7. MASZYNY PROSTE 

Bloczki: 

7.1.  Dwa  ciała  o  masach  m

1

  i  m

2

  są  połączone  niewaŜką  nicią  przez  bloczek.  Bloczek, 

którego  masę  zaniedbać,  jest  zawieszony  na  dynamometrze  do  sufitu.  Z  jakim 
przyspieszeniem  poruszają  się  masy,  jeśli  m

1

 > m

2

?  Znaleźć  siłę  wskazywaną  przez 

dynamometr. 

7.2.  Przez  bloczek  o  masie  M = 5 kg  i  promieniu  R = 0,1 m  przerzucono  niewaŜką  i 
nierozciągliwą nić na końcu której zawieszono klocki odpowiednio o masie m

1

 = 10 kg i 

m

2

 = 50 kg. Oblicz przyspieszenie z jakim poruszają się klocki oraz naciągi nici. 

7.3. Wyznaczyć wskazania dynamometrów A i B w układzie bloczków przedstawionym 
na rys.1, jeśli m

1

 = 300 kg, m

2

 = 100 kg. Masy bloczków moŜna zaniedbać. 

 

Kołowrót: 

7.4. Kołowrót (rys.2) składa się z dwóch współosiowych bębnów o masach odpowiednio 
M i m oraz promieniach odpowiednio R, r. Na bęben o większej średnicy nawinięta jest 
lina  do  której  przyczepiono  wiadro  o  masie  w.  Jaką  siłę  naleŜy  przyłoŜyć  do  liny 
nawiniętej na mniejszy bęben by nadać wiadru przyspieszenie a? 

7.5. Na korbę kołowrotu (rys.3) o długości L = 0,5 m działamy siłą F = 500 N. Jaką masę 
moŜemy podnosić ze stałą prędkością jeśli bęben kołowrotu na średnicę R = 0,25 m? Ile 
razy trzeba zwiększyć siłę by podnieś masę dwukrotnie większą? 

7.6.  Na  krawędzi  dachu  odwaŜny  Olek  (rys.4)  o  masie  M 
przymocował 

bloczek 

o 

promieniu 

R 

i 

momencie 

bezwładności 

I, 

przez 

który 

przerzucił 

niewaŜką 

i 

nierozciągliwą linę. Na końcu liny zaczepił  worek o  masie  w. 
Trzymając drugi koniec liny jechał na nartach po płaszczyźnie 
dachu,  przy  czym  współczynnik  tarcia  nart  o  dach  wynosi  µ. 
Jakiego przyspieszenia doznaje Olek? Znaleźć napręŜenia nici. 

 

Dźwignia: 

7.7.  Dwóch  chłopców  bawi  się  na  huśtawce  o  długości  l = 4 m,  podpartej  pośrodku.  Jeden  z  chłopców  waŜy 
m

1

 = 35 kg,  drugi  m

2

 = 20 kg.  W jakiej  odległości  od  punktu  podparcia  huśtawki  musi  usiąść  cięŜszy  chłopiec, 

aby huśtawka pozostała w równowadze? 

7.8.  Drabina  jest  oparta  o  równą,  gładką  ścianę.  Współczynnik  tarcia  między  drabiną  i  podłogą  równa  się 
µ

 = 0,4. Znaleźć największy kąt między ścianą i drabiną, przy którym drabina nie będzie się ślizgać. 

7.9.* Drabinę o długości l = 10 m i masie m = 1,5 kg przystawiono do gładkiej, pionowej ściany. Tworzy ona z 
płaszczyzną poziomą kąt 

α

 = 60

°

. Znaleźć siłę tarcia między drabiną i podłogą, która jest potrzebna po to, aby 

nie dopuścić do ślizgania się drabiny, kiedy człowiek o masie M = 60 kg znajduje się na drabinie w odległości 
l

2

 = 3 m od jej górnego wierzchołka. 

 

Równia pochyła: 

7.10.  Obręcz  o  masie  m = 2 kg  i  promieniu  zewnętrznym  R = 5 cm  stacza  się  z  nachylonej  powierzchni  o 
długości  l = 2 m  i  kącie  nachylenia 

α

 = 30

°

.  Znaleźć  moment  bezwładności  obręczy  względem  jej  osi,  jeŜeli 

prędkość w końcowym punkcie nachylonej powierzchni równa się v = 3,3 m/s. 

7.11. Kula i pełny walec, poruszające się z jednakowymi prędkościami, toczą się po nachylonej powierzchni do 
góry. Znaleźć stosunek wysokości, na które wtoczą się te ciała. 

7.12.  Kulka  stacza  się  z  nachylonej  powierzchni  o  długości  l = 7 m.  Powierzchnia  tworzy  z  poziomem  kąt 

α

 = 30

°

. Znaleźć prędkość kulki w punkcie końcowym nachylonej powierzchni. 

7.13.  Skrzynia  o  masie  m = 100 kg  wciągana  jest  przy  pomocy  sznura  po  nachylonej  powierzchni  o  długości 
l = 45 m  na  wysokość  h = 6 m.  Sznur  ułoŜony  jest  równolegle  do  nachylonej  płaszczyzny.  Znaleźć  napręŜenie 

rys.1 

 

rys.2 

 

rys.3 

rys.4 

sznura,  które  jest  potrzebne  po  to,  aby  wciągnąć  skrzynię  ze  stałą  prędkością,  jeŜeli  współczynnik  tarcia 
przylegających do siebie powierzchni równa się µ = 0,3. 

7.14.  Sanie  rozpoczynają  zsuwanie  się  po  powierzchni  wzgórza,  nachylonego  pod  kątem  30

0

  do  poziomu,  w 

odległości l = 10 m od jego podstawy. Po przebyciu w kierunku poziomym drogi s = 90 m sanie zatrzymały się. 
Znaleźć współczynnik tarcia sań o śnieg. 

7.15.  Ciało  o  masie  m = 1000 kg  porusza  się  do  góry  z  prędkością  v = 15 m/s  po  powierzchni  o  długości 
l = 30 m,  tworzącej  z  poziomem  kąt 

α

 = 30

°

.  Siła  tarcia  równa  jest  F

T

 = 2000 N.  Znaleźć  pracę  oraz  moc 

osiąganą przy podnoszeniu ciała. 

7.16. Aerosanie o masie m = 100 kg poruszają się po płaskim odcinku drogi z prędkością v = 30 km/h osiągając 
moc  równą  P = 22 kW.  Jaką  moc  powinny  one  rozwijać  przy  ruchu  w  górę  po  powierzchni  nachylonej  pod 
kątem 

α

 = 10

°

  z  tą  samą  prędkością?  Znaleźć  spadzistość  stoku  (kąt  nachylenia),  po  którym  aerosanie  będą 

zsuwać się z prędkością v = 30km/h przy wyłączonym motorze. 

7.17. Kasa pancerna o masie m = 10t powinna być załadowana na samochód cięŜarowy  o wysokości h = 1,5 m 
przy pomocy desek o długości l = 6 m. Znaleźć najmniejszą siłę, jaka jest konieczna do załadowania kasy, jeŜeli 
współczynnik tarcia µ = 0,35. 

7.18. Jaką minimalną pracę naleŜy wykonać, aby wciągnąć blok o masie m na wysokość h po równi pochyłej o 
długości l, jeśli wiadomo, Ŝe siła tarcia bloku o równię wynosi F

T

? Jaka będzie prędkość bloku u podnóŜa równi 

zsuwającego się z wysokości h.  

7.19. U podnóŜa równi pochyłej o kącie nachylenia 

α

 stoi armata o masie M. Prędkość wystrzelonej z armaty 

kulki o masie m wyniosła v

m

. Na jaką wysokość na równi wzniesie się armata. 

7.20.  U  podnóŜa  równi  pochyłej  o  kącie  nachylenia 

α

  zderzyły  się  idealnie  niespręŜyście  dwa  ciała 

odpowiednio o masie m i M, przy czym M > m. Z jakiej wysokości z równi zsunęło się ciało m, jeśli wiadomo, 
Ŝ

e przed zderzeniem prędkość ciała M wynosiła v

M

, zaś po zderzeniu ciała pozostają w spoczynku? 

7.21.  Po  płaszczyźnie  nachylonej  do  poziomu  pod  kątem 

α

  zsuwa  się  ciało,  które  przy  końcu  drogi  uderza  o 

ś

ciankę prostopadłą do nachylonej powierzchni. Znaleźć wysokość, na którą podniesie się to ciało ślizgając się 

ponownie  ku  górze,  jeŜeli  początkowo  ciało  znajdowało  się  na  wysokości  h.  Współczynnik  tarcia  ciała  o 
powierzchnię równa się µ. ZałoŜyć, Ŝe zderzenie było idealnie spręŜyste. 

7.22.  Na  skraju  równi  pochyłej  o  kącie  nachylenia 

α

 = 30°  umieszczono 

bloczek o  masie M = 5 kg i promieniu R = 0,1 m. Przez bloczek przerzucono 
niewaŜką  i  nierozciągliwą  nić.  Do  zwisającego  końca  liny  przyczepiono 
worek  o  masie  m

1

 = 10 kg.  Drugi  koniec  przyczepiono  do  klocka.  Jaka  jest 

masa tego klocka oraz napręŜenia nici, jeśli wiadomo, Ŝe układ porusza się ze 
stałym przyspieszeniem a = 1 m/s

2

, zaś współczynnik tarcia klocka o podłoŜe 

równi wynosi µ = 0,25? Rozpatrz przypadek, gdy: 

a. worek porusza się w górę 
b. worek porusza się w dół. 

7.23.  Dwa  jednakowe  ciała  A  i  B  o  masie  m  związane  nitką  znajdują  się  na  nachylonych  powierzchniach, 
tworzących  z  poziomem  kąty 

α

  i 

β

.  Ciało  B  zaczyna  zsuwać  się  w  dół  po  nachylonej  powierzchni.  Z  jakim 

przyspieszeniem będą poruszać się ciała A i B, jeŜeli współczynniki tarcia równe są odpowiednio µ

1

 i µ

2

? Tarcie 

nitki o blok zaniedbać.