
2
3
3
2
n
n
Załóżmy, że
=
1
100
Czy istnieje
1
100
n
taka że
2
1
3
100
n
a
dla
n>
1
100
n
?
2
3
2
1
3
2
3
100
n
n
3(2
3) 2(3
2)
1
3(3
2)
100
n
n
n
6
9
6
4
1
3(3
2)
100
n
n
n
13
1
3(3
2)
100
n
13
1
3(3
2)
100
n
1300<9n+6
1294<9n
n>154=
1
100
n
odp. A zatem dla n
155 wyrazy ciągu a
n
(
2
1
3
100
;
2
1
3
100
)
4. Twierdzenie o sumach, iloczynach itp. granic.
Dowód:
lim
n
a
n
=a;
lim
n
b
n
=b
Czy (a
n
+ b
n
)= a
n
+ b
n
?
To znaczy czy dla dowolnie ustalonego
>0 istnieje taka liczba
n
, że
dla n>
n
n
a
b
a b
Ustalamy
>0.
Ponieważ a
n
a, więc istnieje
2
n
, że dla n>
2
n
2
n
a
a
Ponieważ b
n
b, więc istnieje
2
n
, że dla n>
2
n
2
n
b
b
Przyjmijmy, że
n
=max (
2
n
,
2
n
) Wówczas dla
n>
n
n
n
a
b
a b
=
2 2
n
n
n
n
a a
b b
a a b b
5. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Przyjmujemy
=1. Ponieważ a
n
a (jest zbieżny)
więc istnieje n, że dla n>n
1
1
1
1
n
n
a
a
a
a
a
Przyjmujemy m=min
1
1
1, ,
,
n
a
a
a
M=max
1
1
1, ,
,
n
a
a
a
Wówczas m
a
n
M dla każdego n
N
6. Twierdzenie o 3 ciągach.
Dowód: Dane są ciągi a
n
b
n
c
n
. Jeśli
lim
n
a
n
=
lim
n
c
n
to także b
n
jest zbieżne do tej granicy.
Oznaczamy
lim
n
a
n
=
lim
n
c
n
= g. Niech
>0
Z tego, że a
n
g istnieje n, że dla n>n” g -
< a
n
<g
+
Z tego, że c
n
g istnieje n, że dla n>n” g -
< c
n
<g
+
A zatem dla n>max(n’;n”) g -
b
n
g +
7. Tw. Bolano-Weierstrassa
Każdy ciąg ograniczony posiada podciąg zbieżny:
Dowód: Wartości ciągu ograniczonego (a
n
) są zawarte w przedziale [m,M].
Podzielimy go na 2 równe części. W co najmniej jednej z nich znajduje się
nieskończenie wiele wyrazów ciągu (a
n
). Oznaczamy tą część [m
1
,M
1
] i niech
(a
mn
) oznacza podciąg nieskończony zawarty w [m
1
,M
1
]. Przyjmujemy b
1
=a
n1
.
Następnie dzielimy przedział [m
2
,M
2
] na dwie równe części w jednej z nich
[m
2
,M
2
] znajduje się podciąg
k
nm
a
i przyjmujemy b
2
=
1
nm
a
Postępując tak dalej znajdujemy ciągi m
k
b
k
M
k
gdzie b
k
jest
podciągiem (a
n
) zaś (m
k
) i (M
k
) są monotoniczne i mają wspólną granice. A
zatem z Tw. o trzech ciągach także podciąg b
n
jest zbieżny do tej granicy.
Tw: Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dowód: Niech ciąg (a
n
) będzie rosnący. Pokażemy że jest on zbieżny do
liczby
a=sup {a
n
: n
N}.
Ustalmy
>0. Pokażemy że w odc. (a-
,a] znajdują się prawie
wszystkie wyrazy ciągu a
n
1. a
n
a
sup{a
n
}
2. Z def. sup{a
n
} istnieje wyraz
0
n
a
>a-
. A zatem
dla n>n
o
a-
<
0
n
a
< a
n
a czyli a
n
(a-
,a]
8. Podstawowe granice:
lim
n
1
n
a
Niech a
1. Oznaczamy
1
n
n
a
c
.
Pokażemy, że
n
c
0. Otóż
n
c
0 a więc a= (1+
n
c
)
n
=
2
3
1
0
1
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n c
c
c
c
c
n
[
0
n
a
c
n
]
0 z tw. o 3 ciągach
lim
0
n
n
n
a
a>0
Niech a=1+c gdzie c>0. Wówczas
2
2
3
2
0
( 1)
1
1
1
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n c
c
c
c
c
c
c
n
!
(
2)!(
1)
(
1)
2
(
2)!2!
(
2)2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
0
(
1)
n
n
a
n
c
lim
0
!
n
n
a
n
Dowód: dla a=2
3
2
2 2 2 2
4 1
!
1 2 3 4
3 2
n
n
n
n
n
0<
2
!
n
n
<
3
4 1
3 2
n
0
!
lim
0
n
n
n
n
Niech n=2k lub 2k +1. Wówczas
!
1 2
(
1)
1
2
k
n
n
k
k
n
n
n n
n
n n
n
1
0
2
k
9. Liczba e. Dowód zbieżności
1
1
n
n
. interpretacja.
Rozpatrzmy ciąg
1
1
n
n
. Pokażemy, że jest on
ograniczony
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1 1
2
3
1
2
2! 3!
!
2 4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
2
!
2
!
n
n
n
n
Z tej interpretacji wynika, że ciąg jest rosnący a dalej zbieżny. Tą
granice oznaczamy e
2,71828...
Ex. Wpł. dzbanku 1zł na okres roku z oprocentowaniem 100%. Po
roku będziemy mieli 1+1=2zł. Gdyby odsetki dopisywano po
1
2
roku
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
. Gdyby
po 4 miesiącach
3
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
. Gdyby po n miesiącach to
1
1
n
n
. A zatem ciąg
1
1
n
n
jest rosnący.
II. Przestrzenie metryczne.
10. Przestrzeń metryczna. Def i Ex.
Def.
1. d (x,y)
0 odległ
0
2. d (x, y) =0
x=y
3. d (x, y) = d (y, x) symetryczne
4. d (x, y) + d (y, z)
d (x, z)- nierówność trójkąta
11. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej.
Def. Ciąg punktów
( , )
n
x
X d
nazywamy
zbieżnym do punktu
0
0
lim ( ,
)
0
n
n
x
X
d x x
( jako zwykły ciąg na prostej).
Uwaga: Definicja ta jest zgodna ze zwykłą
zbieżnością gdy X=R.
12. Tw. zbieżność w R
n
= zbieżność po współrzędnych.
Dowód.
(x
n,
y
n
)
(x
0,
y
0
) tzn. x
n
x
0
;
y
n
y
0
Dowód: Uwaga dla liczb a, b
0 zachodzi nierówność
2
2
max( , )
2 max( , )
a b
a
b
a b
a b
A zatem:
Dla ciągu punktów z
n
=( x
n
, y
n
) i z
o
=( x
o
, y
o
)
0
0
0
max
0
( , )
( , )
( , ) 2
( , )
m
n
e
n
t
n
n
d z z
d z z
d z z
d
z z
Jeśli np.
0
( ,
)
0
e
n
d z z
lub
0
( ,
)
0
n
d z z
to
0
( ,
)
0
m
n
d
z z
, dlatego reszta metryk
też dąży do zera.
Ex. z
n
(1;
1
n
)
13. Zbiór otwarty, domknięty. Definicja.
Zbiór domknięty: Podzbiór
D
X
nazywamy domkniętym
granica każdego ciągu punktów x
i
D zbieżnego w X należy do D.
Podzbiór przestrzeni metrycznej
U
X
nazywamy otwartym
0
0
( , )
x U
r
K x r
U
Ex. X=R
2
(metoda Euklid.) U={(x,y): y>0} jest otwarty, bo
jeśli K(( x
o
, y
o
);
0
2
y
)
U.
14 TW Zbiór
U
X
jest otwarty
\
X U
jest
domknięty .
Na prostej zbiór (a,b) jest zbiorem
otwartym
\ ( , )
(
; ]
[
)
R
a b
a
b
zbio
rem domkniętym.
15. TW. Suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
: ,
Z A B
X
zbiory domknięte
: (
)
T
A
B
X
domknięte
Mamy pokazać że
A
B
jest domknięty tzn. [niech
0
0
,
]
[
].
n
n
x
A
B x
x
x
A
B
Wówczas nieskończenie wiele wyrazów ciągu należy do A lub B . Przypuśćmy
że do „A”. A więc ustalamy podciąg
k
n
x
A
. Wówczas
0
nk
x
x
(jako podciąg) a zatem z domkniętości A,
0
x
A
. A więc
0
x
A
B
.
16. TW. Część wspólna skończonej ilości zbiorów domkniętych jest
zbiorem domkniętym.
Niech zbiór
,
i
U
X i
I
będzie domkniętych. Czy
i
z I
U
też jest zbiorem domkniętym. Mamy pokazać że
1
2
(
...
)
n
U
U
U
jest domknięty U
1,…,
U
n
są
domknięte czyli niech
1
2
0
0
1
2
(
...
),[
] [
...
]
n
n
n
n
x
U U
U x
x
x U U
U
. Wówczas jako że x
n
należy do każdego U
i
to znaczy że
0
1
2
...
n
x
U
U
U
. A zatem część wspólna
nieskończenie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętych.
17. TW: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Niech zbiór
,
i
U
X i
T
będzie otwarte. Czy
i I
U
i
też jest otwarte. Niech
0
i I
x
U
i
. To znaczy istnieje
0
i
I
takie że
0
0
i
x
U
. Ponieważ U
i0
jest otwarty więc
istnieje r
0
>b takie że K(x
0
,r
0
)
0
i
U
. A więc
K(x
0
,r
0
)
i I
i
U
.
19. TW. Odwzorowania ciągłe. Def. Heinego Couchy’ego i ich
równoważności.
Dane są przestrzenie metryczne (X, d
x
), (Y, d
y
) oraz odwzorowanie
f:
X
Y
. Małe zmiany argumentów powodują małe zmiany
funkcji.
(Heine)Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcje x
0
dla każdego
ciągu punktów x
n
przestrzeni x zachodzi implikacja.
0
0
(lim
)
(lim (
)
( ))
n
n
x
x
x
x
f x
f x
Funkcja przeprowadza ciągi zbieżne do x
0
na ciągi zbieżne do f(x
0
)
(couchy) Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcie
0
0
0
0
(
( , )
)
( ( )
x
x X dX x x
dY f x
i f(x
0
)<
20. TW. Suma ,iloczyn, iloraz funkcji ciągłych f, g :
X
R
są
ciągłe.
Dowód: korzystamy z def. Heinego. Mamy pokazać że dla każdego ciągu
0
(
)
n
x
x
X
. Ciąg wartości f(x
n
)+g(x
n
) dąży do
(f(x
0
)+g(x
0
)).
Jest tak bo z założenia ciągłości funkcji
0
(
)
( )
n
f x
f x
a z założenia f(x
n
)
0
( )
g x
. A więc
0
0
( (
)
(
))
( ( )
( ))
n
n
f x
g x
f x
g x
bo granica sumy = sumie granic.
Podobnie dla iloczynu i ilorazu.
0
0
( (
)
(
))
( ( )
( ))
n
n
f x
g x
f x
g x
21. Przestrzeń zwarta: definicja, przykłady
Przestrzeń metryczną nazywamy zwartą każdy ciąg punktów tej przestrzeni
posiada podciąg zbieżny.
Ex.: odcinek domknięty [a,b]
R(tw. Bolano-Weistra.), prostokąt
domknięty [a
1
,b
1
] [a
2
,b
2
] ze zwartości poszczególnych odcinków [a
1
,b
1
] [a
2
,b
2
]
wynika zbieżność odpowiednich !!!podciągów!!! x
nk
--> x
0
[a
1
b
1
] etc.; kostka
domknięta; każda przestrzeń skończona jest zwarta(metryczna); przestrzeń
dyskretna jest zwarta gdy jest skończona.
22. Każda przestrzeń metryczna skończona jest zwarta
Bo każdy ciąg x
n
przyjmuje jedna z wartości nieskończenie wiele razy. A to
daje podciąg stały.
23. TW. Podzbiór A
R
n
jest zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowód: Jeśli A
R
n
jest domknięty i ograniczony to jest zwarty w pewnej
kuli K(0;R). Z kolei kula ta jest zwarta w pewnej kostce domkniętej
K(0;R)
[-R,R]x…x[-R,R], a kostka jest zbiorem zwartym.
Czy A jako podzbiór zbioru zwartego jest zwarty => Niech A
R
n
będzie
zwarty. Jako zwarty jest ograniczony. Pozostaje pokazać że A jest domkniety.
Niech (a
n
) będzie ciagiem punktów i A zbieżny x
0
R
n
. Czy x
0
A???
Ze zwartości ciągu (a
n
) posiada podciąg zbieżny do punktu a
0
<A. A podciąg
ten jest zbieżny do x
0
. A więc x
0
= a
0
A.
24. TW. Weierstrassa: F-cja f:X
R (X zwarta) jest ograniczona i osiąga
swoje kresy.
Dowód:
1.
Wobec lematu (obraz ciągły przestrzeni jest przestrzenią
zwartą) f(x)
R jest zbiorem zwartym. A więc jest
ograniczony czyli istnieja liczby m,M dla których
f(x)
[m,M]
2.
Skoro f(x)
R jest zwarty to jest i domknięty. A zatem
zawiera swoje kresy czyli istnieją punkty X
-
, X
+
dla
których f(X
+
) = sup f(x), f(X
-
)= inf f(x)
25. Przestrzeń spójna: definicja przykłady
Przestrzeń metryczna nazywamy spójną istnieją zbiory niepuste i otwarte
U,V
X takie, że nie da się przedstawić (nie zachodzą „relacje”)
U
V = X U
V =
Ex.: R jest spójne, C jest spójne. Każdy przedział liczbowy jest spójny.
26. Łukowa spójność. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna.
Funkcja f:X
Y jest ciągła przeciwobrazem zbioru otwartego jest
zbiór otwarty.
Nie wprost: Zakładamy, że przestrzeń X jest łukowo spójna ale nie jest spójna.
Tzn. X=U
V gdzie U i V są otwarte, rozłączne i niepuste. Ustalamy
punkty a
U, b
V. Z założenia łukowej spójności istnieje droga U:[0,1]
X taka, że w(0)=a i w(1)=b. Zauważmy, ze [0,1]=w
-1
(X)=w
-1
U
w
-
1
V. Ponadto zbiory w
-1
U, w
-1
V są rozłączne, otwarte, niepuste. A to dowodzi,
że odcinek [a,b] jest niespójny. Sprzeczność.!!!
27. TW. Darboux. Każdy wielomian stopnia nieparzystego posiada pierwiastek
rzeczywisty.
f(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n
gdzie n-nieparzyste. Wówczas
lim
x
f(x)=+
a
0
>0.
lim
x
f(x)=
, a zatem istnieją liczby T,t dla których f(T)>0 i
f(t)<0. Stąd z własności Darboux istnieje x
0
(T,t) w którym f(x
0
)=0.
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
28. Iloraz różnicowy i jego interpretacja. Definicja pochodnej (styczna,
prędkość)
Ilorazem różnicowym nazywamy wyrażenie
0
0
(
)
( )
f x
h
f x
h
. Liczbę h nazywamy przyrostem
argumentu, inne oznaczenia
h
x
. Zaś
0
0
(
)
( )
f
f x
h
f x
przyrostem funkcji.
Wówczas iloraz różnicowy to
f
x
.
Interpretacja geometryczna
f
tg
x
tg kata nachylenia
siecznej z osią OX.
Interpretacja fizyczna
0
0
(
)
( )
s t
h
s t
h
. S(t
0
) oznacz
położenie ciała w chwili t. Wówczas
0
0
(
)
(
)
s t
h
s t
h
oznacza średnią prędkość w czasie [t
0
,t
0
+h].
Pochodna funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granicę ilorazu różnicowego
0
0
(
)
(
)
lim
x
f x
h
f x
h
o ile istnieje. Oznaczamy
f
’
(x
0
)=
dt
dx
(x
0
). Interpretacja pochodnej – prędkość chwilowa.
29. TW. Fermata (ekstremum
f
’
(x)=0. )
Dowód: Załóżmy, że f posiada w x
0
maksimum lokalne. Oznacza to, że
f(x)
f(x
0
) dla wszystkich x
(
0
0
,
x
x
) i pewnego
0
. A zatem dla
0
x
x
iloraz różnicowy
0
0
( )
(
)
0
f x
f x
x
x
zas dla x<x
0
jest dodatni. A zatem
granica o ile istnieje musi być 0.
30. TW.Rolle’a (o zerowaniu się pochodnej)
Warunek konieczny do istnienia ekstremum. Czy war. konieczny??
Jeśli f:[a,b]
R ma wszędzie pochodną oraz f(a)=f(b) to istnieje punkt c
(a,b) w którym f
’
(c)=0. Dowód:
1.
jeśli f jest stała to f’=0
2.
jeśli f nie jest stała to dla pewnego x
(a,b) zachodzi
f(x)=f(a). Załóżmy f(x)>f(a). Wówczas z tw. Weierstrassa f
osiąga swoje maksimum w punkcie c
(a,b). A zatem z
(tw. Fermata) f’(c)=0.
31. TW. Lagrange’a (dowód)
Jeśli f:[a,b]
R jest ciagła na [a,b] oraz posiada pochodna w (a,b) to
wówczas istnieje c
(a,b) takie, że f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Dowód:
Mamy znaleźć punkt c
(a,b) spełniający
( )
( )
'( )
f b
f a
f c
b a
czyli szukamy punktu w
którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty (a,f(a))
oraz (b,f(b)). Określamy funkcje pomocniczą
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
f b
f a
g x
f x
f a
x a
b a
.
Funkcja spełnia założenia Rolle’a g(a)=g(b)=0. A zatem istnieje punkt
c
(a,b) w którym g’(c)=0. A zatem
0=g’(c)=
( )
( )
'( )
f b
f a
f
c
b
a
skąd
( )
( )
'( )
f b
f a
f
c
b
a
.
32. Reguła de l’Hospitala
Jeśli funkcje f i g są określone w przedziale [a,b] oraz
1.
lim ( )
0
x
a
f x
2.
lim ( )
0
x
b
g x
3. istnieją skończone pochodne f’(a), g’(a) przy czym g’(a)
0 wówczas
( )
'( )
lim
( )
'( )
x
a
f
x
f
x
g x
g
x
33. Sumy całkowe Reimanna. Całka oznaczona.
Ustalamy podział odcinka [a;b] na części. W każdej wybieramy punkt
k
.
Tworzymy sumę
1
(
)
n
k
k
k
f
x
. Sumę tą nazywamy
sumą całkową Reimanna. Zależy ona od wybranego przedziału [a;b] i selekcji
i
. Suma ta daje łączne pole prostokątów opisanych na wykresie.
34. Interpretacja całki oznaczonej.
Geometryczna- pole pod wykresem funkcji
Fizyczna- Niech w każdym punkcie odcinka [a;b] działa F(x) skierowana
wzdłuż prostej. Wówczas
( )
b
a
W
f x dx
35. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Uzasadnić
że funkcja górnej granicy całki jest funkcją pierwotną.
1.Niech
:[ ; ]
f
a b
R
będzie całkowalna. Dla ustalonego
[ ; ]
X
a b
określamy
( )
( )
b
a
F x
f t dt
.
Funkcję F(x) nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
2. Ustalamy
[ ; ]
X
a b
oraz h>0. Badamy iloraz różniczkowy . Z
twierdzenia o wartości średniej dla całki istnieje
[ ,
]
c
x x h
spełniające
( )
( )
x h
x
f t dt
f c
h
. Wówczas
( )
( ( )
)
( )
( )
( )
x h
x
f t dt
F x
h
F x
f c
f x
h
h
gdy
0
h
A to oznacza że
( )
( )
F x
f x