Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Analiza uchybowa przeprowadzona w tym opracowaniu ograniczona jest tylko do układów
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Sygnały wejściowy i wyjściowy typowego układu
sterowania dyskretnego są funkcjami ciągłymi w czasie, tak jak pokazano to na rysunku 1,
T
G
p
(s)
r(t)
R(s)
e(t)
E(s)
e
*
(t)
E
*
(s)
Proces
G
h0
(s)
ZOH
G(s)
y(t)
Y(s)
Rys. 1. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego
wobec tego sygnał uchybu mógłby zostać zdefiniowany następująco
)
(
)
(
)
(
t
y
t
r
t
e
−
=
(1)
gdzie r(t) jest sygnałem wejściowym, natomiast y(t) sygnałem wyjściowym. W związku z tym, że
wewnątrz układu pojawiają się dane dyskretne to do opisu tych układów stosuje się transformatę z lub
równania różnicowe i sygnały wejściowy i wyjściowy reprezentowane są w postaci próbkowanej,
odpowiednio r(kT) oraz y(kT). Wobec tego sygnał uchybu
( ) ( ) ( )
kT
y
kT
r
kT
e
−
=
(2)
Uchyb w stanie ustalonym w chwilach próbkowania definiowany jest jako
( )
( )
kT
e
t
e
e
k
t
u
∞
→
∞
→
=
=
lim
lim
*
(3)
Przez zastosowanie twierdzenia o wartości końcowej transformaty z, uchyb w stanie ustalonym
( )
(
)
)
(
1
lim
lim
1
1
*
z
E
z
kT
e
e
z
k
u
−
→
∞
→
−
=
=
(4)
przy założeniu, że
(
)
)
(
1
1
z
E
z
−
−
nie ma żadnego bieguna na zewnątrz okręgu jednostkowego na
płaszczyźnie z. Należy zaznaczyć, że prawdziwym uchybem w układzie jest e(t);
*
u
e
określa uchyb
tylko w chwilach próbkowania. Przez wyrażenie E(z) w zależności od R(z) oraz
( )
z
G
G
p
h0
równanie
uchybowe zapisywane jest następująco:
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
2
( )
(
)
)
(
1
)
(
1
lim
lim
0
1
1
*
z
G
G
z
R
z
kT
e
e
p
h
z
k
u
+
−
=
=
−
→
∞
→
(5)
Wyrażenie to pokazuje że uchyb w stanie ustalonym zależy zarówno od sygnału odniesienia jak
również od transmitancji w torze bezpośrednim
( )
z
G
G
p
h0
. Tak jak w układzie ciągłym rozważane są
trzy podstawowe typy sygnałów i powiązanych z nimi stałych uchybowych oraz typów układów.
Załóżmy, że transmitancja procesu sterowanego w układzie z rysunku 1, ma postać
( )
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
s
G
n
N
m
b
a
p
+
+
+
+
+
+
=
1
...
1
1
1
...
1
1
2
1
(6)
gdzie N = 0, 1, 2, ... Transmitancja
( )
z
G
G
p
h0
( )
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
+
+
+
+
+
+
−
=
+
−
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
Z
z
z
G
G
n
N
m
b
a
p
h
1
...
1
1
1
...
1
1
1
2
1
1
1
0
(7)
2. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI SKOKOWEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji skokowej o amplitudzie R
)
(
1
)
(
t
R
t
r
⋅
=
(8)
transformata z ma postać
1
)
(
−
=
z
z
R
z
R
(9)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
*
0
1
0
1
0
1
1
*
1
)
(
lim
1
)
(
1
lim
)
(
1
1
1
lim
p
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
R
z
G
G
R
z
G
G
z
z
R
z
e
+
=
+
=
+
=
+
−
−
=
→
→
−
→
(10)
Zakładając, że stała uchybu pozycyjnego będzie definiowana jako
)
(
lim
0
1
*
z
G
G
K
p
h
z
p
→
=
(11)
Widać stąd, że uchyb w stanie ustalonym układu sterowania dyskretnego jest odnoszony do stałej
uchybu skokowego w taki sam sposób jak w przypadku układu ciągłego z tą różnicą, że
*
p
K jest
wyznaczane w oparciu o równanie (10).
Można powiązać stałą
*
p
K z typem układu. Dla układu typu 0,
N = 0 w równaniu (7), czyli
( )
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
¿
¾
½
¯
®
+
+
+
+
+
+
−
=
−
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
Z
z
z
G
G
n
m
b
a
p
h
1
...
1
1
1
...
1
1
1
2
1
1
0
(12)
Dokonując rozkładu na ułamki proste funkcji znajdującej się w nawiasie równania (11), otrzymuje się
( )
(
)
(
)
¿
¾
½
¯
®
+
−
−
=
¿
¾
½
¯
®
+
−
=
−
−
pozostale
pozostale
1
1
1
1
1
0
z
Kz
z
s
K
Z
z
z
G
G
p
h
(13)
W związku z tym, że niezerowe bieguny nie zawierają w mianowniku składnika
(
)
1
−
z
, stała uchybu
skokowego zapisywana jest jako
(
)
K
z
Kz
z
z
G
G
K
z
p
h
z
p
=
−
−
=
=
→
−
→
1
1
lim
)
(
lim
1
1
0
1
*
(14)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
3
Podobnie dla układu typu 1,
( )
z
G
G
p
h0
będzie miało czynnik
2
s
w mianowniku co odpowiada
elementowi
(
)
2
1
−
z
. Powoduje to że stała uchybu skokowego
*
p
K
będzie nieskończonością. Tak samo
będzie dla układów typu większego od 1.
Tabela 1. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej
Typ układu
*
p
K
*
u
e
0
K
(
)
K
R
+
1
1
∞
0
2
∞
0
3. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI LINIOWO-NARASTAJĄCEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji liniowo-narastającej o nachyleniu R
)
(
1
)
(
t
Rt
t
r
⋅
=
(15)
transformata z ma postać
(
)
2
1
)
(
−
=
z
Tz
R
z
R
(16)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
*
0
1
0
1
0
2
1
1
*
)
(
1
lim
)
(
1
1
lim
)
(
1
1
1
lim
v
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
T
z
R
z
G
G
z
RT
z
G
G
z
z
RT
z
e
=
−
=
+
−
=
+
−
−
=
→
→
−
→
(17)
Zakładając, że stała uchybu prędkościowego będzie definiowana jako
(
)
[
]
)
(
1
lim
1
0
1
*
z
G
G
z
T
K
p
h
z
v
−
=
→
(18)
Stała uchybu prędkościowego jest użyteczna tylko wówczas gdy sygnał wejściowy r(t) jest funkcją
liniowo narastającą i jeśli funkcja
(
)
( )
z
G
G
z
p
h0
1
−
w równaniu (18) nie ma żadnych biegunów na
zewnątrz okręgu jednostkowego
1
=
z
. Zależności pomiędzy uchybem w stanie ustalonym
*
u
e ,
*
v
K ,
a typem układu dla sytuacji w której sygnał zadany ma postać sygnału liniowo-narastającego
o nachyleniu R zawarte są w tabeli 2.
Tabela 2. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji liniowo-
narastającej
Typ układu
*
v
K
*
u
e
0
0
∞
1
K
K
R
2
∞
0
4. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI PARABOLICZNEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji parabolicznej i współczynniku R
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
4
)
(
1
2
1
)
(
2
t
Rt
t
r
⋅
=
(19)
transformata z ma postać
(
)
(
)
3
2
1
2
1
)
(
−
+
=
z
z
z
RT
z
R
(20)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
*
0
2
2
1
0
2
2
1
0
3
2
1
1
*
)
(
1
lim
)
(
1
1
2
1
lim
)
(
1
1
2
1
1
lim
a
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
T
z
R
z
G
G
z
z
RT
z
G
G
z
z
z
RT
z
e
=
»¼
º
«¬
ª
−
=
+
−
+
=
+
−
+
−
=
→
→
−
→
(21)
Zakładając, że stała uchybu parabolicznego będzie definiowana jako
(
)
[
]
)
(
1
lim
1
0
2
1
2
*
z
G
G
z
T
K
p
h
z
a
−
=
→
(22)
Zależność pomiędzy uchybem
*
u
e ,
*
a
K oraz typem układu dla przypadku w którym sygnał wejściowy
r(t) ma postać funkcji parabolicznej zebrany jest w tabeli 3.
Tabela 3. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji
parabolicznej
Typ układu
*
a
K
*
u
e
0
0
∞
1
0
∞
2
K
K
R
3
∞
0
Przykład 1
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku 1.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s].
a) Wyznacz stałe uchybowe
*
p
K ,
*
v
K ,
*
a
K .
b) Wyznacz zakres stabilności dla strojonego parametru K.
ZOH
5K
s(s+2)
Y(s)
T
E
*
(s)
E(s)
R(s)
H(s)
Rys. 1.1. Schemat blokowy badanego układu
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy przekształcić układ z rysunku 1.1 do postaci
dyskretnej. W tym celu należy wyznaczyć zastępczą transmitancję dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji operatorowej procesu.
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
5
( )
z
G
G
p
h0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
8187
.
0
8187
.
1
0219
.
0
0234
.
0
2
+
−
+
z
z
z
K
=
(
)
(
)(
)
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
−
−
+
z
z
z
K
(1.1)
Po wyznaczeniu transmitancji dyskretnej połączenia kaskadowego ekstrapolatora zerowego
rzędu i procesu, rozpatrywany układ z rysunku 1.1 można przedstawić w postaci układu
pokazanego na rysunku 1.2.
K
0.0234z + 0.0219
z
2
−
1.8187z + 0.8187
E(z)
R(z)
Y(z)
Rys. 1.2. Schemat blokowy badanego układu.
Stałą uchybu skokowego
*
p
K wyznacza się ze wzoru (10) i w tym przypadku
(
)
∞
=
=
+
−
+
=
=
→
→
0
0453
.
0
8187
.
0
8187
.
1
0219
.
0
0234
.
0
lim
)
(
lim
2
1
0
1
*
K
z
z
z
K
z
G
G
K
z
p
h
z
p
(1.2)
Stałą uchybu prędkościowego
*
v
K wyznacza się ze wzoru (15) i w tym przypadku
(
)
[
]
(
) (
)
(
)(
)
T
K
z
z
z
K
z
T
z
G
G
z
T
K
z
p
h
z
v
25
.
0
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
1
lim
1
)
(
1
lim
1
1
0
1
*
=
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
+
−
=
−
=
→
→
(1.3)
Ze wzoru (1.3) widać, że wartość stałej uchybu prędkościowego z układzie z rysunku 1.1.
zależeć będzie zarówno od wzmocnienia w układzie jak i częstotliwości próbkowania.
Stałą uchybu przyśpieszeniowego
*
a
K wyznacza się ze wzoru (18) i dla rozważanego w tym
przykładzie układu
(
)
[
]
(
) (
)
(
)(
)
0
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
1
lim
1
)
(
1
lim
1
2
1
2
0
2
1
2
*
=
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
+
−
=
−
=
→
→
z
z
z
K
z
T
z
G
G
z
T
K
z
p
h
z
a
(1.4)
Pozostaje do wyznaczenia zakres strojonego parametru K pozwalający na stabilną pracę układu.
Równanie charakterystyczne uzyskane na podstawie transmitancji dyskretnej (1.1)
(
)
8187
.
0
0219
.
0
8187
.
1
0234
.
0
)
(
2
+
+
⋅
−
+
=
K
z
K
z
z
M
= 0
(1.5)
Korzystając z warunku koniecznego kryterium Jury, uzyskuje się następujące warunki
stabilności
0
453
.
0
)
1
(
>
=
=
K
z
M
(1.6)
0
6375
.
3
0015
.
0
)
1
(
>
+
−
=
−
=
K
z
M
(1.7)
1
8187
.
0
0219
.
0
2
0
=
<
+
=
a
K
a
(1.8)
Na podstawie warunków stabilności (1.6), (1.7) oraz (1.8) wyznacza się zakres parametru K
pozwalający na stabilna pracę układu.
0 < K < 8.2757
(1.9)
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
6
% Parametry transmitancji procesu
numC = 5;
denC = [1 2 0];
sysC = tf( numC, denC);
%sisotool( sysC)
Tp = 0.1;
% Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b2z = numD(1); b1z = numD(2); b0z = numD(3);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a2z = denD(1); a1z = denD(2); a0z = denD(3);
% Współczynniki równania charakterystycznego
Ma2 = [b2z a2z]; Ma1 = [b1z a1z]; Ma0 = [b0z a0z];
% Wyznaczenie warto
ś
ci M(z)
z = 1;
zz = [z^2 z 1]
MKz = numD*zz'
Mz = denD*zz'
% Wzmocnienie krytyczne
Kkr = (1-a0z)/b0z
Przykład 2
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 2.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
•
)
(
1
5
)
(
2
t
t
t
r
⋅
⋅
=
T
E
*
(s)
E(s)
K(s
2
+ 15s + 10)
s
3
+ 7s
2
R(s)
Y(s)
ZOH
Rys. 2.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdź również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
4966
.
0
9932
.
1
4966
.
2
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
2
3
2
−
+
−
+
−
z
z
z
z
z
K
(2.1)
Dla potrzeb wyznaczania uchybu w stanie ustalonym warto zapisać mianownik wyznaczonej
transmitancję dyskretnej (2.1) w postaci iloczynowej
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
(
) (
)
4966
.
0
1
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
2
2
−
−
+
−
z
z
z
z
K
(2.2)
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
)
(
1
10
2
1
)
(
1
5
)
(
2
2
t
t
t
t
t
r
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
(2.3)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
7
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 10. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych
o postaci funkcji parabolicznej wyznaczany jest ze wzoru (19), wymaga on jednak
wcześniejszego wyznaczenia stałej uchybu przyśpieszeniowego
*
a
K ze wzoru (20)
(
)
(
)
(
) (
)
K
T
K
z
z
z
z
K
z
T
K
z
a
4286
.
1
5034
.
0
0072
.
0
4966
.
0
1
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
1
lim
1
2
2
2
2
1
2
*
=
⋅
=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
−
−
+
−
−
=
→
(2.4)
i wartość uchybu w stanie ustalonym
K
K
K
R
e
a
u
7
4286
.
1
10
*
*
=
=
=
(2.5)
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (2.5) jeśli układ z
rysunku 2.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znaleźć transmitancję układu zamkniętego
(
)
(
)
(
)
4966
.
0
0252
.
0
9932
.
1
1515
.
0
4966
.
2
1335
.
0
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
)
(
2
3
2
−
+
+
−
+
−
+
+
−
=
K
z
K
z
K
z
z
z
K
z
T
(2.6)
Równanie charakterystyczne
(
)
(
)
0
4966
.
0
0252
.
0
9932
.
1
1515
.
0
4966
.
2
1335
.
0
2
3
=
−
+
+
−
+
−
+
K
z
K
z
K
z
(2.7)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
r
r
z
−
+
=
1
1
(2.8)
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(2.7) przyjmuje postać
(
)
(
)
0
0072
.
0
2094
.
0
0137
.
2
0937
.
0
9863
.
5
3103
.
0
2
3
=
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
−
K
r
K
r
K
r
K
(2.9)
Tablica Routha
3
r
9863
.
5
3103
.
0
+
−
K
K
2094
.
0
2
r
0137
.
2
0937
.
0
+
K
K
0072
.
0
1
r
(
)
0137
.
2
0937
.
0
3786
.
0
0218
.
0
+
+
K
K
K
0
r
K
0072
.
0
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1
o
)
0
9863
.
5
3103
.
0
>
+
−
K
2
o
)
0
0137
.
2
0937
.
0
>
+
K
(2.10)
3
o
)
(
)
0
0137
.
2
0937
.
0
3786
.
0
0218
.
0
>
+
+
K
K
K
4
o
)
0
0072
.
0
>
K
Z rozwiązania układu równań (2.10) uzyskuje się następujące cząstkowe zakresy dla doboru
odpowiedniego wzmocnienie K
1
o
)
2949
.
19
<
K
2
o
)
4965
.
21
−
>
K
(2.11)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
8
3
o
)
3302
.
17
−
<
<
∞
−
K
lub
∞
<
<
K
0
4
o
)
0
>
K
Po rozwiązaniu układu równań (2.11) okazuje się, że układ regulacji z rysunku 2.1. będzie
stabilny gdy
2949
.
19
0
<
<
K
(2.11)
Kolejnym problemem w tym zadaniu jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Wzmocnienie krytycznym jest takie wzmocnienie które zeruje współczynnik w pierwszej
kolumnie przy
1
r
i znajduje się na granicy stabilności. W tym przypadku nie ma takiego
wzmocnienia, dlatego też nie ma przypadku w którym można by uzyskać oscylacje o stałej
amplitudzie. Pomijam taki przypadek w którym uzyskuje się układ z naprzemiennymi próbkami
o stałej amplitudzie ale o przeciwnych znakach.
Przykład 3
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 3.1. Okres
próbkowania T = 0.2 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
•
)
(
1
4
)
(
t
t
r
⋅
=
T
E
*
(s)
E(s)
K(s
−
1)
s
4
+ 5s
3
+ 13s
2
+ 14s + 6
R(s)
Y(s)
ZOH
Rys. 3.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdź również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
3679
.
0
8162
.
1
4664
.
3
0122
.
3
0007
.
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
2
3
4
2
3
+
−
+
−
−
−
+
z
z
z
z
z
z
z
K
(3.1)
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
)
(
1
4
)
(
t
t
r
⋅
=
(3.2)
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 4. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych o
postaci funkcji skokowej wyznaczany jest ze wzoru (9), wymaga on jednak wcześniejszego
wyznaczenia stałej uchybu pozycyjnego
*
p
K
ze wzoru (10)
(
)
K
K
z
z
z
z
z
z
z
K
K
z
P
1667
.
0
0058
.
0
0010
.
0
3679
.
0
8162
.
1
4664
.
3
0122
.
3
0007
,
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
lim
2
3
4
2
3
1
*
−
=
⋅
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
+
−
+
−
−
−
+
=
→
(3.3)
i wartość uchybu w stanie ustalonym
*
*
*
1
4
1
P
P
u
K
K
R
e
+
=
+
=
(3.4)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
9
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (3.4) jeśli układ z
rysunku 3.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znaleźć transmitancję układu zamkniętego
(
)
(
)
(
)
3679
.
0
0007
.
0
)
8162
.
1
0030
.
0
(
4664
.
3
0017
.
0
0122
.
3
0010
.
0
0007
.
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
)
(
2
3
4
2
3
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
−
+
=
K
z
K
z
K
z
K
z
z
z
z
K
z
T
(3.5)
Równanie charakterystyczne
(
)
(
)
0
3679
.
0
0007
.
0
)
8162
.
1
0030
.
0
(
4664
.
3
0017
.
0
0122
.
3
0010
.
0
2
3
4
=
+
−
−
−
+
+
+
−
+
K
z
K
z
K
z
K
z
(3.6)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
r
r
z
−
+
=
1
1
(3.7)
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(3.6) przyjmuje postać
(
)
(
)
(
)
2
3
4
2746
1
0073
0
9203
4
0053
0
6627
9
0030
0
)
(
r
.
K
.
r
.
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
0
0058
0
0010
0
1366
0
0105
0
=
+
−
+
−
+
.
K
.
r
.
K
.
(3.8)
Tablica Routha
4
r
−
0.0030K+9.6627
−
0.0073K + 1.2746
−
0.0010K + 0.0058
3
r
−
0.0053K+4.9203
−
0.0105K + 0.1366
2
r
4.9203
0.0053
9512
.
4
1443
.
0
10
7279
.
6
2
6
+
−
+
−
⋅
−
K
K
K
−
0.0010K + 0.0058
1
r
9512
.
4
1443
.
0
10
7279
.
6
0.5356
0560
.
0
0015
.
0
10
7378
.
9
2
6
2
3
8
+
−
⋅
−
+
+
⋅
−
−
K
K
K
K
K
0
r
0.00097K + 0.00581
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1
o
)
0
9.6627
0.0030K
>
+
−
2
o
)
0
4.9203
0.0053K
>
+
−
(3.9)
3
o
)
0
4.9203
0.0053K
95148956
.
4
14454172
.
0
00000719
.
0
2
>
+
−
+
−
−
K
K
4
o
)
0
2.636
0.2728
0.007989
10
8.699
10
0
5.118
0.5357
05601
.
0
00156472
.
0
10
738
.
9
2
3
6
4
10
2
3
8
>
−
−
+
⋅
−
⋅
−
+
+
⋅
−
−
−
−
K
K
K
K
K
K
K
5
o
)
0
00581
.
0
0.00097
>
+
K
Dla każdej z nierówności (3.9) zakresy K rozwiązań są następujące
1
o
)
9
.
3220
<
K
2
o
)
1658
.
936
−
>
K
(3.10)
3
o
)
3669
.
34
<
<
∞
−
K
lub
∞
<
<
K
6406
.
21413
4
o
)
7609
.
43
8447
.
7
<
<
−
K
lub
∞
<
<
K
9793
.
16023
5
o
)
6
<
K
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
10
Po wyznaczeniu wspólnego zakresu dla rozwiązań cząstkowych (3.10) okazuje się, że układ
regulacji z rysunku 3.1. będzie stabilny gdy
−
7.8447< K < 6
(3.11)
Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Korzystając z analizy tablicy Routha, wzmocnieniem krytycznym w rozpatrywanym układzie
jest wartość
kr
K
=
−
7.8447
(3.12)
Podstawiając wartość K z równania (3.12) do równania (3.6) wyznaczone zostanie równanie
charakterystyczne zawierające pierwiastki zespolone znajdujące się na okręgu jednostkowym
0
3730
.
0
7930
.
1
4533
.
3
0198
.
3
2
3
4
=
+
−
+
−
z
z
z
z
(3.13)
Rozwiązania równania (3.13) są następujące
1
o
)
2084
.
0
1
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
=
+
=
2
o
)
2084
.
0
2
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
−
=
−
=
(3.14)
3
o
)
6108
.
0
3
5149
.
0
3008
.
0
5316
.
0
j
e
j
p
=
+
=
4
o
)
6108
.
0
4
5149
.
0
3008
.
0
5316
.
0
j
e
j
p
−
=
−
=
Dwa pierwsze bieguny
1
p
oraz
2
p
znajdują się dokładnie na okręgu jednostkowym. Do
wyznaczenia poszukiwanej liczby próbek w tym okresie posłuży biegun
1
p
2084
.
0
1
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
=
+
=
T
j
j
e
e
ω
θ
=
=
(3.15)
Wyznaczona pulsacja
0421
.
1
2
.
0
2084
.
0
=
=
=
T
θ
ω
(3.16)
Okres oscylacji
0291
.
6
0421
.
1
2
2
=
=
=
π
ω
π
osc
T
[s]
Poszukiwana liczba próbek w wyznaczonym okresie oscylacji
1454
.
30
2
.
0
0291
.
6
=
=
=
T
N
N
osc
osc
[próbek]
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
% Parametry transmitancji procesu
numC = [1 -1];
denC = [1 5 13 14 6];
sysC = tf( numC, denC)
%sisotool( sysC)
Tp = 0.2;
% Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
%rr = roots( denD)
% Wyznaczenie stałej uchybu pozycyjnego Kp
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
11
numKp = sum( numD)
denKp = sum( denD)
Kp = numKp/denKp
% Warto
ść
uchybu pozycyjnego
R = 4;
eu = R/(1+Kp)
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b4z = numD(1); b3z = numD(2); b2z = numD(3); b1z = numD(4);
b0z = numD(5);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a4z = denD(1); a3z = denD(2); a2z = denD(3); a1z = denD(4);
a0z = denD(5);
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(z)
M4z = [b4z a4z]
M3z = [b3z a3z]
M2z = [b2z a2z]
M1z = [b1z a1z]
M0z = [b0z a0z]
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(r)
M4r = M4z - M3z + M2z - M1z + M0z
M3r = 4*M4z - 2*M3z + 2*M1z - 4*M0z
M2r = 6*M4z - 2*M2z + 6*M0z
M1r = 4*M4z + 2*M3z - 2*M1z - 4*M0z
M0r = M4z + M3z + M2z + M1z + M0z
% Wyznaczenie kolejnych współczynników
% pierwszej kolumny tablicy Routha
b4r = M4r
b3r = M3r
b2r = conv(M3r,M2r) - conv(M4r,M1r)
b1r = conv(conv(M3r,M2r),M1r) - conv(conv(M1r,M1r),M4r)...
– conv(conv(M3r,M3r),M0r)
b0r = M0r
% Wyznaczenie granicznych warto
ś
ci parametrów dla poszczególnych
% warunków stabilno
ś
ci
a4k = b4r(1); b4k = b4r(2);
Kgr4 = b4k/a4k
a3k = b3r(1); b3k = b3r(2);
Kgr3 = b3k/a3k
rrb2r = roots( b2r);
Kgr2a = rrb2r(1)
Kgr2b = rrb2r(2)
rrb1r = roots( b1r);
Kgr1a = rrb1r(1)
Kgr1b = rrb1r(2)
Kgr1c = rrb1r(3)
a0k = b0r(1); b0k = b0r(2);
Kgr0 = -b0k/a0k
K = rrb1r(3)
MzK = [M4z*[K 1]' M3z*[K 1]' M2z*[K 1]' M1z*[K 1]' M0z*[K 1]']
No = 1;
rMzK = roots( MzK)
M = abs( rMzK( No))
theta = angle ( rMzK( No))
w = theta/Tp
Tosc = 2*pi/w
Nosc = Tosc/Tp
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
12
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1.
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku M1.Wyznacz uchyb
w stanie ustalonym pojawiający się w tym układzie regulacji. Sprawdź również zakres strojonego
parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany wynik jest poprawny. Dodatkowo
wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
ZOH
T
E
*
(s)
E(s)
H(s)
G
p
(s)
R(s)
Y(s)
Rys. M1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
a)
( )
(
)
2
7
9
1
2
3
+
+
+
−
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
5
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
b)
( )
(
)
(
)
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
4
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
c)
( )
(
)
(
)
6
10
2
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
3
2
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
d)
( )
(
)
2
6
7
2
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
2
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.5 [s].
e)
( )
(
)
(
)
4
6
3
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
10
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
f)
( )
(
)
(
)
3
5
4
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
20
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
g)
( )
(
)
6
14
13
1
2
3
+
+
+
−
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
15
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.5 [s].
h)
( )
(
)
(
)
5
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
12
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
i)
( )
(
)
(
)
10
2
2
5
2
2
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
20
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
j)
( )
(
)
5
2
4
40
38
2
3
2
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
12
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
k)
( )
(
)
4
10
9
3
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
10
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
l)
( )
(
)
(
)
6
4
7
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
5
2
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
13
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
a)
( )
(
)
1653
.
0
2062
.
1
0336
.
2
0068
.
0
0076
.
0
0108
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
5
.
0
*
=
,
K
e
u
5
.
0
1
5
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
2 < K < 5.6660;
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 5.6660; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 35.1624
b)
( )
(
)
4724
.
0
8577
.
1
3853
.
2
0161
.
0
0090
.
0
0288
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
v
=
*
,
K
e
u
4
*
=
;
Zakres stabilności: 0 <
K
< 8.3474
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 8.3474; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 9.0638
c)
( )
(
)
5488
.
0
0976
.
2
5488
.
2
0695
.
0
1469
.
0
0849
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
a
6667
.
1
*
=
,
K
e
u
6
.
3
*
=
;
Zakres stabilności: 0.5279 < K <
∞
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 0.5279; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 69.6315
d)
( )
(
)
0302
.
0
7018
.
0
6094
.
1
0117
.
0
0074
.
0
0666
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
=
*
,
K
e
u
+
=
1
2
*
;
Zakres stabilności:
−
1 < K < 24.7619
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 24.7619; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 3.5850
e)
( )
(
)
2231
.
0
3194
.
1
0962
.
2
0094
.
0
0079
.
0
0252
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
=
*
p
K
∞
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 20.6061
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 20.6061; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 6.5977
f)
( )
(
)
7408
.
0
4816
.
2
7408
.
2
0706
.
0
1716
.
0
1053
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
∞
=
*
v
K
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 20.0331
Wzmocnienie krytyczne: brak
g)
( )
(
)
0015
.
0
5701
.
0
4734
.
1
0047
.
0
0321
.
0
0209
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
1667
.
0
*
−
=
,
K
e
u
1667
.
0
1
15
*
−
=
;
Zakres stabilności:
−
10.7519 < K < 6
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
=
−
10.7519; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 12.3481
h)
( )
(
)
2865
.
0
5730
.
1
2865
.
2
1022
.
0
2953
.
0
2110
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
∞
=
*
v
K
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 8.4573
Wzmocnienie krytyczne: brak
i)
( )
(
)
6703
.
0
0218
.
2
3515
.
2
2304
.
0
2890
.
0
0714
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
v
2
.
0
*
=
,
K
e
u
100
*
=
;
Zakres stabilności: 0 < K < 1.8109
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 1.8109; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 35.6830
j)
( )
(
)
6703
.
0
3261
.
2
6517
.
2
0588
.
0
1631
.
0
2549
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
8
*
=
,
K
e
u
8
1
12
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
0.0291 < K < 3.7899
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 3.7899; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 5.4004
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
14
k)
( )
(
)
1054
.
0
9817
.
0
8526
.
1
0061
.
0
0032
.
0
0207
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
75
.
0
*
=
,
K
e
u
75
.
0
1
10
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
1.3333 < K < 52.2678
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 52.2678; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 4.4958
l)
( )
(
)
3012
.
0
6024
.
1
3012
.
2
0531
.
0
2524
.
0
2180
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
a
6667
.
0
*
=
,
K
e
u
15
*
=
;
Zakres stabilności: 0 < K < 9.9421
Wzmocnienie krytyczne: brak
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1986
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.