Laboratorium z Podstaw Automatyki
1
Laboratorium nr 3
Projektowanie układów automatyki
z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka
1. Cele
ć
wiczenia
•
poznanie sposobów tworzenia liniowych modeli układów automatyki, zmiana postaci modeli,
•
tworzenie schematów blokowych układów automatyki,
•
wyznaczanie charakterystyk czasowych i cz
ę
stotliwo
ś
ciowych układów automatyki
2. Wprowadzenie teoretyczne
2.1 Modele układów automatyki
W Matlabie najcz
ęś
ciej wykorzystuje si
ę
nast
ę
puj
ą
ce postacie liniowych modeli dynamicznych:
•
równania stanu i wyj
ś
cia
Do ich pełnego okre
ś
lenia wystarcza podanie macierzy A, B, C i D
Np.
[ ]
[ ]
0
2
1
0
1
0
1
2
3
=
=
=
−
−
=
D
C
B
A
Wykorzystuj
ą
c instrukcj
ę
ss(A, B, C, D) mo
ż
emy zobaczy
ć
posta
ć
modelu na ekranie.
•
macierze transmitancji (tylko dla układów SIMO - jedno wej
ś
cie, wiele wyj
ść
)
Transmitancje podaje si
ę
w postaci pary wektorów zawieraj
ą
cych współczynniki licznika i mianownika,
przy czym umieszcza si
ę
je tam wg malej
ą
cych pot
ę
g operatora s.
Np. wektory: L = [1 2], M = [1 3 2] odpowiadaj
ą
transmitancji:
G s
s
s
s
( )
=
+
+ +
2
3
2
2
Wykorzystuj
ą
c instrukcj
ę
tf(L, M) mo
ż
emy zobaczy
ć
posta
ć
transmitancji na ekranie.
2.2. Zmiana postaci modeli
•
funkcje ss2tf oraz tf2ss
[L, M] = ss2tf (A, B, C, D, iu)
[A, B, C, D] = tf2ss (L, M)
Funkcja ss2tf zamienia równania stanu na odpowiadaj
ą
c
ą
im transmitancj
ę
liczon
ą
wzgl
ę
dem wej
ś
cia
o numerze iu. Wektor L zawiera współczynniki licznika transmitancji. Wektor M zawiera współczynniki
mianownika transmitancji.
Funkcja tf2ss dokonuje konwersji opisu układu w postaci transmitancji na opis w postaci zmiennych
stanu. Kolejne macierze oznaczaj
ą
: A – macierz stanu, B – macierz wej
ść
, C – macierz wyj
ść
, D –
macierz transmisji.
Laboratorium z Podstaw Automatyki
2
2.3. Tworzenie schematów blokowych
Poni
ż
ej przedstawiono funkcje umo
ż
liwiaj
ą
ce uzyskanie wypadkowych modeli dla układów ze
sprz
ęż
eniem zwrotnym oraz poł
ą
czonych szeregowo lub równolegle
•
cloop - układ z czystym sprz
ęż
eniem zwrotnym
[L, M] = cloop (L1, M1,znak)
•
feedback - układ ze sprz
ęż
eniem zwrotnym z kompensatorem w obwodzie sprz
ęż
enia
[L, M] = feedback (L1, M1, L2, M2, znak)
•
series - szeregowe poł
ą
czenie dwóch układów
[L, M] = series (L1, M1, L2, M2)
•
parallel - równoległe poł
ą
czenie dwóch układów
[L, M] = parallel (L1, M1, L2, M2)
Znak sprz
ęż
enia - parametr znak powinien mie
ć
warto
ść
1 (domy
ś
lnie) dla sprz
ęż
enia dodatniego i
warto
ść
-1 dla ujemnego.
2.4. Wyznaczanie charakterystyk czasowych
Charakterystyka impulsowa dla układów ci
ą
głych.
•
impulse (A, B, C, D, iu)
•
impulse (L, M)
•
[Y, X, t] = impulse (L, M)
Charakterystyka skokowa dla układów ci
ą
głych.
•
step (A, B, C, D, iu)
•
step (L, M)
•
[Y, X, t] = step (L, M)
2.5. Wyznaczanie charakterystyk cz
ę
stotliwo
ś
ciowych
Charakterystyka amplitudowo- fazowa dla układów ci
ą
głych.
•
nyquist (A, B, C, D, iu)
•
nyquist (L, M)
•
[re, im, w] = nyquist (L, M)
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe dla układów ci
ą
głych.
•
bode (A, B, C, D, iu)
•
bode (L, M)
•
[ampl, faza, w] = bode (L, M)
Laboratorium z Podstaw Automatyki
3
3. Przebieg
ć
wiczenia
3.1. Dla podanych macierzy dokona
ć
zamiany modelu na posta
ć
transmitancji operatorowej
a)
−
−
=
1
,
2
2
,
4
A
[ ]
]
0
[
0
1
1
0
=
=
=
D
C
B
b)
[
]
]
0
[
0
1
1
1
0
0
0
3
0
1
0
0
0
1
1
=
=
=
−
−
=
D
C
B
A
3.2. Dla podanych transmitancji operatorowych dokona
ć
zamiany modelu na posta
ć
macierzow
ą
a)
( )
1
2
4
+
=
s
s
s
G
,
b)
( )
6
4
2
2
+
+
=
s
s
s
G
,
c)
( )
s
s
G
5
1
=
,
d)
( )
3
=
s
G
3.3. Wyznaczy
ć
charakterystyki czasowe oraz cz
ę
stotliwo
ś
ciowe nast
ę
puj
ą
cych elementów
automatyki:
a) element proporcjonalny: K = 2;
b) element całkuj
ą
cy idealny: K = 3;
c) element ró
ż
niczkuj
ą
cy idealny: T = 5;
d) element ró
ż
niczkuj
ą
cy rzeczywisty: T
1
= 0.1, T
2
= 8;
e) element inercyjny I-go rz
ę
du: K=3, T = 1;
f) element inercyjny II-go rz
ę
du: K=2, T
1
= 2, T
2
= 4;
g) element oscylacyjny II-go rz
ę
du: K = 1,
ω
= 1,
ζ
= 0.4;
Przykład 1
Wyznaczy
ć
charakterystyki czasowe oraz cz
ę
stotliwo
ś
ciowe elementu inercyjnego I-go rz
ę
du:
( )
1
+
=
Ts
K
s
G
gdzie: K = 1, T = 3
>> l=[1];
>> m=[3,1];
>> step(l,m)
>> grid
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Res pons e
Time (s ec )
A
m
p
lit
u
d
e
>> impulse(l,m)
>> grid
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Impuls e Res pons e
Time (s ec )
A
m
p
lit
u
d
e
Laboratorium z Podstaw Automatyki
4
>> nyquist(l,m)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
A
x
is
>> bode(l,m)
>> grid
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
M
a
g
n
itu
d
e
(
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec )
3.4. Przyjmuj
ą
c nast
ę
puj
ą
ce dane: Kr = 1.5, T
d
= 3, T
i
= 2 i T = 1 napisa
ć
m-plik, który pozwoli
wykre
ś
li
ć
charakterystyki: skokow
ą
, impulsow
ą
, amplitudowo-fazow
ą
, logarytmiczn
ą
modułu i
fazy dla układu przedstawionego poni
ż
ej.
Przykład 2
Przyjmuj
ą
c nast
ę
puj
ą
ce dane: K = 2 i T = 4 napisa
ć
m-plik, który pozwoli wykre
ś
li
ć
charakterystyk
ę
amplitudowo–fazow
ą
, logarytmiczna modułu i logarytmiczn
ą
fazy dla układu przedstawionego poni
ż
ej.
%Dane
k=1.5;T=3;
%Licznik i mianownik k+1/Ts
[L,M]=parallel([k],[1],[1],[T 0]);
w=0:0.01:200;
[mod,faza,w]=bode(L,M);
%Charakterystyka amplitudowo - fazowa
nyquist(L,M,w);axis([-1 5 -5 2]);grid;pause
%Charakterystyka logarytmiczna modułu
semilogx(w,20*log10(mod)); grid;ylabel('Lm [dB]');pause
%Charakterystyka logarytmiczna fazy
semilogx(w,faza); grid;ylabel('faza [stopnie]');pause;
Laboratorium z Podstaw Automatyki
5
3.5. Dla układów opasanych macierzami A, B, C, D w punkcie 3.1, wyznaczy
ć
odpowied
ź
skokow
ą
w
Matlabie a nast
ę
pnie zbudowa
ć
modele tych układów w Simulinku i równie
ż
wyznaczy
ć
dla nich
odpowiedz skokow
ą
.
4. Sprawozdanie z przebiegu
ć
wiczenia
Na podstawie przeprowadzonych symulacji nale
ż
y przygotowa
ć
sprawozdanie, które powinno
zawiera
ć
zrealizowane na zaj
ę
ciach ró
ż
ne modele układów automatyki, przebiegi charakterystyk
czasowych i cz
ę
stotliwo
ś
ciowych dla badanych układów oraz wnioski ko
ń
cowe.
Literatura
[1] Brzózka J.,
Ć
wiczenia z Automatyki w MATLABIE i SIMULINKU, Wydawnictwo Mikon,
Warszawa 1997
[3] Zalewski A., Cegieła R., MATLAB: obliczenia numeryczne i ich zastosowania, Wydawnictwo
Nakom, Pozna
ń
1996