ElŜbieta Wdowicka, Jacek Wdowicki 

Politechnika Poznańska 

Algorytmy  sumowania   

w  metodzie spektrum odpowiedzi   

i  ich  wpływ na obliczaną odpowiedź   

budynku wysokiego 

 

 

Abstract 

An  evaluation  is  presented  of  some  of  the  modal  maxima 
superposition  rules,  widely  used  to  estimate  the  response  of 
multistorey buildings, subjected to earthquake excitations:  
(1) the square root of the sum of the squares (SRSS) method;  
(2) the double sum combination (DSC) method; 
(3)the complete quadratic combination (CQC) method.  

 

The SRSS method provides good peak response estimates for the 
regular building, but gives the poor results for irregular building 
with  the  mass  offset  from  the  stiffness  centre,  in  which  arise 
modes with closely spaced periods. It is conclude, that the DSC 
and CQC methods provide good response estimates of equivalent 
accuracy, for both the regular and irregular building models. 

 

 

Cel pracy 

 

Celem  pracy  jest  przedstawienie  i  porównanie,  m.in.  na  podstawie 

prac  [Mai83,  Man86],  najpowszechniej  stosowanych  metod 
sumowania maksimów modalnych. W szczególności podane zostaną 
róŜnice  między  metodą  pierwiastka  kwadratowego  ze  sumy 
kwadratów  (ang.  square  root  of  the  sum  of  the  squares  -  SRSS)  a 
metodami  kompletnej  kwadratowej  kombinacji  (ang.  complete 
quadratic combination - CQC) oraz kombinacji podwójnych sum (ang. 
double  sum  combination  -  DSC).  Mają  one  istotne  znaczenie  w 
przypadku układów, dla których występują blisko połoŜone częstości 
drgań  własnych,  jak  na  przykład  budynki  o środku  masy  nie 
pokrywającym się ze środkiem sztywności.  

Wybrane  algorytmy  sumowania  włączone  zostały  do  systemu 

programów  komputerowych  DAMB  dla  analizy  dynamicznej 
ś

cianowych budynków wielokondygnacyjnych [Wdo91, Wdo93f] . 

 

 

Metoda pierwiastka kwadratowego  

z sumy kwadratów ( SRSS ) 

 
Metoda  ta,  wprowadzona  przez  Rosenblueth’a  [Goo55],  jest 

dotychczas  najszerzej  stosowana.  Sposób  superpozycji  jest  w  niej 
następujący : 

 

R

R

i

i

n

max

=

=

∑

2

1

                        (1) 

gdzie : 
R

max

  - oszacowanie maksymalnej odpowiedzi wielkości R, 

R

i

 -  maksymalna odpowiedź wielkości R dla  i-tej częstości , 

n  - liczba rozpatrywanych częstości. 

 

 

Metoda pierwiastka kwadratowego  

z sumy kwadratów ( SRSS ) – c.d. 

 
Metoda  ta  jest  zalecana  w  inŜynierii  lądowej,  przy  projektowaniu 

platform  wiertniczych,  w  normach  budowlanych  USA,  a  takŜe  w 
polskiej  normie  PN-85/B-02170.  JednakŜe  okazało  się,  Ŝe  moŜe  ona 
dawać  słabe  oszacowania  szczytu  odpowiedzi  dla  układów  o  blisko 
połoŜonych 

częstościach 

drgań 

własnych 

[Kel80,Wil81,Clo93,Chm98].  Sytuacja  taka  moŜe  pojawić  się  na 
przykład  w  tak  zwanych  nieregularnych  budynkach  wysokich 
[Mai83],  w  których  środek  masy  nie  pokrywa  się  ze  środkiem 
sztywności 

układu. 

Dla 

takich 

przypadków 

opracowano 

przedstawione dalej inne sposoby superpozycji, takie jak metody DSC 
i CQC. 

 

 

 

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC ) 

 
Metoda  ta,  zaproponowana    [Ros69e,  New71]  jako  udoskonalenie 

SRSS w celu bardziej poprawnego uwzględniania blisko połoŜonych 
częstości, opiera się na następującej regule sumowania : 

 
 

R

R P R

i

n

i

j

n

ij

j

max

=

=

=

∑ ∑

1

1

                   (2) 

 
gdzie 

P

ij

i

j

i

j

j

j

=

+

′ − ′

′

+ ′













1

1

2

ω ω

β ω

β ω

                     (3) 

 

 

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC ) - c.d. 

 
przy czym 

( )

′ =

− ′

ω

ω

β

i

i

i

1

2

               

′ =

+

β

β

ω

i

i

i

S

2

                 (4) 

przy oznaczeniach: 

ω

i 

-  i-ta  częstość drgań własnych, 

β

i 

-  ułamek tłumienia krytycznego dla i-tej częstości, 

S -  czas trwania silnego ruchu , 
P

ij

 -  macierz współczynników korelacji międzymodalnej, której 

elementy przyjmują wartości z zakresu od 0 do 1. 

MoŜna  zauwaŜyć,  Ŝe    jeŜeli  częstości  są  dobrze  oddzielone,  to 

pozadiagonalne  elementy  macierzy  współczynników  korelacji 
międzymodalnej  są  małe  i  metoda  DSC  staje  się  równowaŜna 
metodzie SRSS. 

 

 

Metoda kompletnej kwadratowej kombinacji  (CQC) 

 
Metoda  CQC  [Der80,  Der81b,  Wil81]  jest  kolejnym  wariantem 

metody superpozycji, odpowiedniej dla  przypadku blisko połoŜonych 
częstości.  Sposób kombinacji odpowiedzi modalnych jest  tu opisany 
następującymi wzorami : 

R

R P R

i

n

i

j

n

ij

j

max

=

=

=

∑ ∑

1

1

                        (5) 

gdzie 

(

)

(

)

(

) (

)

P

ij

i

j

i

j

i

i

j

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

=

+

−

+

+

+

+

8

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

β β ω ω βω β ω ω ω

ω

ω

β β ω ω ω

ω

β

β ω ω

     (6) 

 

MoŜna  zauwaŜyć,  Ŝe  dla  zerowego  tłumienia  metoda  ta  redukuje  się  do  SRSS.  

Ponadto, gdy w metodzie DSC  czas trwania silnego ruchu  S zostanie przyjęty jako równy 
nieskończoności , to metody DSC i CQC staną się  praktycznie identyczne [Mai83]. 

 

 

Porównanie metod 

 
Przedstawione wyŜej metody SRSS, DSC i CQC oparte są na teorii 

drgań losowych. Prosta postać metody SRSS w porównaniu z DSC i 
CQC  jest  skutkiem  dodatkowego  załoŜenia,  Ŝe  drgania  modalne  są 
statystycznie 

niezaleŜne. 

Dzięki 

wprowadzeniu 

macierzy 

współczynników korelacji międzymodalnej  P

ij

  metody DSC i CQC 

uwzględniają  wzajemne  wzmocnienie  i/lub  skasowanie  postaci  z 
blisko połoŜonymi częstościami. 

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe przy stosowaniu kaŜdej z metod superpozycji 

tracony jest znak maksymalnej odpowiedzi. Ponadto, naleŜy pamiętać, 
Ŝ

e  dla  uzyskania  najlepszych  oszacowań  szczytowych  wartości 

odpowiedzi,  kombinacje  modalne  powinny  być  przeprowadzane 
oddzielnie dla kaŜdej wielkości, która jest rozwaŜana. 

 

 

 

Teraz przejść do pliku   wyniki-sum-dla-bud-scian.doc 

 

 

 

S

M

93'-7"

9

3

'-

7

"

9'-4"

9

'-

4

"

N

 

 

Rys. 1   Rzut 

15-kondygnacyjnego  

budynku nieregularnego 

[Mai83] 

M - środek masy,   

S - środek sztywności,   

<--> kierunek trzęsienia ziemi 

 

 

Tabl. 1.  Okresy drgań 

własnych budynku 

nieregularnego 

 

Nume

r 

posta

ci 

Okres 

[s] 

Dominujący 

kierunek 

1 

1.167  pierwsza postać  

E-W 

2 

1.121  pierwsza postać  

N-S 

3 

0.773  pierwsza postać 

skrętna 

4 

0.409  druga postać  E-W 

5 

0.390  druga postać  N-S 

6 

0.278 

druga postać 

skrętna 

7 

0.238 

trzecia postać  

E-W 

8 

0.225 

trzecia postać  

N-S 

9 

0.166  czwarta postać  

E-W 

 

 

10  0.165 

trzecia postać 

skrętna 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 2   Przykładowe 

spektra odpowiedzi 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 3   Obwiednia 

maksymalnego momentu 
skręcającego dla budynku 
nieregularnego 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 4   Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku 

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam 

(odpowiedź w kierunku równoległym do kierunku trzęsienia 

ziemi) 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 5   Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku 

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam 

(odpowiedź w kierunku prostopadłym do kierunku trzęsienia ziemi) 

 
 

 Wnioski 

 
Z  przedstawionych  analiz  wynika,  Ŝe  metoda  pierwiastka 

kwadratowego  z  sumy  kwadratów    SRSS    dostarcza  dobrych 
oszacowań maksymalnych odpowiedzi dla budynków regularnych, 
w których środki masy i sztywności pokrywają się, i moŜe być dla 
takich  konstrukcji  zalecana.    Natomiast  dla  budynków 
nieregularnych,  w  których  w  odpowiedzi  dominują  sprzęŜone 
postacie  drgań  z  blisko  połoŜonymi  częstościami  drgań,  metoda 

 

 

SRSS  o  blisko  25%  niedoszacowuje  odpowiedzi  w  kierunku 
równoległym  do  trzęsienia  ziemi,  przez  pominięcie  wzmocnienia 
międzymodalnego,  i  o ponad  200%  przeszacowuje  odpowiedzi w 
kierunku  prostopadłym,  na  skutek  pominięcia  międzymodalnego 
kasowania.  

 W  takich  przypadkach  efektywnym  sposobem  superpozycji 

odpowiedzi  modalnych    moŜe  być  wykorzystanie  macierzy 
współczynników  korelacji  międzymodalnej,  jak  to  ma  miejsce  w 
metodach    CQC    i    DSC.  Obie  metody  dają  dobre  oszacowania 
maksymalnej  odpowiedzi  w  kierunku  równoległym  do  kierunku 
trzęsienia ziemi.  Odpowiedzi w kierunku prostopadłym, uzyskane 
przy  wykorzystaniu  metody  DSC  były  niedoszacowane,  zaś  z 
metody CQC - przeszacowane, średnio o ok. 25% [Mai83]. NaleŜy 
zauwaŜyć,  Ŝe  róŜnice  pomiędzy  oszacowaniami  odpowiedzi  w 
kierunku  prostopadłym  nie  są  istotne  w  zastosowaniach 

 

 

projektowych,  poniewaŜ    wartości  tych  odpowiedzi  są  znacznie 
mniejsze,  niŜ  wartości  odpowiadających  wielkości  w  kierunku 
równoległym. Podsumowując, moŜna stwierdzić, Ŝe metody CQC i 
DSC  mogą  być  traktowane,  jako  dające  wyniki  o równowaŜnej 
dokładności. 

 

 

Literatura 

 
Chm98.  Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki 

budowli, Arkady, Warszawa 1998. 

Clo93. Clough  R.W.,  Penzien  J.:  Dynamics  of   Structures, 

McGraw-Hill, New York, 1993. 

Der80. Der Kiureghian  A.:  "Structural  response  to  stationary 

excitation", JEMD, 106, EM6 (1980) 1195-1213. 

Der81b.  Der Kiureghian A.: "A response spectrum  method  for  

random vibration analysis of MDF systems", EESD, 9, 5 
(1981) 419-435. 

Goo55. 

Goodman L.E., Rosenblueth E., Newmark N.M.: "A 

seismic design of firmly founded elastic structures", Trans. 
ASCE, 120 (1955) 782-802. 

 

 

Kel80. Kelly J.M., Sackman J.L.: "Conservatism in summation 

rules for closely spaced modes", EESD, 8, 1 (1980) 63-74. 

Mai83. 

Maison  B.F.,  Neuss  C.F.,  Kasai  K.:  "The  comparative 

performance  of  seismic  response  spectrum  combination 
rules in building analysis", EESD, 11, 5 (1983) 623-647. 

Man86.  Manu C.: "Dynamic  analysis  of  structures  with  closely 

spaced modes using the response spectrum method", Comp. 
Struct., 22, 3 (1986) 405-412. 

New71.   

Newmark N.M., Rosenblueth E.: Fundamentals of 

Earthquake Engineering, 
Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.Y. 1971. 

Ros69e.   

Rosenblueth E., Elorduy J.: "Response of linear 

system to certain transient disturbances", in: Proc. 4th World 
Conf. Earthquake Eng., Santiago, Chile, 1969, vol.1, 185-196. 

 

 

Wdo91.  Wdowicki J., Wdowicka E.: "Integrated system for 

analysis of three-dimensional shear wall structures", Comp. 
Meth. in Civil Engineering, 1, 3-4 (1991) 53-60. 

Wdo93f.  Wdowicki J., Wdowicka E.:  "DAMB  -  system  

programów  do analizy  sejsmicznej  budynków   wysokich   
usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadproŜami", 
InŜ. i Bud., 50, 1 (1993) 11-13. 

Wil81. Wilson E.L., Der Kiureghian A., Bayo E.P.: "A replacement 

for the SRSS method in seismic analysis", EESD, 9, (1981) 
187-194.