1)  Test t-Studenta - ocena istotności parametrów : 

 

 

     

 

                       

 

 

     

 

                    

   

 

 

   

 

 

 

| 

 

|    

   

 odrzucamy  

 

, zmieniamy hipotezę na H

1

,parametr jest istotny statystycznie 

| 

 

|    

   

 brak podstaw do odrzucenia  

 

, możemy sądzić, że parametr jest nieistotny statystycznie, 

więc usuwamy parametr z modelu 

2)  Test CUSUM - ocena stabilności parametrów: 

 

 

    

 

        brak zmian w parametrach, parametry stabilne 

 

 

 

 

        zmiany w parametrach, parametry niestabilne 

Statystyka testu: Harvey-Collier 

        brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – brak zmian w parametrach – parametry 
stabilne 

        z empirycznym poziomem błędu p odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej – 
występują zmiany w parametrach – parametry niestabilne 

3) 

Test Chowa - ocena stabilności parametrów : 

H

0

: β

1

= β

 2

 

 – parametry modelu pomocniczego są równe 0 (zależność liniowa) 

H

1

: β

 1

≠ β

 2

        – parametry modelu pomocniczego są różne od 0 ( zależność nieliniowa)  

Jeżeli F < Fy - brak podstaw do odrzucenia H0 - parametry są stabilne 
Jeśli F < F

0,05,k,T-k

 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – parametry są stabilne. 

4)  Test Durbina-Watsona – badanie autokorelacji parametrów : 

 

 

    

 

    reszty losowe, brak autokorelacji składnika losowego rz. I 

Gdy                

 

 

     

 

     reszty nielosowe, występuje autokorelacja składnika losowego rz. I 

Gdy       , wówczas   

 

         

  

 

 

     

 

    

DW(DW*) > dl  brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – autokorelacja składnika losowego rz. I 
nie występuje 

DW(DW*) < dl odrzucam hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej – autokorelacja składnika 
losowego rz. I występuję 

dl < DW(DW*) < du test nie rozstrzyga o autokorelacji składnika losowego rz. I 

5)  Test Quinoille’a – badanie autokorelacji parametrów : 

 

 

    

  

    wspólczynnik autokorelacji rzędu   jest nieistotny statystycznie 

 

 

    

  

    współczynnik autokorelacji rzędu   jest istotny statystycznie 

| ̂

  

|  

 

√ 

 odrzucam hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, współczynnik autokorelacji rzędu   jest 

istotny statystycznie, występuje autokorelacja co najmniej rzędu  . 

| ̂

  

|  

 

√ 

  brak  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy  zerowej,  współczynnik  autokorelacji  rzędu     jest 

nieistotny statystycznie. 

6)  Test White’a – na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) : 

     

 

      – parametry modelu pomocniczego są równe 0 (zależność liniowa, wariancja składnika 

 

 

losowego modelu podstawowego jest jednorodna) 

     

 

      – co najmniej jeden parametr modelu pomocniczego (przy kwadratach 

zmiennych) jest różny od zera ( zależność nieliniowa – kwadraty, wariancja składnika losowego modelu 
podstawowego jest niejednorodna) 

Statystyka LM służąca do weryfikacji powyższych hipotez ma postać: 
       

 

 

Gdzie: 
R

2

 - współczynnik determinacji modelu pomocniczego 

T – liczba obserwacji 

 

Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o K stopniach swobody:  

 

 

   , przy czym K  – liczba zmiennych 

objaśniających w modelu pomocniczym. 

Jeżeli         

 

 

    to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – wariancja składnika 

losowego jest jednorodna (wszystkie odstające obserwacje zostały poprawnie opisane przez model). 
Jeżeli wariancja okaże się niejednorodna zamiast KMNK należy stosować UMNK. 

7)  Test normalności rozkładu reszt : 

 

 

               składniki losowy ma rozkład normalny 

 

 

               składnik losowy nie ma rozkładu normalnego 

Statystyka testu: Chi-kwadrat 
        brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – rozkład reszt posiada cechy rozkładu 
normalnego 
         z  empirycznym  poziomem  błędu  p  odrzucamy  hipotezę  zerową  na  korzyść  alternatywnej  – 
rozkład reszt nie posiada cech rozkładu normalnego 

8)  Test nieliniowości (kwadraty) : 

H0: zależność jest liniowa 
H1: zależność nie jest liniowa 
P > α = 0,05 to brak podstaw do odrzucenia H0, co znaczy, że zależność jest liniowa, nie występuje 
heteroskedastyczność 
P < α = 0,05 to odrzucamy H0, co znaczy, że zależność jest nieliniowa, występuje heteroskedastyczność 

9)  Test nieliniowości (logarytmy) : 

H0: zależność jest liniowa 
H1: zależność nie jest liniowa 
P > α = 0,05 to brak podstaw do odrzucenia H0, co znaczy, że zależność jest liniowa, nie występuje 
heteroskedastyczność 
P < α = 0,05 to odrzucamy H0, co znaczy, że zależność jest nieliniowa, występuje heteroskedastyczność 

10) Test F – wybór stopnia wielomianu trendu : 

       

 

    

 

 

   

   

 

 

              

 

    

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

   

 

  

 

 

     

 

 brak podstaw do odrzucenia  

 

, nie nastąpił istotny spadek wariancji resztowej – wybieramy 

trend z niższym stopniem. 

     

 

 odrzucamy  

 

 na korzyść hipotezy alternatywnej, nastąpi istotny spadek wariancji resztowej – 

wybieramy trend z wyższym stopniem.