(P) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.
1. Rozwiąż równanie / nierówność; układ nierówności:
a)
(
)
(
)(
)
1
:
2
7
7
1
2
1
2
2
−
=
+
−
−
+
=
−
x
odp
x
x
x
x
b)
(
)
1
5
2
+
<
x
x
i wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające tę nierówność. odp: {-9,-8,…-1}
c)
(
)
(
)(
)
)
;
3
2
:
3
2
10
2
2
2
3
+∞
−
∈<
+
−
≥
+
−
x
odp
x
x
x
x
d)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
}
;
6
:
5
3
1
3
2
4
4
3
4
2
2
3
3
2
+∞
∈<
−
−
<
+
−
−
+
−
≤
+
+
−
x
odp
x
x
x
x
x
x
x
e)
(
)(
)
(
)
(
)
∅
∈
−
<
−
−
+
≥
+
−
x
odp
x
x
:
3
2
6
2
3
3
3
2
2
1
2
2
2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że wykres przechodzi:
a)
przez punkt P(2;4) i jest nachylony do osi OX pod kątem
π
α
4
3
=
i wyznacz zbiór tych
argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne,
odp:
)
;
2
;
2
+∞
−
∈<
+
−
=
x
x
y
b)
przez dwa punkty
)
3
;
6
(
A
oraz
)
3
;
0
( −
B
i wyznacz kąt nachylenia wykresu tej funkcji do
osi OX, odp:
6
;
3
3
3
π
α
=
−
=
x
y
c)
przez punkt A(4;4) i jest równoległy do wykresu funkcji
4
2
1
+
−
=
x
y
i wyznacz jej punkty
przecięcia z osiami, odp:
)
0
;
12
(
);
6
;
0
(
;
6
2
1
B
A
x
y
+
−
=
d)
przez punkt
)
2
2
4
;
1
(
+
−
A
i jest prostopadły do wykresu funkcji
x
y
)
2
2
3
( −
=
i wyznacz
jej miejsca zerowe, odp:
(
)
2
2
3
;
1
3
2
2
0
−
=
+
+
−
=
x
x
y
e)
)
3
;
(
0
)
(
6
)
1
(
−∞
∈
⇔
>
∧
=
x
x
f
f
odp: y = -3x + 9
f)
0
)
(
:
3
)
3
(
<
∈
∀
∧
−
=
−
x
f
R
x
f
odp: y = -3
3. O funkcji liniowej f wiadomo, że osiąga wartości dodatnie tylko dla x>2 oraz dla argumentu 4
przyjmuje wartość 5.
a) napisz wzór tej funkcji i sporządź jej wykres,
R
x
x
y
odp
∈
−
=
,
5
2
5
:
b) wyznacz wzór proporcjonalności prostej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f.
R
x
x
y
odp
∈
−
=
,
5
2
:
4. Narysuj wykres funkcji f(x) =
+∞
−
∈
+
>
−
−∞
∈
−
−
)
;
3
(
1
3
2
3
;
(
2
3
1
x
dla
x
x
dla
x
. Wyznacz jej miejsca zerowe i zbiór
wartości. odp:
)
;
1
;
2
3
6
+∞
−
=<
−
=
∨
−
=
ZW
x
x
5. Wierzchołkami ABC
∆
są punkty: A(-1;1), B(8;-2), C(2;4). Wyznacz równanie prostej zawierającej
bok AB oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka C. Wykonaj
rysunek. Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na tym trójkącie.
odp:
)
2
1
;
2
7
(
;
2
3
:
;
3
2
3
1
:
−
−
=
+
−
=
S
x
y
h
x
y
AB
c
6. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A(-1;0), B(3;2). odp: y = -2x + 3
7. Wyznacz obraz punktu P(4;5) w symetrii względem prostej
3
2
1
+
−
=
x
y
. odp:
)
5
7
;
5
4
(
'
−
P
(PP) Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe.
1. Rozwiąż równanie
(
)
)
3
(
)
1
2
(
2
1
2
3
−
+
−
=
−
x
x
x
x
i sprawdź, czy rozwiązanie tego równania jest
miejscem zerowym funkcji
1
)
1
2
(
+
+
=
x
y
. odp:
tak
x
;
2
1−
−
=
2. Rozwiąż nierówność:
a)
)
;
6
(
:
3
1
2
1
+∞
−
∈
≤
+
−
x
odp
x
; b)
[
]
)
;
2
1
2
:
1
3
2
+∞
∈<
>
−
x
odp
x
3. Sporządź wykres funkcji
2
6
9
)
(
2
+
+
−
−
=
x
x
x
x
f
. Zapisz wzór funkcji, nie używając symbolu
wartości bezwzględnej i określ jej przedziały monotoniczności.
odp:
)
;
3
;
0
;
(
;
3
;
0
+∞
<
>
−∞
>
<
w
const
w
rosn
4. Rozwiąż algebraicznie nierówności:
a)
)
1
;
1
(
:
1
4
4
1
3
2
−
∈
>
+
−
−
−
x
odp
x
x
x
;
b)
)
;
2
16
;
(
:
9
4
4
5
2
2
+∞
<
∪
>
−
−∞
∈
≥
+
−
−
+
x
odp
x
x
x
5. Wyznacz wartości parametru m, dla których wykres funkcji:
(
)
(
)
m
x
m
x
f
−
+
−
−
=
1
2
1
2
)
(
a)
przechodzi przez III, IV i I ćwiartkę układu współrzędnych,
b)
przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych,
c)
jest równoległy do prostej AB, gdzie A(-3;-1), B(-1;3),
d)
jest prostopadły do prostej CD, gdzie C(2;-4), D(-3;1),
e)
ma miejsce zerowe x
0
= -1,
f)
jest nachylony do osi OX pod kątem
π
α
π
4
3
2
≤
<
.
6. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru p:
a)
(
)
{
}
2
;
2
0
;
2
1
,
2
;
2
1
:
2
4
1
=
−
=
+
=
−
−
∈
−
=
−
p
dla
nwr
p
dla
p
x
R
p
dla
odp
x
px
p
b)
{ }
2
;
2
2
,
2
1
:
)
1
(
4
4
2
2
=
−
+
=
−
∈
+
−
=
−
p
dla
nwr
p
p
x
R
p
dla
odp
x
p
px
x
p
7. Zbadaj dla jakich wartości parametru m (
R
m ∈
) równanie ma rozwiązania:
a)
2
=
−
−
x
x
mx
b)
2
3
3
1
2
−
+
=
+
⋅
+
x
x
m
8. Średnie zużycie paliwa dla samochodu marki Chrysler Voyager wynosi 12 l na 100 km. Wiedząc,
ż
e samochód początkowo miał w baku 50 l paliwa, opisz zależność między ilością paliwa, które
pozostanie w baku (p), a przebytą drogą (s). Narysuj wykres tej funkcji. Po ilu kilometrach paliwo
zostanie zużyte. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
odp:
km
s
s
s
p
7
,
416
;
3
1250
;
0
;
100
12
50
)
(
≈
〉
〈
∈
−
=
9. Sekretarka prezesa pewnej firmy otrzymuje stałą pensję miesięczną w wysokości 1800zł, 10%
premię uznaniową oraz dodatkowe wynagrodzenie za nadgodziny. W styczniu miała 20 nadgodzin i
otrzymała, wraz z premią 2220zł. A) oblicz stawkę za godzinę nadliczbową, b) napisz wzór funkcji
wyrażającej wynagrodzenie sekretarki (z premią) w zależności od liczby przepracowanych godzin
nadliczbowych. odp:
N
n
n
n
w
b
a
∈
+
=
,
12
1980
)
(
)
;
12
)