42
ELEKTROSTATYKA
Ładunek elektryczny
Ładunek elektryczny jest obok masy cechą charakterystyczną kaŜdej
najmniejszej cząstki materii. Cząstki elementarne, do których zaliczamy
między innymi elektrony, protony i neutrony albo mają ładunek taki jak
elektron (-e), albo mają ładunek taki jak proton (+e), względnie nie mają
ładunku. Te ostatnie jednak, jeśli ulegają rozpadowi, to mogą tworzyć pary
cząstek, z których jedna ma ładunek +e, a druga -e.
Stwierdzenie, Ŝe ciało ma ładunek elektryczny oznacza, Ŝe w obrębie tego ciała
została naruszona równowaga między liczbą cząstek obdarzonych ładunkiem +e
i -e, praktycznie chodzi tu o liczby protonów zawartych w jądrach atomowych i
elektronów tworzących powłoki elektronowe. Ciało obdarzone ładunkiem
dodatnim ma za mało elektronów, a obdarzone ładunkiem ujemnym - za duŜo.
Kulomb (C) jest ładunkiem, który przepływa przez przekrój poprzeczny
przewodnika w ciągu sekundy jeśli w przewodniku płynie prąd o natęŜeniu
jednego ampera. Ładunek elementarny ma wartość:
e = (1,60217733 ± 0,00000049) . 10
-19
C
Prawo Coulomba
KaŜde dwa ładunki elektryczne przyciągają się lub odpychają z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich wartości i odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości między nimi.
F
k
Qq
r
====
2
k = 8,987551 . 109
Nm
C
Nm
C
2
9
2
2
9 10
≈≈≈≈ ⋅⋅⋅⋅
- stała elektrostatyczna
k
====
1
4
0
πε
πε
πε
πε
εεεε
0
12
2
2
8 854187817 10
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
,
C
Nm
- przenikalność elektryczna próŜni
F
Qq
r
====
4
0
2
πε
πε
πε
πε
F
r
r
F
r
−−−−
q
Q
+
+
43
J
eśli oddziaływanie zachodzi nie w próŜni lecz w jakimś ośrodku, to prawo
Coulomba przyjmuje postać:
F
kQq
r
Qq
r
====
====
εεεε
πεε
πεε
πεε
πεε
2
0
2
4
r
r
r
4
Qq
F
2
0
r
r
⋅⋅⋅⋅
πεε
πεε
πεε
πεε
====
-
prawo
Coulomba w zapisie wektorowym
r
r
r
- wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie r
r
εεεε
- liczba niemianowana charakterystyczna dla danego ośrodka, zwana
względną przenikalnością elektryczną ośrodka. Jest takŜe oznaczana
εεεε
r
.
PowyŜsze prawo zostało ustalone doświadczalnie w 1785 r. przez Charlesa
Coulomba (1736 - 1806).
NatęŜenie pola elektrycznego
Przestrzeń wokół ładunku elektrycznego, w której nieruchome ładunki doznają
oddziaływań kulombowskich nazywamy polem elektrycznym.
KaŜdemu punktowi pola moŜna przypisać wektor charakterystyczny dla tego
punktu zwany natęŜeniem pola elektrycznego. Miarą natęŜenia pola jest
stosunek siły działającej na ładunek umieszczony w danym punkcie pola do
wartości tego ładunku.
q
F
E
r
r
====
F
kQq
r
====
2
W przypadku, gdy źródłem pola jest ładunek punktowy Q otrzymujemy:
E
kQ
r
====
2
lub
E
Q
r
====
4
0
2
πε
πε
πε
πε
w ośrodku :
E
kQ
r
Q
r
====
====
εεεε
πεε
πεε
πεε
πεε
2
0
2
4
F
r
r
r
F
r
−−−−
q
Q
+
+
r
q
(+)
F
r
(+)
Q
E
r
r
r
q
(+)
(+)
Q
E
r
44
Stosując zapis wektorowy otrzymujemy:
r
r
r
4
Q
E
2
0
r
r
πε
πε
πε
πε
====
Linie sił pola elektrycznego
Linie poprowadzone w polu elektrycznym w taki sposób, Ŝe wektor natęŜenia
jest zawsze styczny do linii przechodzącej przez ten punkt pola nazywamy
liniami sił pola elektrycznego.
PowyŜsze rysunki przedstawiają kształt linii sił pola wytworzonego przez
pojedynczy ładunek dodatni, pojedynczy ładunek ujemny, dwa ładunki róŜnego
znaku, dwa ładunki dodatnie, oraz linie sił tzw. pola jednorodnego jakie istnieje
między dwiema płaskimi powierzchniami obdarzonymi ładunkami przeciwnych
znaków. W polu jednorodnym linie sił są do siebie równoległe, a natęŜenie pola
ma wszędzie taką samą wartość.
Nat
ęŜ
enie pola na osi dipola elektrycznego
Dipol elektryczny stanowią dwa ładunki o jednakowych wartościach i róŜnych
znakach umieszczone na niewielkiej odległości od siebie.
45
NatęŜenie pola w odległości
x
od środka dipola jest róŜnicą natęŜeń
pochodzących od poszczególnych ładunków.
E = E(+) - E(-)
E
kQ
x
l
kQ
x
l
====
−−−−
−−−−
++++
2
2
2
2
E
kQ
xl
x
l
====
−−−−
2
4
2
2
2
x
l
x
l
x
>>
>>
>>
>>
⇒
⇒
⇒
⇒
−−−−
≈≈≈≈
2
2
2
4
E
kQl
x
≈≈≈≈
2
3
Moment elektryczny dipola
Momentem elektrycznym dipola nazywamy wektor charakterystyczny dla
danego dipola, dobrany w taki sposób, Ŝeby iloczyn wektorowy tego wektora
przez wektor natęŜenia pola był równy momentowi pary sił obracających ten
dipol.
E
p
M
p
r
r
r
××××
====
- def.
M
F
l
p
====
⋅⋅⋅⋅
2
2
sin
αααα
; F = q
⋅⋅⋅⋅
E
M
p
= q l E sin
αααα
ql
p
====
M
p
= p E sin
αααα
Aby powyŜszy związek moŜna było zapisać w postaci
E
p
M
p
r
r
r
××××
====
, to
p
r
musi
być skierowany wzdłuŜ osi dipola, ze zwrotem od ładunku ujemnego do
dodatniego. Im większy jest moment elektryczny dipola (moment dipolowy)
tym większy jest moment pary sił obracających ten dipol, po umieszczeniu go w
polu elektrycznym.
46
Dipolami elektrycznymi są niektóre cząsteczki chemiczne.
p
x
k
2
E
3
r
r
====
Indukcja elektryczna
Indukcją elektryczną nazywamy wektor, który podobnie jak wektor natęŜenia
charakteryzuje pole elektryczne, ale w odróŜnieniu od wektora natęŜenia,
wartość wektora indukcji elektrycznej nie zaleŜy od rodzaju ośrodka
otaczającego źródło pola.
Pole elektryczne działając na ładunki zawarte w materiale umieszczonym w
polu elektrycznym powoduje przemieszczenie tych ładunków, w wyniku czego
na powierzchni
ds
indukuje się ładunek
dq
. Miarą indukcji elektrycznej jest
stosunek ładunku wyindukowanego na danej powierzchni do wielkości tej
powierzchni.
D
dq
ds
====
Jeśli ośrodek sam nie wytwarza pola elektrycznego, to wektory
D
r
i
E
r
są
współliniowe, przy czym zachodzi między nimi związek:
E
D
0
r
r
εε
εε
εε
εε
====
Indukcja elektryczna w odległości r od ładunku punktowego Q wynosi:
D
Q
r
Q
r
====
====
εε
εε
εε
εε
πεε
πεε
πεε
πεε
ππππ
0
0
2
2
4
4
Q
r
D
r
47
Strumie
ń
nat
ęŜ
enia pola elektrycznego
Strumie
ń
indukcji elektrycznej
W polu elektrycznym o natęŜeniu E jest umieszczony element powierzchni ds.
Strumień elementarny natęŜenia pola przenikający powierzchnię ds jest
określony równaniem:
s
d
E
d
ds
E
d
cos
Eds
d
E
E
E
r
o
r
====
Φ
Φ
Φ
Φ
====
Φ
Φ
Φ
Φ
αααα
====
Φ
Φ
Φ
Φ
⊥
⊥⊥
⊥
Analogicznie jest określony strumień elementarny
indukcji elektrycznej:
s
d
D
d
ds
D
d
cos
Dds
d
D
D
D
r
o
r
====
Φ
Φ
Φ
Φ
====
Φ
Φ
Φ
Φ
αααα
====
Φ
Φ
Φ
Φ
⊥
⊥⊥
⊥
Strumień
całkowity
indukcji
elektrycznej
stanowi
sumę
strumieni
elementarnych przenikających przez dowolnie duŜą powierzchnię umieszczoną
w polu elektrycznym.
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
D
D
d
====
∑
∑
∑
∑
Prawo Gaussa
RozwaŜamy przestrzennie rozłoŜony ładunek
Q
zamknięty wewnątrz
powierzchni dowolnego kształtu. Strumień całkowity natęŜenia pola
elektrycznego, który przenika przez rozpatrywaną powierzchnię jest
proporcjonalny do zamkniętego w niej ładunku i wynosi:
αααα
ds
E
r
αααα
ds
⊥
⊥⊥
⊥
E
r
αααα
ds
r
ds
r
E
48
E ds
Q
⊥
⊥⊥
⊥
====
∑
∑
∑
∑
εε
εε
εε
εε
0
Prawo to zostało sformułowane
przez
wielkiego
matematyka
niemieckiego Carla Friedricha
Gaussa (1777 - 1855). Istnieje
wiele sposobów zapisania tego
prawa. Oto niektóre z nich:
∑
∑
∑
∑
εε
εε
εε
εε
====
0
Q
s
d
E
r
o
r
D ds
Q
⊥
⊥⊥
⊥
====
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
====
Q
s
d
D
r
o
r
Φ
Φ
Φ
Φ
E
Q
====
εε
εε
εε
εε
0
Φ
Φ
Φ
Φ
D
Q
====
Jeśli w kaŜdym punkcie powierzchni zamykającej ładunek Q wektor natęŜenia
jest prostopadły do odpowiedniego fragmentu powierzchni i ma tą samą
wartość, to prawo Gaussa przyjmuje postać:
E
Q
s
====
εε
εε
εε
εε
0
Korzystając z prawa Gaussa moŜna wykazać co następuje:
1. Prawo Coulomba wynika z prawa Gaussa.
RozwaŜamy
powierzchnię
kulistą
otaczającą punktowy ładunek
Q
. PoniewaŜ
spełnione są warunki, o których była
mowa,
otrzymujemy:
E
r
Q
⋅⋅⋅⋅
====
4
2
0
ππππ
εε
εε
εε
εε
Siła działająca na ładunek
q
umieszczony
w odległości
r
od ładunku
Q
wynosi
zatem:
F
qE
Qq
r
====
====
4
0
2
πεε
πεε
πεε
πεε
c.n.d.
Q
E
r
E
r
r
q
49
2. Równomiernie naładowana kula wytwarza takie pole elektryczne jakie
wytwarzałby ładunek tej kuli umieszczony w jej środku.
RozwaŜamy
powierzchnię
kulistą
otaczającą kulę obdarzoną ładunkiem Q.
PoniewaŜ natęŜenie pola elektrycznego w
kaŜdym punkcie kuli o promieniu r
zamykającej
kulę
naładowaną
jest
prostopadłe
do
rozpatrywanej
powierzchni i wszędzie ma tą samą
wartość, otrzymujemy:
E
r
Q
⋅⋅⋅⋅
====
4
2
0
ππππ
εε
εε
εε
εε
E
Q
r
====
4
0
2
πεε
πεε
πεε
πεε
c.n.d.
3. Wewnątrz równomiernie naładowanej powierzchni sferycznej E = 0.
RozwaŜamy powierzchnię kulistą połoŜoną
wewnątrz naładowanej powierzchni sferycznej,
do której naleŜy punkt
P
. Gdyby w tym punkcie
istniało pole elektryczne to
E
r
powinien mieć
kierunek promienia (tylko na tym kierunku
istnieje asymetria układu). Stosując prawo
Gaussa otrzymujemy:
E S
⋅⋅⋅⋅ ====
0
0
εε
εε
εε
εε
PoniewaŜ jednak
S
≠≠≠≠
0
⇒
⇒
⇒
⇒
E = 0
c.n.d.
Praca w polu elektrycznym
Ładunek punktowy
q
umieszczony w odległości
r
od innego ładunku
Q
przesuwamy na odcinku
ds
, zwiększając odległość między ładunkami o
dr.
Wykonana przy tym praca elementarna wynosi:
dW = F
⋅⋅⋅⋅
ds
⋅⋅⋅⋅
cos(180
0
-
αααα
)
dW = - F
⋅⋅⋅⋅
ds
⋅⋅⋅⋅
cos
αααα
Q
r
E
r
E
r
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
P
S
E
r
E
r
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
dr
(+)
Q
q
(+)
d
αααα
ds
F
r
50
Praca elementarna nie zaleŜy zatem od drogi, a zaleŜy jedynie od zmiany
odległości między ładunkami. Praca wykonana przy dowolnie duŜej zmianie
odległości między ładunkami stanowi sumę prac elementarnych.
W
dW
W
Fdr
W
kqQ
dr
r
====
==== −−−−
==== −−−−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2
Powstaje problem obliczenia sumy prac elementarnych.
dx
x
x
====
−−−−
∑
∑
∑
∑
2
1
Suma nieskończenie wielu przyrostów zmiennej x jest równa x
2
- x
1
. Zmienną r
zastępujemy odpowiednio dobraną zmienną z, tak aby był spełniony warunek:
dr
r
dz
2
====
Aby powyŜszy warunek był spełniony poszukiwana zmienna powinna być
równa:
z
r
==== −−−−
1
z
dz
r
dr
−−−−
==== −−−−
++++
1
((((
))))
dz
r
dr
r
r
r
dr
r
dr r
dr
r
dr r
==== −−−−
++++
++++ ==== −−−− ++++ ++++
++++
====
++++
1
1
(
)
dr
dz
dr
r
≈≈≈≈
⇒
⇒
⇒
⇒
====
0
2
c.n.d.
Praca wykonana przy przesuwaniu ładunku w polu elektrycznym wynosi:
dW = - F
⋅⋅⋅⋅
dr
q
r
2
r
1
Q
dx
x
2
x
1
x
51
((((
))))
W
kqQ
dr
r
kqQ
dz
kqQ z
z
==== −−−−
==== −−−−
==== −−−−
−−−−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2
2
1
z
r
2
2
1
==== −−−−
z
r
1
1
1
==== −−−−
W
kqQ
r
r
====
−−−−
1
1
2
1
PowyŜsza zaleŜność wyraŜa pracę sił zewnętrznych jaka musi być wykonana
przy zmianie odległości między ładunkami
Q
,
q
z
r
1
na
r
2
.
Energia potencjalna układu ładunków
Energia potencjalna układu ładunków
Q
,
q
umieszczonych w odległości
wzajemnej
r
równa jest pracy jaką trzeba wykonać przenosząc ten układ ze
stanu energii zerowej (gdy ładunki są nieskończenie od siebie odległe
i na
siebie nie działają) do danego stanu energii (gdy ładunki są w odległości
r
).
E
kqQ
r
p
====
−−−−
∞
∞
∞
∞
1
1
E
kqQ
r
p
====
W przypadku układu złoŜonego z większej ilości ładunków, energia potencjalna
układu stanowi sumę energii potencjalnych poszczególnych par.
E
kQ Q
r
kQ Q
r
kQ Q
r
p
====
++++
++++
1
2
1
2
3
2
1
3
3
Potencjał
KaŜdemu punktowi pola elektrycznego moŜna przypisać wielkość skalarną
charakterystyczną dla danego punktu pola zwaną potencjałem. Miarą potencjału
Q
q
r
Q
3
Q
2
Q
1
r
3
r
1
52
jest stosunek energii potencjalnej jaką ma dowolny ładunek umieszczony w
danym punkcie pola do wartości tego ładunku.
V
E
q
p
====
Potencjał w odległości r od ładunku punktowego Q jest równy:
V
kqQ
rq
====
V
kQ
r
====
Praca wykonana przy przenoszeniu ładunku
q
z odległości
r
1
na odległość
r
2
od
ładunku
Q
wynosi:
W
kqQ
r
r
q
kQ
r
kQ
r
====
−−−−
====
−−−−
1
1
2
1
2
1
W = q (V
2
- V
1
) = q
⋅⋅⋅⋅
U
;
U
- napięcie
Wolt jest potencjałem takiego punktu pola, w którym ładunek jednego kulomba
ma energię potencjalną jednego dŜula.
V
J
C
====
Elektronowolt jest pracą jaką trzeba wykonać przenosząc ładunek elektronu
między dwoma punktami pola o róŜnicy potencjałów 1 V.
1eV = 1e . 1V = 1,602 . 10-19 C . 1V
1eV = 1,602 . 10-19 J
Zwi
ą
zek mi
ę
dzy nat
ęŜ
eniem pola i potencjałem
Ładunek
q
przesuwamy na odcinku
dr
wzdłuŜ linii sił pola elektrycznego.
Wykonaną przy tym pracę moŜna wyrazić na dwa sposoby.
dW = Fdr cos 180
0
dW = -Fdr
dW = -qEdr lub dW = qdV
-qEdr = qdV
V
r
Q
F
r
Q
q
(2)
(1)
(+)
dr = r
2
-r
1
dV = V
2
- V
1
53
E
dV
dr
==== −−−−
Znak "-" informuje o tym, Ŝe wektor natęŜenia ma zwrot w stronę punktu o
mniejszym potencjale.
W przypadku pola jednorodnego, jakie istnieje między dwiema płaskimi
powierzchniami równomiernie naładowanymi ładunkami o przeciwnych
znakach, między natęŜeniem pola i napięciem istnieje związek:
E
U
d
====
Rozkład ładunku na powierzchni przewodnika
W wyniku elektrostatycznego odpychania ładunków tego samego znaku,
ładunki te gromadzą się na powierzchni
przewodnika. Gęstością powierzchniową
ładunku nazywamy stosunek ładunku
dq
zgromadzonego na powierzchni
ds
do
wielkości tej powierzchni
σσσσ ====
dq
ds
Największa gęstość powierzchniowa
ładunku jest w miejscach silnie zakrzywionych.
RozwaŜamy powierzchnię przylegającą
do
powierzchni
naładowanego
przewodnika.
O
natęŜeniu
pola
elektrycznego w róŜnych punktach takiej
powierzchni
decyduje
ładunek
dq
znajdujący
się
w
najbliŜszym
sąsiedztwie. Stosując prawo Gaussa do
powierzchni
przylegającej
do
powierzchni naładowanego przewodnika otrzymujemy:
54
E
1
ds
1
+ E
2
ds
2
+ … = (dq
1
+ dq
2
+ … )
KaŜdemu składnikowi sumy po jednej stronie równania odpowiada jeden
składnik sumy po drugiej stronie.
Eds
dq
====
1
0
εε
εε
εε
εε
E
==== σσσσ
εε
εε
εε
εε
0
NatęŜenie pola elektrycznego na powierzchni przewodnika jest skierowane
prostopadle do powierzchni, a jego wartość jest wprost proporcjonalna do
gęstości powierzchniowej ładunku. Wewnątrz naładowanego przewodnika nie
ma pola elektrycznego.
W sąsiedztwie ostrzy
istnieje pole elektryczne
o
duŜym
natęŜeniu.
Powoduje ono jonizację
powietrza. Jony tego
samego znaku co ostrze
są od niego odpychane.
Powstaje tzw. wiatr elektryczny. Siła reakcji działa na ostrze, co tłumaczy
obracanie się młynka Franklina.
Powierzchnie ekwipotencjalne
Nazywamy tak powierzchnie o jednakowym potencjale. Powierzchnia
przewodnika,
niezaleŜnie
od
swojego
kształtu
jest
powierzchnią
ekwipotencjalną. Linie sił pola elektrycznego zawsze są prostopadłe do
powierzchni ekwipotencjalnych.
55
PowyŜsze rysunki przedstawiają typowy układ linii sił pola elektrycznego i
kształt powierzchni ekwipotencjalnych.
Przesunięcie ładunku po powierzchni ekwipotencjalnej nie wymaga pracy.
Model atomu Bohra
1. Model atomu Thomsona.
Odkrycie przez J.J. Thomsona (1856 - 1940) elektronu (1897 r.) umoŜliwiło
powstanie pierwszego modelu atomu. Thomson wyobraził sobie atom jako
dodatnio naładowaną kulę, w której umieszczone są elektrony. Model ten,
nazwany przez autora "ciastem z rodzynkami", tłumaczył wiele zjawisk. Na
jego podstawie moŜna było wyjaśnić zjawisko elektrolizy i emisji elektronów z
rozgrzanej powierzchni, a takŜe zjawisko emisji promieniowania świetlnego.
2. Model Rutherforda.
Ernest Rutherford (1871 - 1937) był Nowozelandczykiem. Po ukończeniu
uniwersytetu w Nowej Zelandii uzyskał stypendium na uniwersytecie w
Cambridge. Pracował tam w Laboratorium Cavendisha pod kierunkiem J.J.
Thomsona. W wieku 27 lat był juŜ profesorem katedry fizyki na Uniwersytecie
McGila w Montrealu. W roku 1907 Rutherford wraca do Anglii i zostaje
profesorem uniwersytetu w Manchesterze. Pod jego kierunkiem dwaj jego
asystenci - Geiger i Marsden
przeprowadzili badania nad rozpraszaniem cząstek
αααα
w cienkich foliach
metalowych (1909 r.). Cząstki
αααα
są to jądra helu wysyłane z jąder niektórych
pierwiastków promieniotwórczych. Mają one dodatni ładunek elektryczny o
56
wartości
2e
. Przyjmując, Ŝe atom ma taką budowę jaką przewidywał model
Thomsona, wyliczono rozkład kątowy promieniowania rozproszonego w danej
folii, tj. jaki procent cząstek powinien być rozproszony pod danym kątem.
Okazało się jednak, Ŝe niektóre cząstki ulegały wręcz odbiciu od folii. Był to
fakt zaskakujący. To tak jakby kula karabinowa mogła odbić się od kartki
papieru. Aby to zjawisko wytłumaczyć trzeba było przyjąć, Ŝe cały ładunek
dodatni atomu jest skupiony w jego centrum. Tak powstała koncepcja jądra
atomowego i planetarny model atomu ogłoszony w 1911 r.
3. Postulaty Bohra.
W 1911 roku przyjechał do Manchesteru młody Duńczyk - Niels Bohr (1885 -
1962). W wyniku współpracy z Ernestem Rutherfordem udało mu się usunąć
trudności stojące przed modelem planetarnym. Dokonał tego przez
wprowadzenie do atomistyki pojęcia kwantu. Sformułował on postulaty
kwantowe, którymi uzupełnił model Rutherforda:
1. Elektrony mogą krąŜyć wokół jądra atomowego jedynie po takich orbitach
kołowych, na których moment pędu jest wielokrotnością pewnej stałej.
mVr
n
====
h
;
ππππ
====
2
h
h
h = (6,6260755 ± 0,0000040) . 10-34 J . s
n
∈
∈
∈
∈
N
h
- stała Plancka
n
- główna liczba kwantowa.
2. Elektron krąŜący po ustalonym torze nie traci energii.
3. Przejściu elektronu z jednej orbity na drugą towarzyszy emisja lub absorpcja
kwantu energii:
∆∆∆∆
E
h
==== νννν
;
νννν
λλλλ
====
c
c = 2,99792458 . 108
m
s
m
s
≈≈≈≈ ⋅⋅⋅⋅
3 10
8
νννν
- częstość kwantu,
λλλλ
- długość fali promieniowania wysłanego lub pochłoniętego
c
- prędkość światła w próŜni.
4. Promie
ń
orbity dozwolonej.
Na elektron poruszający się po orbicie działa siła dośrodkowa, którą jest siła
kulombowska.
57
F
mV
r
ke
r
r
====
====
2
2
2
====
====
h
n
mVr
ke
r
mV
2
2
Podnosząc drugie równanie stronami do kwadratu i dzieląc stronami przez
pierwsze otrzymujemy:
m
ke
n
r
2
2
2
h
====
((((
))))
((((
))))
r
m
m
1
34
2
2
9
19
2
31
10
6 62 10
1
4
9 10 1 6 10
9 1 10
0 529 10
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
≈≈≈≈
⋅⋅⋅⋅
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
,
,
,
,
ππππ
r
2
= 4r
1
;
r
3
= 9r
1
;
r
4
= 16r
1
…
5. Pr
ę
dko
ść
elektronu na orbicie.
Ten sam układ równań pozwala określić prędkość elektronu krąŜącego wokół
jądra atomowego:
====
====
h
n
mVr
ke
r
mV
2
2
h
n
ke
V
2
====
((((
))))
V
m
s
1
9
19
2
34
9 10
1 6 10
6 62 10
2
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
−−−−
,
,
ππππ
V
1
≈≈≈≈
2,2
⋅⋅⋅⋅
10
6
m
s
F
r
r
(-)
e
(+)
e
58
Posługując się wyjściowym układem równań moŜna równieŜ określić inne
parametry elektronu związanego z atomem wodoru.
6. Energia elektronu na orbicie.
Elektron związany z jądrem atomowym posiada energię kinetyczną i
potencjalną:
(((( ))))
E
mV
ke
e
r
====
++++
−−−−
2
2
;
mV r
ke
2
2
====
E
ke
r
ke
r
====
−−−−
2
2
2
;
m
ke
n
r
2
2
2
h
====
2
2
4
2
n
2
m
e
k
E
h
−−−−
====
E
R
n
==== −−−−
'
1
2
;
R
k e m
'
====
2
4
2
2
h
RóŜnice między kolejnymi dozwolonymi poziomami
energii szybko maleją.
7. Zmiany energii przy zmianie orbity elektronu.
Jeśli
energia
elektronu
krąŜącego
wokół
jądra
atomowego jest najmniejsza, to mówimy, Ŝe atom jest w
stanie podstawowym. Efektem dostarczenia energii jest
powstanie tzw. stanu wzbudzonego atomu. Czas
pozostawania w stanie wzbudzonym wynosi ok. 10
-8
s,
po czym atom przechodzi do innego stanu wzbudzonego,
względnie do stanu podstawowego.
Energia kwantu wysłanego przez atom podczas przechodzenia do niŜszego
stanu energii wynosi:
n = 3
n = 2
n
→
→
→
→∞
∞
∞
∞
n = 1
−−−−
R '
9
−−−−
R'
4
0
E
∆Ε
∆Ε
∆Ε
∆Ε
n
2
n
1
e
59
∆∆∆∆
E
E
E
R
n
R
n
R
n
n
====
−−−−
==== −−−−
++++
====
−−−−
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
'
'
'
hc
R
n
n
λλλλ
====
−−−−
'
1
1
1
2
2
2
−−−−
====
λλλλ
2
2
2
1
n
1
n
1
R
1
gdzie
((((
))))
m
1
10
097
,
1
m
1
10
0000000013
,
0
0973731534
,
1
hc
2
m
e
k
hc
'
R
R
7
7
2
4
2
⋅⋅⋅⋅
≈≈≈≈
⋅⋅⋅⋅
±±±±
====
====
====
h
R -
stała Rydberga
Zmianę energii atomu przechodzącego z jednego stanu wzbudzonego do innego
stanu wzbudzonego lub do stanu podstawowego moŜna zatem określić
równaniem:
∆∆∆∆
E
Rhc
n
n
====
−−−−
1
1
1
2
2
2
Energia stanu podstawowego wyraŜa się wzorem:
E
Rhc
0
====
i wynosi E
0
= 13,6 eV
Uwzględniając, Ŝe elektron i jądro krąŜą wokół wspólnego środka masy stała
Rydberga wynosi:
R
H
= (1,096775854 ± 0,0000000083) . 107
1
m
8. Dalsze liczby kwantowe.
Model atomu Bohra tłumaczył powstawanie widm promieniowania wysyłanego
przez róŜne atomy, ale do czasu. Coraz lepsze metody badawcze doprowadziły
do wykrycia zjawisk, których model nie przewidywał. Analiza światła
wysyłanego przez atomy umieszczone w silnym polu magnetycznym wykazała,
Ŝ
e widziane dotychczas pojedyncze linie, przy bliŜszym poznaniu mają
strukturę subtelną tzn. składają się z kilku linii połoŜonych w niewielkich
odległościach. Odpowiada to kilku długościom fali. Aby znaleźć
wytłumaczenie subtelnej struktury widm przyjęto, Ŝe elektrony mogą poruszać
się równieŜ po torach eliptycznych, podlegająch takŜe warunkom kwantowym.
60
Orbity eliptyczne do modelu atomu Bohra wprowadził w latach dwudziestych
Arnold Sommerfeld (1868 - 1951).
W wyniku wprowadzenia orbit eliptycznych, główna liczba kwantowa określa
wielkość duŜej półosi orbity eliptycznej.
m
ke
n
a
2
2
2
h
====
Wielkość małej półosi określa tzw. poboczna, lub orbitalna liczba kwantowa (l).
b
a
l
n
====
++++
1
;
l
∈
∈
∈
∈
{0, 1, 2 … n-1}
Jeśli atom znajduje się w polu magnetycznym, to poszczególne orbity ustawiają
się pod pewnym kątem w stosunku do kierunku pola. Ustawienie
nie jest dowolne i określa je tzw. magnetyczna liczba kwantowa
(m).
cos
αααα ====
m
l
; m
∈
∈
∈
∈
{-l, …0 … +l}
Oprócz ruchu obiegowego, kaŜdy elektron porusza się ruchem wirowym wokół
własnej osi. Moment pędu związany z ruchem wirowym określa spinowa liczba
kwantowa (s).
h
s
L
s
====
;
s
∈
∈
∈
∈ −−−− ++++
1
2
1
2
,
9. Zakaz Pauliego. Budowa powłok elektronowych.
Stan elektronu krąŜącego wokół jądra atomowego moŜna określić przy uŜyciu
czterech liczb kwantowych. Zgodnie z zakazem Pauliego, w obrębie jednego
atomu mogą znaleźć się elektrony róŜniące się co najmniej jedną liczbą
kwantową. Przyjęcie tej zasady tłumaczy budowę powłok elektronowych.
Elektrony krąŜące wokół jądra atomowego poruszają się po orbitach o róŜnych
rozmiarach i kształcie, róŜnie ustawionych w przestrzeni. Elektrony wirują
takŜe wokół własnej osi. Zbiór orbit o jednakowej wartości duŜej półosi, ale o
róŜnych kształtach i róŜnie ustawionych w przestrzeni tworzy powłokę
elektronową. Kolejne powłoki są oznaczane: K, L, M, N, …
b
a
r
B
α
αα
α
61
Powłoka K
n = 1
⇒
⇒
⇒
⇒
l
∈
∈
∈
∈
{ 0 }
l = 0
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ 0 }
s
∈
∈
∈
∈ −−−− ++++
1
2
1
2
,
W powłoce K mogą znaleźć się tylko dwa elektrony.
Powłoka L
n = 2
⇒
⇒
⇒
⇒
l
∈
∈
∈
∈
{ 0 , 1}
l = 0
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ 0 }
l = 1
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ -1 , 0 +1}
W powłoce L moŜe znaleźć się 8 elektronów. Tworzą one dwie powłoki.
Przez podpowłokę rozumiemy zbiór orbit o jednakowych rozmiarach i kształcie,
lecz róŜnie zorientowanych w przestrzeni. Kolejne podpowłoki oznaczamy: s
(sharp), p (principal), d (diffuse), f (fundamental).
Powłoka M
n = 3
⇒
⇒
⇒
⇒
l
∈
∈
∈
∈
{ 0 , 1 , 2}
l = 0
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ 0 }
l = 1
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ -1 , 0 +1}
l = 2
⇒
⇒
⇒
⇒
m
∈
∈
∈
∈
{ -2 ,-1 , 0 +1 +2}
K
l = 0
m = 0
n = 1
s
==== −−−−
++++
1
2
1
2
L
n = 2
m = 0 -1 0
1
l = 0
1
{
4
4 3
4
4 2
1
p
s
s
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
{
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
4
4 3
4
4 2
1
d
p
s
s
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
M
n = 2
m = 0 -1 0
1 -2 -1 0 1 2
l = 0
1
2
62
W powłoce M moŜe znaleźć się 18 elektronów. Tworzą one trzy podpowłoki.
Energię elektronu określa główna liczba kwantowa, ale jeśli atom znajduje się
w polu magnetycznym to poszczególne orbity wykonują ruchy precesyjne, z
którymi jest takŜe związana pewna energia. Wpływ na energię ma równieŜ
magnetyczna i spinowa liczba kwantowa. Ma to istotne znaczenie w przypadku
dalekich powłok. JuŜ dla potasu energia stanu 4s jest mniejsza od energii stanu
3d. Oznacza to, Ŝe energia elektronu znajdującego się w powłoce N moŜe być
mniejsza jak w powłoce M. Model atomu Bohra, nawet po wprowadzeniu orbit
eliptycznych nie tłumaczy takich zjawisk jak np. zjawisko nadprzewodnictwa,
nadciekłości, czy efekt tunelowy w półprzewodnikach. Do wyjaśnienia tych
zjawisk jest uŜywany model falowy atomu opracowany w latach dwudziestych
naszego stulecia. Jest to model matematyczny i jego wadą jest to, Ŝe nie
pozwala na poglądowe wyjaśnienie zjawisk atomowych. Z tego względu model
atomu Bohra jest ciągle uŜywany. Modelu atomu nie wolno jednak utoŜsamiać z
atomem.
Pojemność elektryczna
Miarą pojemności elektrycznej przewodnika jest stosunek ładunku skupionego
na przewodniku do potencjału tego przewodnika.
C
Q
V
====
1
1
1
F
C
V
====
Przewodnik ma pojemność elektryczną jednego farada, jeśli ładunek 1 C
umieszczony na powierzchni tego przewodnika wytwarza potencjał 1 V.
1mF = 10
-3
F
1nF =10
-9
F 1 cm =
9
10
pF
1F = 10
-6
F
1pF = 10
-12
F
Pojemność elektryczna kuli
63
Ładunek elektryczny kuli wytwarza takie pole elektryczne jak ładunek
punktowy umieszczony w jej centrum.
r
kQ
V
====
k
r
C
r
kQ
Q
V
Q
C
====
====
====
Pojemność elektryczna kuli jest wprost proporcjonalna do jej promienia.
Pojemność kondensatora płaskiego
Kondensator płaski stanowią dwie płaskie, równoległe płyty umieszczone w
odległości wzajemnej d. Naładowany kondensator wytwarza pole elektryczne
jedynie w przestrzeni między płytami. Stosując prawo Gaussa dla powierzchni
zamykającej ładunek jednej z płyt, otrzymujemy:
ES
Q
E
U
d
====
====
εε
εε
εε
εε
0
;
US
d
Q
C
Q
U
====
====
εε
εε
εε
εε
0
;
C
S
d
====
εε
εε
εε
εε
0
Szeregowe łączenie kondensatorów
Cechą charakterystyczną łączenia szeregowego kondensatorów jest jednakowy
ładunek elektryczny na okładkach kaŜdego kondensatora.
C
2
C
3
C
1
Q
Q
Q
-
+
-
+
-
+
Napięcie na okładkach baterii kondensatorów jest równe sumie napięć na
okładkach poszczególnych kondensatorów.
Q
V
r
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
64
U = U
1
+ U
2
+ U
3
|: Q
1
1
1
1
1
2
3
C
C
C
C
====
++++
++++
W przypadku dwóch kondensatorów połączonych szeregowo otrzymujemy:
C
2
C
1
2
1
C
1
C
1
C
1
++++
====
C
C C
C
C
====
++++
1
2
1
2
W przypadku n jednakowych kondensatorów o pojemności C
1
kaŜdy,
połączonych szeregowo otrzymujemy:
C
1
C
1
C
1
1
1
1
1
1
1
1
C
C
C
C
====
++++
++++ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ++++
1
1
C
n
C
====
⇒
⇒
⇒
⇒
n
C
C
1
====
Równoległe łączenie kondensatorów
Cechą charakterystyczną tego połączenia jest jednakowe napięcie na okładkach
kaŜdego kondensatora. Ładunek na okładkach baterii kondensatorów
połączonych równolegle jest sumą ładunków na okładkach poszczególnych
kondensatorów.
Q = Q
1
+ Q
2
+ Q
3
|:U
C
C
C
C
====
++++
++++
1
2
3
C
2
C
3
C
1
Q
3
Q
2
Q
1
-
+
-
+
-
+
65
Kondensator wielookładkowy
Pomiędzy płytkami takiego kondensatora istnieje pole elektryczne.
Jeśli kondensator liczy n płyt, to istnieje n -1 obszarów pola elektrycznego.
Kondensator taki moŜna traktować
jak n-1 kondensatorów połączonych równolegle. Jego pojemność wynosi:
((((
))))
C
n
S
d
====
−−−−
1
0
εεεε
Energia naładowanego kondensatora
Okładki kondensatora o pojemności C mają ładunek q. Przeniesienie ładunku
dq podczas ładowania takiego kondensatora wymaga pracy dw:
dW = dq
⋅⋅⋅⋅
u
u
C
q
====
1
ZaleŜność napięcia na okładkach kondensatora od zgromadzonego na nich
ładunku jest funkcją liniową. Miarą pracy elementarnej jest pole wąskiego
prostokąta pod wykresem u(q). Praca wykonana podczas ładowania
kondensatora ładunkiem Q stanowi sumę prac elementarnych i odpowiada jej
pole trójkąta pod wykresem u(q).
W
QU
====
2
;
C
Q
U
====
W
Q
C
====
2
2
W
CU
====
2
2
(n = 5)
66
Polaryzacja dielektryka
Kondensator próŜniowy ma pojemność Co i po naładowaniu ładunkiem Qo,
między jego okładkami jest napięcie Uo, natęŜenie pola elektrycznego Eo i
indukcja elektryczna Do.
Wsunięcie dielektryka między okładki takiego kondensatora powoduje
polaryzację. Jeśli dielektryk zawiera cząsteczki stanowiące dipole elektryczne,
to w wyniku obrotów tych dipoli, na powierzchniach dielektryka sąsiadujących
z okładkami wyindukują się odpowiednie ładunki. Parametry kondensatora
zmienią się na C, Q, U, E i D.
Przyjmując załoŜenie, Ŝe ładunek kondensatora nie uległ zmianie (Qo = Q),
otrzymujemy:
E = Eo - E'
(((( ))))
E
E
r
0
==== εεεε
εεεε
r
- względna przenikalność elektryczna (stała dielektryczna) dielektryka
E
E
====
1
0
0
εεεε
Umieszczenie dielektryka między okładkami kondensatora powoduje zatem
zmniejszenie natęŜenia pola elektrycznego.
E
U
d
====
;
E
U
d
0
0
====
⇒
⇒
⇒
⇒
U
d
U
d
====
1
0
0
εεεε
⇒
U
U
====
1
0
εεεε
Obecność dielektryka powoduje zatem zmniejszenie napięcia między płytami
kondensatora.
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + +
Q
0
C
0
U
0
D
0
E
0
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + +
Q
C
U
D
E’
E
0
+
-
67
C
S
d
====
εε
εε
εε
εε
0
;
C
S
d
0
0
====
εεεε
⇒
⇒
⇒
⇒
C
C
==== εεεε
0
Dielektryk powoduje wzrost pojemności elektrycznej kondensatora.
D =
εεεεεεεε
0
E
;
D
0
=
εεεε
0
E
⇒
⇒
⇒
⇒
D
D
====
0
Dielektryk nie powoduje zmiany indukcji elektrycznej między okładkami
kondensatora.
Jeśli dielektryk nie zawiera dipoli elektrycznych, to pod wpływem pola
elektrycznego powstają tzw. dipole indukowane. Tworzą się one w wyniku
przesunięcia chmury elektronowej atomu względem jądra atomowego.
Analogicznie, przyjmując Ŝe U = Uo otrzymujemy:
E = Eo ;
Q =
εεεε
Qo ;
C =
εεεε
Co ;
D =
εεεε
D
Ruch ładunku w polu elektrycznym
Na ładunek umieszczony w polu elektrycznym o natęŜeniu E działa siła:
F = qE
Jeśli pole to jest jednorodne (np. między okładkami kondensatora płaskiego), to
siła działająca na ładunek wynosi:
F
q
U
d
====
Pod wpływem tej siły ładunek uzyskuje przyspieszenie:
a
qE
m
qU
dm
====
====
Praca wykonana przez pole elektryczne jest równa energii kinetycznej
przyspieszonego ładunku.
68
qU
mV
====
2
2
⇒
⇒
⇒
⇒
V
qU
m
====
2
PowyŜsza zaleŜność moŜe być stosowana tylko wtedy, gdy prędkość uzyskana
przez ładunek jest znacznie mniejsza od prędkości światła w próŜni.
c = 3 . 10
8
m
s
Przy większych napięciach naleŜy stosować zaleŜność relatywistyczną:
((((
))))
qU
m c
k
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
0
2
1
gdzie m
0
- masa spoczynkowa cząstki
k
v
c
====
−−−−
1
1
2
- współczynnik relatywistyczny
Jeśli ładunek wpada w obszar pola elektrycznego między okładkami płaskiego
kondensatora, poruszając się prostopadle do linii sił tego pola, to ruch takiego
ładunku jest złoŜony. Przy stałej prędkości skierowanej prostopadle do linii sił
pola ładunek uzyskuje rosnącą prędkość skierowaną wzdłuŜ linii sił pola, w
wyniku czego porusza się on po torze parabolicznym, doznając odchylenia (x).
x
at
a
qU
dm
t
l
V
====
====
====
2
0
2
;
;
x
qUl
dmV
====
2
0
2
2
-
odchylenie ładunku
V
V
V
a t
V
====
++++
====
++++
1
2
2
2
2 2
0
2
V
0
V
V
1
x
l
U
V
0
d
69
V
q U l
d m V
V
====
++++
2
2 2
2
2
0
2
0
2
-
prędkość końcowa