1
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ BELKI
W wyniku działania momentu gnącego zachodzi wzajemny obrót względem
osi obojętnej uprzednio równoległych przekrojów (rys 1.a). Odkształcenia te po-
wodują zakrzywienie, czyli ugięcie prostej osi pręta. W układzie prostokątnym w
którym oś x pokrywa się z nieodkształconą osią pręta (rys 1.b), oś ugiętą określa
równanie osi ugiętej
y
f x
=
( )
, jej krzywiznę natomiast wyraża wzór (1).
EI
Mg
−
=
ρ
1
(1)
Wzór powyższy nie uwzględnia wpływu siły poprzecznej, ponieważ jej wpływ w
większości zagadnień technicznych jest znikomy.
Rys 1.
Z analizy różniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej
y
f x
=
( )
przedsta-
wia równanie
3
2
2
2
1
1
+
±
=
dx
dy
dx
y
d
ρ
(2)
podstawiając
EI
Mg
−
=
ρ
1
otrzymuje się
y
x
R
1
R
2
q
F
θ
y
ρ
d
ϕ
ds=dx
2
Mg
EI
d y
dx
dy
dx
= ±
+
2
2
2
3
1
(3)
Jest to równanie osi ugiętej w postaci różniczkowej
W praktyce inżynierskiej - duża sztywność prętów - odkształcenia małe, promienie
krzywizny bardzo duże w wyniku czego przemieszczenia liniowe
y
f x
=
( )
oraz
przemieszczenia kątowe
y
f x
'
'
( )
=
są małe.
Przemieszczenie liniowe nazywać będziemy
ugięciem
.
Przemieszczenie kątowe nazywać będziemy
kątem ugięcia
.
Jeżeli przyjmuje się, że
kąty ugięcia
są
bardzo małe
, to
dy
dx
2
jest jeszcze mniej-
sze. Stąd można przyjąć, że
1
1
2
3
+
≈
dy
dx
Przy powyższych założeniach równanie (3) przyjmie postać
EI
x
Mg
dx
x
y
d
)
(
)
(
2
2
±
=
(4)
3
Rys.2.
Przyjęcie w równaniu (4) znaku minus lub plus zależne jest od umownego ustale-
nia znaku momentu gnącego oraz orientacji układu współrzędnych. Stosując ozna-
czenia momentu gnącego i układu osi jak na (rys.2.) równanie różniczkowe osi
ugiętej pisze się w postaci
d y x
dx
Mg x
EI
2
2
( )
( )
= −
(5)
W praktyce wymiary i materiał belki nie zmieniają się na długości pręta, w rezul-
tacie czego
EI
const
=
. Różniczkując w takim przypadku równanie (5) dwukrotnie
i uwzględniając zależność
−
=
−
=
q
dx
dT
T
dx
x
dMg
,
)
(
d Mg x
dx
q
2
2
( )
= −
otrzymuje-
my
EI
d y x
dx
q
4
4
( )
= −
(6)
W zagadnieniach inżynierskich wyznaczenie linii ugięcia belki rozpoczyna
się od określenie sił wewnętrznych T(x) i Mg(x). Następnie dwukrotnie całkując
równanie (5) otrzymujemy
4
EI
d y x
dx
Mg x
2
2
( )
( )
= −
równanie momentu
EI
dy x
dx
Mg x dx
C
( )
( )
= −
+
∫
równanie kąta ugięcia
(
)
EIy x
Mg x dx dx
Cx
D
( )
( )
= −
+
+
∫
∫
równanie linii ugięcia
Oś ugięta powinna być krzywą gładką pozbawioną załamań.
Moment gnący określa się dla danego odcinka belki równaniem analitycz-
nym. Po dwukrotnym scałkowaniu takiego równania otrzymuje się dwie stałe cał-
kowania C i D - określa się je z warunków brzegowych, to znaczy z warunków
którym muszą odpowiadać przemieszczenia na brzegach przedziałów. Warunek
ten dla punktów stanowiących granicę przedziałów wyrazi się jako warunek niero-
zerwalności
kątów ugięcia
i
przemieszczeń liniowych.
Przykład:
Wyznaczyć przebieg linii ugięcia belki o długości i wymiarach jak na rysunku.
Przykład:
Wyznaczyć przebieg linii ugięcia belki obciążonej siłą o długości i wymiarach jak
na rysunku.
