Fala harmoniczna prosta jako rozwiązanie równania falowego
opis formalny:
struktura rozwiązania:
należy podstawić rozwiązanie (równanie fali harmonicznej prostej) do równania falowego
obliczamy pierwszą pochodną cząstkową względem czasu
∂
f/
∂
t (wyłączamy czynnik stały
przed znak pochodnej, korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej
'
f
f
'
u
'
f
u
⋅
=
)
(
))
(
(
):
[
]
)
cos(
)
sin(
t
x
k
f
t
x
k
f
t
t
f
m
m
ω
ω
ω
−
−
=
−
∂
∂
=
∂
∂
obliczamy drugą pochodną cząstkową względem czasu
∂
2
f/
∂
t
2
(zasady j.w.)
[
]
)
sin(
)
cos(
2
2
2
t
x
k
f
t
x
k
f
t
t
f
m
m
ω
ω
ω
ω
−
=
−
−
∂
∂
=
∂
∂
analogicznie obliczamy pierwszą i drugą pochodną cząstkową względem położenia
∂
f/
∂
x
i
∂
2
f/
∂
x
2
[
]
)
cos(
)
sin(
t
x
k
f
k
t
x
k
f
x
x
f
m
m
ω
ω
−
=
−
∂
∂
=
∂
∂
[
]
)
sin(
)
cos(
2
2
2
t
x
k
f
k
t
x
k
f
k
x
x
f
m
m
ω
ω
−
=
−
∂
∂
=
∂
∂
podstawiamy drugie pochodne cząstkowe względem czasu i położenia do równania falowego:
)
sin(
)
sin(
2
2
2
t
x
k
f
k
t
x
k
f
m
f
m
ω
υ
ω
ω
−
=
−
k
k
f
f
υ
ω
υ
ω
=
→
=
2
2
2
(1)
υ
