Całkowanie numeryczne 

 

- 1 -

 

 

Ogólnie numeryczne metody obliczania całki oznaczonej: 

   

 

polegają na zastąpieniu funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym W

n

(x) np. w postaci: 





  



 



    







 

tak aby: 

   





 

 

 

 

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 2 -

 

 

Kwadratury interpolacyjne 

Niech funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b]. Przedział ten dzieli się 

na skończoną liczbę n równych podprzedziałów o długości h: 

  



 



 



   



  

przy czym 





 



 ,    0,1,2 … , #  1 

 

 

Z twierdzeń dotyczących całki oznaczonej wynika, Ŝe: 



  $ 



%

&'(

%

&

)

*

%

+

*

%

,

*

 

Przyjmując: 

-



 



%

&'(

%

&

 

moŜna napisać, Ŝe: 



  $ -



)

*

%

+

*

%

,

*

 

Metody  interpolacyjne  polegają  na  przybliŜeniu  funkcji  f(x)  w  przedziale 

.



, 



/  lub  w 

przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym W(x), więc: 

-



 



%

&'(

%

&

 

MoŜna zatem napisać, Ŝe: 

  $ 



%

&'(

%

&

)

*

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 3 -

 

 

Do wyprowadzenia poszczególnych wzorów obliczania przybliŜonej wartości całki oznaczonej 

wykorzystany zostanie interpolacyjny wzór Newtona w postaci: 

  



 0∆





00  1

2!

∆







  , 0 

  





 

gdzie 

∆



 



 



 

 

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 4 -

 

 

Metoda prostokątów 

Uwzględniając tylko pierwszy składnik wielomianu Newtona zachodzi: 

  



  

gdzie 





 



  3



 

przy  czym 

 4 .



, 



/.  Oznacza  to,  Ŝe  funkcję  f(x)  w  przedziale  .



, 



/  przybliŜa  się 

wartością f

i

 czyli: 

-



 

  







%

&'(

%

&

%

&'(

%

&

 

Ostatecznie: 

 

 $  





%

&'(

%

&

)

*

 

W celu obliczenia całki wprowadzono nową zmienną 

0 

%)%

&

5

. Stąd otrzymuje się: 

0 





 

Dolną  granicę  całkowania  wyznacza  się  przyjmując 

  



,  zatem  q  =  0.  Natomiast  górną 

przyjmując 

  



, otrzymując q = 1. 

Uwzględniając powyŜsze zaleŜności otrzymujemy: 

-



 

 

%

&'(

%

&







    



0  







%

&'(

%

&

 

Ostatecznie: 

 

  $ 



)

*

 

PoniewaŜ iloczyn 





 odpowiada polu prostokąta o bokach 

 oraz 



 prezentowana metoda nosi 

nazwę metody prostokątów. 

 

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 5 -

 

 

Metoda trapezów 

Uwzględniając dwa składniki wielomianu Newtona mamy: 

  



 0∆



 

co daje: 



 

%

&'(

%

&







 0∆





%

&'(

%

&

 

Po wprowadzeniu tak jak uprzednio zmiennej q jest: 

-



 

 

%

&'(

%

&







 0∆



    



 0∆



0







1

2 



 





%

&'(

%

&

 

Sumując kolejne pola 

-



, otrzymuje się: 

 

  6





 



2  $ 



)

*

7 

Wzór ten nazywany jest wzorem trapezów ze względu na fakt, Ŝe elementami sumowania są pola 

trapezów. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 6 -

 

 

Metoda Simpsona 

JeŜeli  do  wyznaczania  całki  uwzględni  się  trzy  wyrazy  wielomianu  Newtona  to  całkowanie 

odbywa się z uwzględnieniem trzech punktów: 

-



   

%

&'8

%

&



9



 0∆





00  1

2!

∆







:    



3 



 4



 





%

&'8

%

&

 

NaleŜy zaznaczyć, Ŝe następuje tu interpolacja funkcji parabolą. Do wyznaczenia jej potrzebne są 

trzy punkty: 

  



3





 4



 2



 4

=

   2

)

 4

)

 



 

Wzór ten nazywa się wzorem Simpsona. 

 

Całkowanie numeryczne 

 

- 7 -

 

 

Zadania. 

1.

 

Oblicz całkę z funkcji 

f(x) = x

2

 + 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział 

na:

 

a.

 

3 części 

b.

 

5 części 

c.

 

10 części. 

2.

 

Oblicz całkę z funkcji 

f(x) = x

2

 + 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział 

na 10 części i licząc wartość funkcji w:

 

a.

 

początku przedziału 

b.

 

środku przedziału 

c.

 

końcu przedziału. 

3.

 

Oblicz całkę z funkcji 

f(x) = x

2

 + 3 w przedziale [2,5] metodą trapezów dzieląc przedział na:

 

a.

 

3 części 

b.

 

5 części 

c.

 

10 części. 

4.

 

Oblicz całkę z funkcji 

f(x) = x

2

 + 3 w przedziale [2,5] metodą Simpsona dzieląc przedział na

 

a.

 

6 części

 

b.

 

10 części.