1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Powierzchnie stopnia drugiego
Definicja Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej,
które spełniają równanie:
A x
2
+ B y
2
+ C z
2
+ D xy + E xz + F yz + G x + H y + I z + K = 0,
gdzie A, B, . . . , K są stałymi. Ponadto przynajmniej jedna ze stałych A, B, C, D, E, F musi
być rózna od zera. Jest to ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego.
Przykład
Równanie x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 opisuje sferę o środku w punkcie O(0, 0, 0) i
promieniu 1. Równanie x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x − 6z + 6 = 0 opisuje sferę o środku w punkcie
S(−1, 0, 3) i promieniu 2.
Twierdzenie
Każdą powierzchnię stopnia drugiego można tak obrócić i przesunąć, aby
miała ona jedno z następujących równań:
•
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
-
elipsoida
•
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1
-
hiperboloida jednopowłokowa
•
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1
-
hiperboloida dwupowłokowa
•
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0
-
stożek
•
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 2pz
-
paraboloida eliptyczna
•
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 2pz
-
paraboloida hiperboliczna
•
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
-
walec eliptyczny
•
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1
-
walec hiperboliczny
• x
2
= 2py
-
walec paraboliczny
2
Równania powyższe nazywamy równanianmi kanonicznymi powierzchni stopnia drugiego
(niezdegenerowanych).
W niektórych przypadkach ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego może przedstawiać
zbiór punktów przestrzeni, będący zbiorem pustym, zbiorem jednopunktowym, prostą, sumą
dwóch prostych, płaszczyzną, sumą dwóch płaszczyzn. Powierzchnie takie nazywamy zdegenerowanymi.
Uwaga
Kształt powierzchni opisanych w twierdzeniu można ocenić na podstawie ich
przekrojów z płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn układu współrzędnych.
Rysunki podstawowych powierzchni stopnia drugiego przedstawiłam na osobnej kartce (kartkę
tą można mieć na kolokwium i egzaminie).
Definicja
Powierzchnię utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do danej prostej
i przechodzących przez punkty krzywej
L
nazywamy powierzchnia walcową. Krzywą
L
nazywamy kierownicą, a każdą prostą ztej rodziny - tworzącą powierzchni walcowej.
Na przykład równanie
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 na płaszczyźnie OXY opisuje elipsę, w przestrzeni równanie
to opisuje powierzchnię walcową, której kierownicą jest elipsa a tworzące są równoległe do osi
OZ. Powierzchnię tą nazywamy walcem eliptycznym.
Ćwiczenie
Narysuj powierzchnie:
• x
2
+ y
2
+ 2z
2
= 4
• x
2
+ 2y
2
= z
2
• x
2
+ y
2
+ z
2
= 2z
• x
2
+ z
2
= 4z
• y = 3x
2
+ 1
• y = ln x