D

YNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ 

–

 PRZYKŁADOWE ZADANIA

 

 

1.  Wyznacz  moment  bezwładności  wyciętego  krążka  względem  osi  obrotu  O

1

  i  O

2

.  Masa  pełnego  krążka  jest  równa  M,  a 

promień R: 

 

2. Wyznacz przyspieszenia liniowe mas i przyspieszenie kątowe bloczka: 

 

3.  Na  bęben  o  promieniu  R  i  masie  M  nawinięto  sznurek  do  którego  przywiązano  ciężar  o  masie  m.  Ciężar  znajduje  się  na 

wysokości h. W pewnej chwili ciężar został puszczony i zaczął się opuszczać. Po jakim czasie ciężar dotknie ziemi? 

 

4.  Ciężka  szpula  z  nawiniętą  nicią  stoi  na  płaszczyźnie  poziomej  po  której  może  się  toczyć  bez  poślizgu.  Obliczyć 

przyspieszenie  a  środka  masy  szpulki  oraz  siłę  tarcia  T,  jeśli  do  nici  przyłożono  siłę  F  w  kierunku  równoległym  do 
płaszczyzny.  Masa  szpulki  m,  moment  bezwładności  względem  osi  szpulki  I

0

,  promień  wewnętrzny  r,  zewnętrzny  R. 

Rozważyć trzy przypadki: 

 

5.  Ciężka  szpula  z  nawiniętą  nicią  do  której  przyłożono  siłę  F  leży  na  płaszczyźnie  poziomej.  W  którą  stronę  i  z  jakim 

przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się szpula w zależności od kąta   między kierunkiem siły działającej na nić a 
płaszczyzną. Szpula porusza się ruchem obrotowym bez poślizgu. Masa szpulki  m, moment bezwładności względem osi 
szpulki I

0

, promień wewnętrzny r, zewnętrzny R. 

 

6. Kula i cienka obręcz, o masie m i promieniu R zaczynają staczać się bez poślizgu z równi o kącie nachylenia a z wysokości 

h. Znaleźć ich przyspieszenia liniowe i kątowe oraz prędkość u podnóża równi. 

7.  Z  jakim  przyspieszeniem  liniowym  i  kątowym  staczają  się  bez  poślizgu  kula  i  walec  (kula  i  cienkościenna  rura,  walec  i 

obręcz), których środki połączono sztywnym prętem, z równi o kącie nachylenia  . Jaką  wartość  mają siły tarcia? Masa 
kuli i walca jest równa m a ich promienie R. 

 

8.  Z  wysokości  h  stacza  się  bez  poślizgu  walec  i  kula.  Która  z  brył  będzie  obracać  się  z  większą  częstotliwością  u  podnóża 

równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi  , masa kuli i walca m, promienie R. Oblicz stosunek energii kinetycznych 
ruchu postępowego i obrotowego. 

9.  Ile  czasu  będzie  się  staczać  bez  poślizgu  kula  (walec,  obręcz)  o  masie  m  i  promieniu  R  z  równi  o  kącie  nachylenia  ,  z 

wysokości h.  

10.  Z  wysokości  h  stacza  się  bez  poślizgu  walec.  W  drugim  przypadku  ta  sama  bryła  zsuwa  się  bez  tarcia.  W  którym 

przypadku walec będzie miał większą prędkość u podnóża równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi  , masa walca 
m, promień R.  

11. Na równię o kącie nachylenia   zaczyna wtaczać się bez poślizgu walec (kula, cienkościenna rura), poruszający się przy 

początku równi z prędkością v. Obliczyć drogę jaką przebędzie walec (kula, rura) do chwili zatrzymania się.  

12. Z jakim przyspieszeniem opuszcza się masa  m

1

 w sytuacji jak na rysunku? Dany jest współczynnik tarcia  k. Blok obraca 

się pod działaniem nici. Promień bloku jest równy R. 

 

13.  Znaleźć  użyteczną  moc  silnika  wprawiającego  w  ruch  platformę  w  kształcie  kołowej  tarczy  o  masie  200  kg  i  promieniu 

2m,  na  brzegu  której  stoi  człowiek  o  masie  70  kg,  jeżeli  wiadomo,  że  platforma  osiąga  częstotliwość  obrotów  1  Hz  w 
czasie 40 s. 

14. Kulka o masie m lecąca poziomo z prędkością v uderzyła w koniec pręta o masie M i długości L i odbiła się od niego 50 % 

swojej prędkości. O jaki maksymalny kąt odchyli się pręt? Ile ciepła wydzieli się w wyniku tego zderzenia? Oś na której 
zawieszony jest pręt przechodzi przez koniec pręta i pręt może obracać się wokół niej.  

15.  Dwie  tarcze  o  masach  m

1

  i  m

2

  i  promieniach  r

1

  i  r

2

  wirują  wokół  tej  samej  osi  (prostopadłej  do  obydwu  tarcz)  z 

częstotliwościami f

1

 i f

2

. W pewnej chwili tarcze zsunęły  się i zlepiły. Z jaką częstotliwością końcową  wirują tarcze i ile 

wydzieliło się ciepła? Tarcze wirują: a) w tym samym kierunku; b) w kierunkach przeciwnych.  

16.  Ze  studni  za  pomocą  kołowrotu  podnoszone  jest  wiadro  z  wodą  o  masie  12  kg.  W  chwili  gdy  wiadro  znajduje  się  na 

wysokości  6  m  nad powierzchnią  wody, oswobodzono rączkę  kołowrotu i  wiadro zaczęło opuszczać  się  w dół.  Znaleźć 
prędkość liniową rączki kołowrotu w chwili uderzenia wiadra o powierzchnię wody, jeżeli odległość rączki od  osi obrotu 
jest  równa  35  cm,  promień  wału  kołowrotu  10  cm,  a  jego  masa  18  kg.  Zaniedbać  ciężar  liny  na  której  zawieszone  jest 
wiadro.  

17.  Koło zamachowe o masie  M przymocowane jest  współśrodkowo do krążka o promieniu  r i  masie  m. Krążek  wprawiany 

jest w ruch obrotowy za pomocą opuszczającego się w dół ciężarka o masie 3m przywiązanego do nawiniętego na krążek 
sznurka. Po jakim czasie częstość obrotów koła zamachowego będzie równa  f? Przyjąć, że cała masa koła zamachowego 
rozłożona jest na jego obwodzie w odległości R od osi obrotu.  

18. Do końca cienkiej, nierozciągliwej nici, nawiniętej na walcowy blok o promieniu r i masie m

1

 przyczepiono ciało o masie 

m

2

, które znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia   (jak na rysunku). Jaką drogę przebędzie ciało po równi w 

czasie t, jeżeli współczynnik tarcia jest równy k. Ciało początkowo spoczywa, tarcie na osi bloku można zaniedbać. 

 

19. Tarcza o masie 200 g i promieniu 50 cm wiruje z częstotliwością 2 Hz. Na środku tarczy siedzi mysz o masie 150 g. Oblicz 

częstotliwość obrotów, gdy mysz przejdzie na brzeg taczy. 

20. Oblicz moment bezwładności: 
 

a) kuli o masie 500g i średnicy 6 cm względem osi stycznej do kuli 

 

b)  pręta  o  masie  1  kg  i  długości  80  cm  względem  osi  prostopadłej do  pręta  przechodzącej  w  odległości  10  cm  od  jego 
końca. 

21. Znaleźć hamujący  moment  siły,  który  może  zatrzymać  w czasie 10 s  koło zamachowe o  masie 20  kg i promieniu 0.4m, 

obracające  się  z  częstotliwością  5  Hz.  Założyć,  że  masa  rozłożona  jest  na  obwodzie.  Obliczyć  pracę  wykonaną  przy 
zatrzymaniu koła. 

22.  Z  gwiazdy  o  masie  4*10

30

  kg,  promieniu  10

6

  km  i  okresie  wirowania  10

5

  s  w  czasie  wybuchu  supernowej  zostaje 

odrzuconych w przestrzeń kosmiczną  90% masy. Z pozostałej masy powstaje gwiazda neutronowa o promieniu 100 km. 
Odrzucona masa nie unosi momentu pędu. Oblicz okres wirowania gwiazdy neutronowej oraz gęstość gwiazdy przed i po 
wybuchu. 

23. Na brzegu karuzeli w kształcie obracającej się wokół osi tarczy o promieniu 0.8 m i masie  20 kg znajduje się dziecko o 

masie  35  kg  odpychające  się  od  ziemi  z  szybkością  1m/s.  Oblicz,  z  jaką  częstotliwością  będzie  wirować  karuzela,  gdy 
dziecko dojdzie do środka karuzeli (załóż, że masa dziecka znajduje się wtedy 10 cm od środka). Moment bezwładności 
pozostałych elementów karuzeli wynosi 0.6 kg m

2

. 

24.  Człowiek  próbuje  unieść  do  góry  masę  400  kg.  W  tym  celu  wziął  pręt  o  długości  2  m  i  podsunął  go  30  cm  pod  masę. 

Oblicz jaką siłą musi zadziałać człowiek. 

25. Oszacuj, jaką siłą działa Twój biceps, gdy podnosisz ręką 1 kg cukru. 
26. Na dolny koniec wędki o długości 4 m i masie 300 g (przyjmij, że masa jest rozłożona równomiernie) nasunięto rękojeść 

korkową o długości 50 cm i masie 80 g i w odległości 25 cm od końca przykręcono kołowrotek o masie 450 g. Oblicz, w 
którym miejscu wędkarz musi trzymać wędkę, aby najmniej męczyć rękę. 

27. Kolarz ma do dyspozycji koło pełne, w kształcie płaskiego krążka o masie 400 g i średnicy 70 cm, na które zakłada cienką 

oponę o masie 100 g i koło złożone z obręczy o masie 150 g i średnicy 70 cm oraz 32 szprych o masie 9 g każda, na które 
założona jest taka sama opona. Oblicz momenty bezwładności kół, stosunek momentów sił, które muszą zadziałać na koła 
aby  w  tym  samym  czasie  osiągnęły  tą  samą  częstotliwość  i  stosunek  prac,  jakie  trzeba  wykonać,  aby  zatrzymać  te  koła. 
Wymień wady i zalety stosowania tych kół.