Szczególna teoria względności
Postulaty Einsteina:
I.
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia.
II.
Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia.
Transformacje Lorentza
y
y
=
'
z
z
=
'
t
t
=
'
'
x
x
ut
= −
y
y
′
=
z
z
′
=
t
t
′
=
x
x
ut
′
=
+
Transformacje Galileusza:
y
y
=
'
z
z
=
'
2
'
xu
t
t
c
γ
=
−
(
)
'
x
x
ut
γ
=
−
y
y
′
=
z
z
′
=
2
'
x u
t
t
c
γ
′
=
+
(
)
'
x
x
ut
γ
′
=
+
Transformacje Lorentza:
2
2
1
1
u
c
γ
=
−
„Skrócenie długości”
0
2
1
l
x
x
′
′
=
−
2
2
1
1
u
c
γ
=
−
0
2
1
(
)
(
)
l
x
ut
x
ut
γ
γ
=
−
−
−
0
2
1
(
)
l
x
x
γ
=
−
2
1
0
2
(
)
1
x
x
l
u
c
−
=
−
0
2
1
l
l
u
c
=
−
⇒
(
)
2
0
1
/
l
u c
l
=
−
⋅
(
)
'
x
x
ut
γ
=
−
Przykład
•
Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje
wynik 400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi,
jeśli wiadomo, że prędkość statku u = 0.8c
2
2
2
0
1
/
400 1 (0.8 / )
400 1 0.64
240
l
l
u
c
c c
m
=
−
=
−
=
−
=
Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu
'
⊥
=
⊥
l
l
Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami
2
1
2
1
2
1
2
2
x u
x u
t
t
t
t
c
c
γ
γ
′
′
′
′
−
=
+
−
+
a) Zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie x’ = a i w
chwilach względem układu S’
1
2
t
oraz t
′
′
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
au
au
t
t
t
t
t
t
c
c
γ
γ
′
′
′
′
−
=
+
− −
=
−
Zdarzenia jednoczesne, zachodzące w tym samym punkcie w jednym
inercjalnym u.w. są równoczesnymi w każdym innym układzie
inercjalnym.
(
)
0
2
1
/
t
t
u c
∆
∆ =
−
czas własny
Czas pomiędzy dwoma zdarzeniami
Przykład
•
Statek kosmiczny wysyła impulsy świetlne trwające wg
astronautów na statku 2x10
-6
s. Jak długo trwają te impulsy wg
obserwatora na Ziemi, jeśli statek porusza się względem Ziemi z
prędkością v=0.6c?
s
x
s
x
c
c
s
x
c
u
t
t
6
6
2
2
6
2
2
0
10
5
.
2
8
.
0
10
2
6
.
0
1
10
2
1
−
−
−
=
=
−
=
−
∆
=
∆
Czas życia mionów
• Miony powstają w górnych
warstwach atmosfery w
wyniku rozpadu pionów
•
Poruszają się z
prędkościami bliskimi
prędkości światła
• Ich czas życia w
„spoczynku”
τ = 2.2x10
-6
s
• W takim czasie powinny
przebyć odległość nie
większą niż
600m
zanim nie
ulegną rozpadowi
•
Tymczasem przebywają one odległość
rzędu
4.8km
µ
π
µ
ν
+
+
→
+
e
e
v
v
µ
µ
+
+
→
+
+
%
S im u lta n e ity
2
'
xu
t
t
c
γ
=
−
)
(
'
)
(
'
2
c
dx
u
dt
dt
udt
dx
dx
−
=
−
=
γ
γ
x
2
x
2
2
x'
v
1
v
1
)
(
)
(
'
'
v
c
u
u
dt
dx
c
u
u
dt
dx
c
dx
u
dt
udt
dx
dt
dx
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
γ
γ
x
2
x
x'
v
1
v
v
c
u
u
−
−
=
x'
2
x'
x
v
1
v
v
c
u
u
+
+
=
Transformacja prędkości
Załóżmy, że pewna cząstka porusza
się z prędkością u wzdłuż osi Ox.
Powiążmy z tą cząstką nowy u.w.
(
)
x
x
ut
γ
′ =
−
Teraz ta cząstka porusza się w
kierunku osi Oy, a ruch jej jest
obserwowany
przez
obserwatora w układzie O’x’
dt
c
dx
u
dt
dt
dy
dy
γ
γ
=
−
=
=
)
(
'
'
2
2
2
y
y'
1
v
'
'
v
c
u
dt
dy
dt
dy
−
=
=
=
γ
Transformacja prędkości
2
2
1
o
m
p
u
u
c
=
−
r
r
Relatywistyczny
pędu
Druga zasady dynamiki
dt
p
d
F
r
r
=
Równoważność masy i energii
2
E
mc
=
2
2
2
0
E
c m c
p
=
+
Pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej, m
0
=0
2
0
E
E
c
p
p
c
=
+
⇒
=
Pęd fotonu:
hv
p
c
=
2
2
0
K
mc
m c
=
−
Skorzystajmy z rozwinięcia :
(
)
(
)
⋅
⋅
⋅
+
−
+
+
=
+
!
2
1
1
1
2
x
n
n
nx
x
n
⋅
⋅
⋅
+
+
+
=
8
3
2
1
1
2
2
2
2
2
0
c
v
c
v
m
(
)
2
1
2
2
0
1
−
−
=
c
v
m
m
2
0
2
2
0
0
2
1
c
m
c
v
m
m
K
−
+
≅
2
0
2
1
v
m
=
+
≅
2
2
0
2
1
1
c
v
m
Przypadek małych prędkości:
2
0
v
c
<<
Energia kinetyczna
Przykład 1.
Elektron porusza się z prędkością v=0.9c.
Masa spoczynkowa elektronu m
0
=0.511 eV
2
2
0
0.661
T
mc
m c
eV
=
−
=
(
)
2
1
2.2942
1
0.9
γ
=
=
−
⇒
Przykład 2. Synteza trytu
2
2
3
1
1
1
1
1
H
H
H
H
energia
+
→
+
+
13
4.03
6.45 10
energia
eV
J
−
=
=
×
Przykład 3.
Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa o masach
spoczynkowych
m
1
i
m
2
. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.
Energia całkowita układu
2
1
2
Mc
E
E
=
+
pęd:
2
2
1
2
1
2
0
p
p
p
p
+
=
⇒
=
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
4
1
1
1
1
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
4
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
E
c m c
p
p
E
m c
E
m c
E
m c
E
E
c m
m
E
E
E
E
c m
m
=
+
⇒
=
−
−
=
−
⇒
−
=
−
−
+
=
−
4
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
(
)
E
E
c m
m
Mc
E
E
Mc
−
=
⋅
−
+
=