1 pomiar strumienia objętości
-przepływomierz pływakowy (rotometr) przepływ płynu odbywa się ku górze.
Pomiar strumienia objętości rotometru sprowadza się do określenia położenia pływaka w
kanale.
V
z
=√[(2Δp)/ρ] – z równ. Bernoulliego
Δp – różnica ciśnień dla dolnej i górnej powierzchni pływaka.
ΔpF + Vρy = Vyp – w stanie ustalonym
−
=
1
2
p
p
F
V
y
V
z
ρ
0 = V
z
- F
0
V – objętość pływaka
ρ – gęstość płynu
F – pole pow. pływaka
F
0
– swobodny przekrój szczeliny między pływakiem a ścianką kanału
−
−
=
⇒
−
=
1
2
)
(
4
)
(
4
2
2
2
2
0
p
p
F
V
y
d
D
Q
d
D
F
ρ
π
π
, gdy ρ=const Q=(π/4)
*
(D²-d²).
-przepływ krzywakowy
pomiar strumienia objętości za pomocą tego przyrządu polega na pomiarze różnicy ciśnień
między strumieniami płynu opływowego. Wypukłą i wklęsłą stronę zakrywa przewód. Przy
przepływie płynu przez zakrzywiony przewód na skutek działania siły dośrodkowej następuje
wzrost ciśnienia w kierunku odśrodkowym. Różnica ciśnień po stronie wklęsłej i wypukłej
krzywaka jest większa, im większy jest strumień m objętości przepływu krzywaka,
jakościowo zbliżony jest do ruchu płynu idealnego, w którym moment prędkości M jest stały
dla wszystkich elementów.
R – promień krzywizny linii środkowej.
r
1
=R-a r
2
=R+a {promienie zewnętrzne i wewnętrzne krzywaka}
p
2
– p
1
=[(V
1
2
-V
2
2
)/2]
*
ρ
V
1
=μ/r
1
; V
2
=μ/r
2
(
)
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
)
(
2
2
)
(
2
1
1
2
a
R
R
a
R
a
R
p
p
Q
a
R
a
R
p
p
n
a
R
a
R
p
p
−
−
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
−
=
+
−
−
=
−
π
ρ
ρ
µ
ρ
-przepływomierz końcowy (gazometr)
W obudowie przepływomierza znajdują się dwa ruchome przewody z części komory
zaworowej na stałą przegrodę dzielące przewód na dwie identyczne części. Przy otwartych
zaworach wlotowych i zamkniętych wylotowych następuje napełnienie komór powietrzem.
Wielkością pomiarową gazomierza jest wielkość skokowa komór.
2 płyty nieprzesuwne – wzór Naviera – Stokesa
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≠
∂
∂
=
∂
∂
=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
0
0
y
V
x
V
x
p
y
V
y
V
V
x
V
t
V
y
V
x
V
x
p
y
V
y
V
V
x
V
t
V
x
p
V
x
V
V
y
y
y
y
x
y
y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
y
υ
ρ
υ
ρ
)
(
;
)
)
(
2
1
2
1
0
0
0
0
2
1
1
1
0
)
0
0
0
0
0
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
y
h
g
p
p
gh
p
y
g
p
gh
p
C
C
h
g
p
p
p
h
y
C
y
g
p
y
g
p
g
y
p
b
h
y
nl
pg
V
g
nl
ph
C
C
V
V
h
y
y
C
y
C
y
nl
p
V
C
y
nl
p
y
V
y
V
n
l
p
y
V
n
x
p
y
V
x
p
a
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
=
+
−
=
∂
−
=
∂
−
=
∂
∂
−
∆
=
∆
=
=
=
=
=
=
+
+
∆
=
+
∆
=
∂
∂
∂
∂
=
∆
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−
=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
υ
ρ
3 równanie ciągłości – ruch nieustalony płynu ściśliwego
Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V
x
,V
y
,V
z
ciśnienie p
i ρ jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy
płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .
☺-
(
)
dx
x
V
V
x
x
∂
∂
+
ρ
ρ
Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku
osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρV
x
dzdydt.
Przez przeciwległą ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.
(
)
dydzdt
dx
x
V
V
x
x
∂
∂
+
ρ
ρ
przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x
(
)
(
)
dxdydzdt
x
V
dydzdt
dx
x
V
V
dydzdt
V
x
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
−
ρ
ρ
ρ
ρ
Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:
( )
(
)
dxdydzdt
z
V
dxdydzdt
y
V
z
y
∂
∂
−
∂
∂
−
ρ
ρ
;
Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:
(
)
( )
(
)
dxdydzdt
z
V
y
V
x
V
z
y
x
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
ρ
ρ
ρ
Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt
gęstość ρ(x,y,z,t+dt)=ρ+(لρ/لt)
*
dt
W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do [ρ(لρ/
لt)
*
dt]dxdydz. Stąd przyrost masy -ρdxdydz+[ρ+(لρ/لt)
*
dt]dxdydz = (لρ/لt)dxdydzdt.
Porównując przyrosty otrzymujemy:
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⇒
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
z
V
y
V
x
V
t
dxdydzdt
t
dxdydzdt
z
V
y
V
x
V
z
y
x
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.
lub :
(
)
( )
(
)
dt
dz
z
z
V
V
z
z
V
z
V
dt
dy
y
y
V
V
y
y
V
y
V
dt
dx
x
x
V
V
x
x
V
x
V
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Podstawiając do równania ciągłości :
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
V
y
V
x
V
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
t
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
0
=
+
V
div
dt
dp
ρ
→ równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.
4. Dysza zwężka Venturiego
Dysza Venturiego jest to dysza z długim dyfuzorem, czyli takim, gdzie większa średnica
dyfuzora równa jest średnicy przewodu a otwory impulsowe znajdują się po stronie dopływu
w obudowie dyszy a po stronie odpływu w cylindrycznym przewężeniu.
Jeżeli zastosujemy zwężkę w rurociągu to spowoduje ona zmniejszenie przekroju
poprzecznego a co za tym idzie wzrost średniej prędkości przepływu i energii kinetycznej
oraz spadek ciśnienia statycznego. Jeżeli płyn ma gęstość stałą i porusza się w kierunku
poziomym rurociągu to równanie Bernoulliego będzie miało postać :
V
1
²/2 + p
1
/ρ = V
2
²/2 + p
2
/ρ
Stopień rozwarcia modułu zwężki „m”=(d/Δ)² a stopień przewężenia strumienia m=(d/Δ)². Z
równania ciągłości wynika V
1
=V
2
=F
2
/F
1
→ V
2
=μm.
Prędkość przepływu płynu idealnego wynosi :
)
(
2
1
1
2
1
2
2
2
p
p
m
V
−
−
=
ρ
µ
W przepływie rzeczywistym ρ<<1
)
(
2
1
1
2
2
2
2
p
p
m
V
−
−
=
ρ
µ
Strumień objętości wynosi :
(
)
(
)
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
p
p
f
p
p
m
f
d
V
d
Q
z
z
−
=
−
−
=
=
=
ρ
α
ρ
µ
µ
π
µ
π
Gdzie :
(
)
2
1
2
2
2
1
p
p
f
Q
m
−
=
−
=
ρ
µ
µ
α
α - liczba przepływu zwężki, f – pole powierzchni przekroju zwężki.
5 prawo Darcy’ego
Prawo Darcy’ego łączy w liniową zależność wydatek strumienia filtracyjnego Q z
powierzchnią jego przekroju poprzecznego F i spadkiem hydraulicznym J.
Q = k
f*
F
*
J , gdzie k
f
- wsp. filtracji , l - długość drogi przepływu.
∆=∆h/l (∆h=∆p/γ)
Ponieważ V
f
(prędkość filtracji) = Q/F, otrzymujemy V
f
= k
f*
J
Dla małych prędkości przepływ ma charakter laminarny i podlega liniowemu prawu
Darcy’ego. Gdy prędkość wzrasta, siły pulsacji powodują zmianę ruchu cząsteczek.
Chaotyczny wsp. filtracji k
f
nie zależy jedynie od własności skały porowatej, ale również od
własności płynu takich jak lepkość oraz ciężar właściwy. Można to opisać tak :
K
f
= k/μ = -k
f
/υ , gdzie:
k – współ. przepuszczalności
υ – kinetyczny współ. lepkości
μ – dynamiczny współ. lepkości
Podstawiając powyższą zależność do wzoru Darcy’ego mamy :
pF
l
Q
k
l
pF
k
Q
∆
=
⇒
∆
=
µ
µ
przy małych długościach rdzenia p
śr
= (p
1
-p
2
)/2 ,
gdzie p
1
i p
2
to ciśnienie gazu na wlocie i wylocie
)
(
2
1
p
p
F
l
Qp
k
śr
−
⋅
=
µ
.
Przy zał., że proces wznoszenia się gazu w rdzeniu jest izotermiczny.
2
1
0
0
0
2
p
p
l
p
Q
Q
−
−
=
Q
0
– wydatek gazu w warunkach atmosferycznych jest izotermiczny
p
0
– ciśnienie barometryczne
czyli współ. przepuszczalności ma postać:
)
(
2
2
1
0
0
p
p
F
l
p
Q
k
−
=
6 płyty ruchome
v=c≠e
0
=
∂
∂
=
∂
∂
t
V
t
V
y
x
ruch ustalony
x – składowa pozioma jedn. sił masowych
y = -y - składowa pionowa sił masowych
0
=
∂
∂
x
P
z założenia ruchu
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
3
1
.
2
1
.
1
y
V
a
y
V
x
V
t
p
y
V
V
V
y
V
t
V
y
V
x
V
t
p
x
V
y
V
V
x
V
t
V
x
x
y
y
y
x
y
y
x
y
y
y
x
x
x
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
ρ
µ
ρ
ρ
µ
ρ
Całkujemy wobec tego μ/ρ≠0 oraz
2
2
2
2
dy
V
d
y
V
x
x
=
∂
∂
dla y=0→V
x
=0 ;
y=h→V
x
=V
B
υ
ρ
ρ
µ
−
=
∂
∂
∂
∂
−
−
−
=
x
p
y
p
V
y
V
B
x
lub
1
0
p=xy+c dla y=h
p
0
=-υh+c → c=p
0
+υh, ostatecznie : p=υ(h-y+p
0
) dla y=0 ; p
B
=υh+p
0
7 wyprowadzić układ ciśnienia wzdłuż długiego rurociągu
Równanie ruchu płynu lepkiego:
(
)
V
div
grad
V
p
grad
F
dt
V
d
3
1
+
∇
⋅
+
−
=
υ
gdzie υ=μ/ρ – liniowy współczynnik lepkości
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
z
V
y
V
x
V
z
z
V
y
V
x
V
z
p
z
dt
dV
z
V
y
V
x
V
y
z
V
y
V
x
V
y
p
y
dt
dV
z
V
y
V
x
V
x
z
V
y
V
x
V
x
p
x
dt
dV
z
y
x
z
z
z
z
z
y
x
y
y
y
y
z
y
x
x
x
x
x
3
1
1
3
1
1
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ρ
µ
ρ
ρ
µ
ρ
ρ
µ
ρ
Rozwiązania te są rozwiązaniami ruchu płynów lepkich i ściśliwych
przy założeniu, że μ=const. Dla płynu nieściśliwego
V
V
p
grad
F
dt
V
d
V
div
∇
+
−
=
=
0
Równanie ruchu płynu nieściśliwego i lepkiego można przedstawić w
jednej postaci po rozwiązaniu wyrażenia na przyśpieszenie całkowite.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
V
y
V
x
V
z
p
z
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
V
y
V
x
V
y
p
y
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
V
y
V
x
V
x
p
x
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
z
z
z
z
y
y
x
x
z
y
y
y
z
z
y
y
x
x
y
x
x
x
z
z
y
y
x
x
x
υ
ρ
υ
ρ
υ
ρ
8 równanie Eulera dla płynu nieściśliwego
ρ=const – płyn nieściśliwy
z
p
F
dt
dV
y
p
F
dt
dV
x
p
F
dt
dV
p
grad
G
dt
dV
z
z
y
y
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
−
=
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
1
1
z równania statyki otrzymujemy
z
p
F
y
p
F
x
p
F
dt
dV
dt
dV
dt
dV
z
y
x
z
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
=
=
=
ρ
ρ
ρ
1
0
1
0
1
0
0
siły działające na osi x=y=0 z=-y
0
/
/
1
p
c
k
z
c
yz
p
ydz
p
z
p
y
y
z
p
=
=
+
=
→
−
=
∂
∂
∂
=
−
⇒
⋅
=
∂
∂
−
∫
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
p(V)=V
k
+p
0
0
1
0
1
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
z
p
y
y
p
x
p
ρ
ρ
ρ
Jest to równanie na ciśnienie w stanie statycznym dla cieczy ρ=const (nieściśliwej)
9 równanie ruchu płynu lepkiego
W przepływie laminarnym w którym wektor prędkości elementu płynu są względem siebie
równoległe, zgodnie z hipotezą Newtona, dynamiczny współczynnik lepkości μ jest równy:
μ=σ/(∂v/∂u) σ-naprężenie sztywne, v-prędkość przepływu
∂v/∂u – składowa gradientu prędkości w kierunkach prostopadłych do V
Kinetyczny współczynnik lepkości jest równy ilorazowi dynamicznego wsp. lepkości płynu μ
i jego gęstości ρ υ=μ/ρ.
Do pomiaru lepkości służą wiskozymetry, lepkościomierze wykorzystujące różnice zjawiska
fizycznego o przebiegu zbliżonym do zjawiska lepkości. Są to lepkościomierze kapilarne,
rotacyjne, ultradźwiękowe.
Lepkościomierz Eulera – pomiar lepkości oparty jest na prawie Hagena. Zgodnie z tym
prawem strumień objętości cieczy w przepływie laminarnym przez kapilarę jest równy.
4
128
d
l
p
Q
∆
=
µ
π
∆p – różnica ciśnień między końcami kapilary
l, d – długość i średnica kapiary
μ – dynamiczny współczynnik lepkości cieczy
Lepkościomierz Höplera – pomiar oparty na prawie Stokena. Kula a gęstości ρ
k
opada z
prędkością v w cieczy o ρ
c
wypełniającej cylinder lepkościomierza poddana jest
oddziaływaniu sił:
- ciężkości G=(π/6)d
3
y ρ
k
- wyporu W=(π/6)d
3
y ρ
c
- oporu ośrodka
Cx
V
d
P
c
2
4
2
2
ρ
π
=
Współczynnik lepkości względnej ε = T/(kγ) ; T-czas wypływu, γ-stała wypływu
Gdy wypadowa tych sił jest równa zero, kulka upada ze stałą prędkością v=const.
Dla G=W+P wynosi
Cx
d
k
T
L
v
c
c
−
−
=
ρ
ρ
ρ
ρ
0
3
4
Dla Re < Q
2
siła wyporu wynosi W=P – 3πμvd
Dla ruchu laminarnego Cx=24/Re Re=(V
0
dρ
c
)/μ
(
)
(
)
l
T
pd
d
T
l
V
c
k
c
k
18
18
2
2
0
ρ
ρ
µ
µ
ρ
ρ
ρ
−
=
⇒
−
=
=
Dla zmniejszenia błędu systematycznego wykorzystuje się zależność μ=(ρ
k
-ρ
c
)k
H
T
T – czas opadania kuli ; k
H
– stała przyrządu
10 Równanie Eulera dla płynu rzeczywistego
Występują siły:
-grawitacyjna
ds
dz
ydv
ds
dt
s
ρ
σ
α
σ
σ
=
−
=
−
=
sin
-wymuszająca ruch
v
t
v
s
p
dv
dt
dv
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
=
)
(
ρ
ρ
-tarcie ρ=τ dv
dv
dv
F
dv
dt
dv
dv
s
p
ds
dz
ydv
z
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
:
/
0
=
+
+
∂
∂
+
0
1
=
+
∂
∂
−
−
=
τ
ρ
F
s
p
ds
dz
y
dt
dv
równanie przepływu jedn. płynu rzeczywistego, gdy
τ
ρ
F
s
p
ds
dz
y
dt
dv
V
dt
dv
+
∂
∂
−
−
=
=
=
1
0
dla potencjalnego gazociągu, który nie powoduje zmian prędkości :
0
1
=
+
∂
∂
−
−
τ
ρ
F
s
p
ds
dz
y
dla płynu idealnego F
τ
=0
s
p
G
ds
dv
V
dt
dv
s
∂
∂
−
=
+
ρ
1
gdy dv/dt=0 (v grad) v=σ - (1/ρ)grad p
v=const to σ - (1/ρ)grad p =0
v=0
to σ - (1/ρ)grad p =0
11 Bezwymiarowy współczynnik strat λ
Korzystając z prawa Hagena-Poiseuille
Q=πΔpR
4
/(8μl)
Q=v
śr
*F
v
śr
=Q/F
F=π* R
2
d
l
v
d
d
v
l
v
d
l
v
p
d
v
d
l
v
d
l
v
R
l
v
d
l
v
d
l
v
p
R
p
l
v
R
l
p
R
l
p
v
v
v
l
R
p
R
R
l
p
v
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
śr
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
∆
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∆
=
⋅
⋅
⋅
⋅
∆
=
=
⋅
⋅
⋅
∆
=
⋅
⋅
⋅
⋅
∆
⋅
=
Re
2
64
2
64
32
Re
32
)
2
(
8
8
Re
32
)
2
(
8
4
2
8
2
8
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
max
max
2
2
4
ρ
ρ
ν
ρ
ν
ρ
ν
µ
λ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
π
µ
π
Porównując ten wzór ze wzorem na straty Darcy’ego
Re
64
2
Re
2
64
2
2
2
2
=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∆
λ
ρ
λ
ρ
ρ
λ
śr
śr
śr
v
d
l
d
l
v
v
d
l
p
12 Całka Eulera dla płynu
z
p
G
dt
d
y
p
G
dt
d
x
p
G
dt
d
p
grad
G
dt
v
d
v
v
v
z
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
−
=
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
1
1
Z równania statyki otrzymujemy
dt
d
v
x
=
dt
d
v
y
=
dt
d
v
z
=0
0=
x
p
G
x
∂
∂
−
ρ
1
0=
y
p
G
y
∂
∂
−
ρ
1
0=
z
p
G
z
∂
∂
−
ρ
1
Działające sily wzdłuż osi x=y=0 z= - g
0= - g
z
p
∂
∂
−
ρ
1
z
p
∂
∂
−
ρ
1
=g /*
ρ
g
z
p
=
∂
∂
−
ρ
Dp= -
ρ
gdz
Z równania Clapyrona
g
v
RT
v
p
ρ
=
=
dp= - v dz = -
dz
RT
p
∫
−
=
/*
RT
dz
p
dp
ln p = -
c
RT
z
+
założenia p =
p
0
z =
z
0
ln p = -
c
RT
z
+
0
c=ln
RT
z
p
0
0
+
ln pn= -
p
RT
z
0
ln
+
+
RT
z
0
ln po =
RT
z
z
0
−
−
−
=
e
p
p
0
RT
z
z
0
−
13.
Całka i równane Eulera dla cieczy.
0
0
0
0
1
1
0
,
0
,
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
z
z
z
y
x
z
y
x
p
p
c
z
p
c
z
p
dz
dp
p
g
dz
g
dp
dz
dp
g
dz
dp
g
dz
dp
g
g
z
y
x
z
p
F
y
p
F
x
p
F
dt
v
dt
v
dt
v
z
p
F
dt
v
y
p
F
dt
v
x
p
F
dt
v
gradp
F
dt
dv
γ
γ
γ
γ
γ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
+
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
−
=
−
=
=
=
=
∂
⋅
−
=
∂
⋅
−
=
∂
⋅
−
=
∂
=
∂
=
∂
∂
⋅
−
=
∂
∂
⋅
−
=
∂
∂
⋅
−
=
∂
−
=
14. Cisnieniomierze (sonda Prandta)
Ciśnieniomierz tego typu pozwala na pomiar roznicy cisnienia całkowitego i statycznego.
Różnica ta jest cisnieniem dynamicznym.
p
v
v
p
v
p
d
v
ρ
ρ
ρ
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
=
=
+
=
+
gestosc
dynamiczne
cisnienie
p
p
p
d
−
−
−
=
ρ
1
2
Manometr naczyniowy z rurka pochyła służy do pomiaru małych wartości roznic cisnienia
stosuje się miedzy innymi mikromanometry cieczowe z rurka pochyla, protekcyjne ,
mikrometr Betza
Na podstawie wychylenia cieczy manometrycznej l i kata pochylenia rurki alfa można
określić miarowo przez manometr roznicy cisnien
p
p
2
1
−
F
F
z
z
F
F
z
z
z
z
z
z
z
z
l
l
ciaglosci
rownania
z
l
z
2
1
1
0
2
1
1
0
0
2
1
0
0
2
)
(
:
sin
=
−
=
−
=
−
−
+
−
=
∆
α
Różnica ciśnień:
(
2
1
gl
z
g
p
c
c
p
p
ρ
ρ
=
∆
=
−
=
∆
sin
F
F
2
1
)=
ρ
c
ln g
Manometr z U-rurka
Manometr Aslavia słuzy do pomiaru pod i nadcisnien w zakresie do 2006 Re
15 Czas wypływu
v(z) =
gz
2
dv = F
0
gz
2
dt
dv = F(z)dz
- F(z)dz = μ
0
F
0
gz
2
dt
- F(z)dz = μF
0
gz
2
dt
dt=-
gz
F
dz
z
F
2
)
(
0
µ
dz
z
z
F
gz
F
t
gz
F
dz
z
F
d
dt
z
z
t
∫
∫
∫
⋅
⋅
−
=
⋅
−
=
0
0
0
0
)
(
2
1
2
)
(
µ
µ
Prawo Pascala.
Jeżeli dv/dt=0 to Fx=1/ro*dp/dx; Fy=1/ro*dp/dy; Fz=1/ro*dp/dz
Fxdx+Fydy+Fzdz= 1/ro*(dp/dx*dx+dp/dy*dy+dp/dz*dz)
Fxdx+Fydy+Fzdz=1/ro*dp
Prawa strona równania to pochodna zupełna i aby był warunek
równania spełniony musi i lewa strona być pochodna zupełną.
wektorF=grad mi gdzie mi to potencjał wektora F(potencjał
jednostkowy sil masowych)
Fx=dmi/dx; Fy=dmi/dy; Fz=dmi/dz.
Warunki równania płynu doskonałego dmi=1/ro*dp, ro=const.
Mi=1/ro*p+cosalfa
Zapis wektorowy radmi=1/ro gadp
Jeżeli F=0 grad mi=0 to 1/rogradp=0 – Prawo Pascala
.
16 Gęstość
Gęstość jest wielkością fizyczną charakteryzującą wszystkie zależne od masy i objętości.
Gęstość średnia to stosunek masy i objętości: ρ
śr
=m/V
Gęstość w punkcie: ρ=dm/dv= lim Δm/ΔV
ΔV→Ve
Pomiar gęstości wilgotnego powietrza:
Powietrze zawiera w swym składzie parę wodną. Ilość pary wodnej i jej sprężystośc zależy
tylko od jej temperatury. Wilgotnością bezwzględną nazywa się ilośc pary wodnej w
jednostkach masy zawartej w jednostce powietrza [kg/m
3
]
Parametry mieszaniny spełniają zatem równanie Clapeyrona p/ρ =RT gdzie:
p-ciśnienie wilgotnego powietrza
p
s
-ciśnienie suchego powietrza
oraz prawo Daltona b=e
Ps
+e
Pw
gdzie e
Pw-
ciśnienie pary wodnej w powietrzu wilgotnym
p
s
-ciśnienie suchego powietrza
Gęstość powietrza wilgotnego zależy od temperatury, ciśnienia, wilgotnośći, która wyrażona
jest przez sprężystość pary wodnej. Gęstość cieczy – pomiar polega na wyrażeniu masy i
objętości cieczy znajdującej się w piktometrze. Pomiar masy wyznacza się na wadze
analitycznej, objętość wyznacza się pośrednio poprzez ważenie wody analitycznej o znanej
gęstości
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
−
−
−
=
+
−
=
+
=
−
−
=
−
=
)
(
0
2
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
w
w
w
w
m
m
m
m
V
m
m
V
m
m
m
m
V
V
0
-objętość cieczy w pikometrze
0
ρ
-gęstość badanej cieczy
Gęstość materiału ziarnistego wyznacza się przy pomocy pikometru. Należy zważyć
dwukrotnie pikometr z próbką ciała rozdrobnionego oraz pikometr z tą samą próbką ciała
dopełnionego cieczą o znacznej gęstości
m
s
=m
0
+m
p
-V
0
*ρ
m
w
=m
0
+m
p
-(V
0
- V
p
) ρ
w
- V
0*
ρ
ρ-gęstość; V
0
- objętość cieczy w pikometrze; m
0
,m
p
-masypikometru pustego, ciała
rozdrobnionego; ρ
w
gęstość rozdrobnionych ziaren
V
p
- objętość rozdrobnionych ziaren
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
s
w
s
w
w
p
w
s
w
s
p
w
s
w
p
m
m
m
m
V
m
m
V
m
m
m
m
m
V
V
p
ρ
- gęstość materiału z którego zbudowane są ziarna ciała rozdrobnionego
17 Kryza zwężka
Celem jest wyznaczenie zależności liczy przepływu od liczy Reynoldsa (Re) dla zwęzki.
Wykres α= α(Re) umożliwia wyznaczenie strumienia objętości pynu na podstawie pomiaru
różnicy ciśnień na kryzie lub dyszy. Zwężka zabudowana w rurociągu powoduje zmniejszenie
przekroju poprzecznego a tym samym wzrost średniej prędkości przepływu i energii
kinetycznej oraz spadek ciśnienia.
)
(
2
`
`
4
4
2
1
2
2
2
2
p
p
wpisac
trzeba
d
n
V
d
V
Q
−
⋅
=
=
=
ρ
π
π
ρ
ρ
2
2
2
1
2
1
2
2
p
V
p
V
+
=
+
- równanie Bernoulliego
ρ
= const
2
=
v
d
m
- moduł zwężki
2
=
D
d
n
z
- stopień przewężenia strumienia
(
)
(
)
y
rzeczywist
plyn
p
p
m
n
V
p
p
m
n
V
m
n
V
D
F
V
V
z
⋅
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
⋅
=
=
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
ρ
ρ
ρ
- płyn idealny
18 Magistrala dla cieczy
D
x
p
grad
G
dt
dv
v
2
1
2
−
−
=
ρ
Założenia:
const
const
G
const
const
Q
m
=
=
=
=
λ
ρ
0
)
(
;
0
)
(
;
0
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
x
v
x
v
t
v
ρ
ρ
ρ
x
D
x
D
dx
D
p
p
p
dx
D
dp
dx
D
dp
d
const
Q
dx
D
dp
d
dx
D
dp
dx
dv
S
Q
p
p
S
Q
p
p
S
Q
S
Q
S
Q
Q
S
S
S
v
S
v
S
v
v
x
x
x
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
1
2
1
/
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
0
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
λ
λ
ρ
λ
ρ
λ
ρ
λ
ρ
λ
ρ
λ
ρ
−
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
−
−
=
∫
19 Paradoks de’Alamberta
Przy ruchu ciała w płynie doskonały nie powstają żadne siły reakcji. W płynach
rzeczywistych występują składowa reakcji p
x││
v
a w przypadku ciała niesymetrycznego
występują obie składowe
p
x││
v
p
y ┴
v
p
y
-siła nośna
v
y
=2v
o
sinφ
z równania Bernouliego
ρ
ρ
p
p
p
v
p
v
+
=
+
2
2
2
0
2
0
/ρ
)
sin
4
1
(
2
)
sin
2
4
(
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
⋅
−
=
=
−
+
=
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
v
p
p
p
v
v
p
p
v
p
v
p
v
p
v
p
p
p
p
p
p
p
20 Porównanie przepływu gazu przez ośrodki porowate.
Prędkość filtracji zgodnie z prawem Darcy (przy przepływie laminarnym) jest
proporcjonalna do gradientu ciśnienia
gradp
k
V
µ
=
→
.
k- współczynnik charakteryzujący przepuszczalność ośrodka porowatego,
zależy od materiału i płynu.
µ- dynamiczny współczynnik lepkości gazu.
Podczas badania współczynnika filtracji cylindrycznej próbki mnożne różnice
ciśnienia na zewnątrz i wewnątrz odcinka przewodu porowatego o długości l.
Jedna część rury jest zamknięta a do drugiej jest podłączony wentylator. Na
skutek podciśnienia następuje filtracja powietrza przez rurkę porowatą.
Bezwzględna prędkość filtracji jest więc równa V=k/mi*dp/dt.
Strumień objętości powietrza przepływającego przez powierzchnię zewnętrzną
rurki o polu jest równy:
dF
Q
n
V
→
→
=
∫
gdzie
→
v
- wektor prędkości, n – wersom
normalny.
Q= k/mi*dp/dv*2pi*l*r.
W celu wyznaczenia p=(p(r)) należy rozwiązać otrzymane równanie
różniczkowe gdy Q=const.
dv/dr= 2pi*l*k/mi*Q*dp
lnr= 2pi*l*k/(mi*Q)*p+c
Równanie musi być spełnione dla wszystkich punktów cylindra porowatego w
szczególności gdy leżące na powierzchni r=r
z
lnr
z
=(2pi*l*k/mi*Q)*b+c gdzie b-ciśnienie barometryczne.
Funkcja p(r)ma postać p(r)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r
z
/r).
Wewnątrz rurki (r=r
w
) a cieśninie wynosi p
w
. p(r
w
)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r
z
/r)=
p
w
)
(
2
ln
w
w
z
p
b
l
r
r
Q
k
−
=
π
µ
21 Równanie równowagi płynu
Równanie równowagi uwzględnia równowagę sił masowych i sił powierzchniowych. A więc
∫ ∫ ∫
∫ ∫
=
−
V
A
M
npdA
dV
F
0
ρ
F
M
–siły masowe; np- siły powierzchniowe
Przekształcamy całkę powierzchniową na objętościową korzystając z twierdzenia GAUSSA-
OSTROGRADSKIEGO:
(
)
0
0
=
−
=
−
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
dV
p
grad
F
dV
p
grad
dV
F
dV
p
grad
npdA
V
M
V
M
V
A
V
ρ
ρ
Ze względu na dowolność obszaru całkowania V można zapisać:
z
p
k
y
p
j
x
p
i
p
grad
p
grad
F
M
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
0
ρ
Jest to równanie równowagi płynu w formie różniczkowej. A w układzie współrzędnych
kartezjańskich ma ono postać.
x,y,z – to składowe siły masowej F
M
w kierunkach osi x,y,z
Równanie równowagi wyprowadzone z różniczkowego sześcianu
dxdydz. Rozpatrzona zostanie równowaga w kierunku osi x, gdzie siła
powierzchniowa będąca iloczynem ciśnienia i powierzchni na odcinku dx
rośnie o wielkość pdzdy do
dydz
dx
x
p
p
∂
∂
+
dV=dxdydz
Element płynu dV =dxdydz jest w równowadze jeżeli rzuty sił na osi x są równe 0
0
0
0
=
∂
∂
+
−
+
=
∂
∂
+
−
+
=
∂
∂
+
−
+
dxdy
dz
z
p
p
pdxdy
dm
z
dxdz
dy
y
p
p
pdxdz
dm
y
dzdy
dx
x
p
p
pdydz
dm
x
Korzystając z faktu że
dxdydz
dv
dm
ρ
ρ
=
=
dodając stronami trzy składowe można naoisać
(
)
(
)
Zdz
Ydy
Xdx
dp
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
Zdz
Ydy
Xdx
+
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
ρ
ρ
PRAWO PASCALA
Gdy na płyn nie działają siły masowe lub gdy są one zaniedbywanie małe w stosunku do sił
powierzchniowych można zapisać warunek F
M
=0 ; a więc i składowe X=Y=Z=0 ZATEM z
równania EULERA w postaci różniczkowej wynika że grad p = 0 czyli dp = 0 a więc p=const
jest to matematyczny zapis prawa PASCALA, mówiący że ciśnienie jest stałe w całej objętości
0
1
0
1
0
1
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
z
p
Z
y
p
Y
x
p
X
ρ
ρ
ρ
22 Prędkość przepływu termoanometru
Prędkość przepływu określa się za pomocą termoanometru. Poszczególne
punkty pomiarowe wybiera się na przecięciu okręgów o promieniu r
u
i
prostopadłych względem siebie średnic:
ρ
m
k
k
R
r
k
2
1
+
+
=
m - liczba pierścieni
k – kolejny numer punktu pomiarowego
R – promień
∑
∑
=
=
=
∆
=
m
i
n
i
i
i
i
N
v
F
F
v
Q
1
1
N – liczba punktów pomiarowych
F – pole przekroju poprzecznego F = пR
2
ΔF
i
– powierzchnia części przekroju poprzecznego, której odpowiednia
prędkość odpowiada prędkości v
i
Przy przepływie osiowosymetrycznym, gdy v nie zalezy od kąta kierunkowego
∫
∫
∫
=
=
=
F
p
R
dv
r
v
dr
r
v
vdF
Q
0
0
2
2
)
(
)
(
2
π
π
Można także obliczyć energię kinetyczną płynu przypadającego na jednostkę
czasu, w którym płyn przepływa przez przewód
∫
=
2
2
3
)
(
2
dv
r
v
E
k
π
ρ
Współczynnik Coriolisa (α) to stosunek rzeczywisty energii kinetycznej
strumienia płynu i energii, jaką miałby strumień płynu gdyby prędkość jego była
w calymprzekroju równa v
śr
E
k
=mv
śr
/2 = ρv
śr
v/2 = ρFv
śr
3
α = E
k
/ E
k
*
α = E
k
/ E
k
*
*1/( v
śr
3
R
2
)
dr
r
v
R
∫
0
3
3
)
(
23 Rownanie Bernoulliego dla plynu idealnego.
Płyn idealny v=0 ;
0
=
dt
dv
rot
∧
v =0 ruch ustalony
Równanie Eullera dla tego płynu
dt
dv
= G -
ρ
1
grad p
0
=
dt
dv
=>
z
y
x
t
v
v
v
v
v
v
v
z
z
y
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Czyli
v(x,y,z) grad (
x
v
x
∂
∂
;
y
v
y
∂
∂
;
z
v
z
∂
∂
)
v(grad v)= G -
ρ
1
grad p
v(grad v)=
v
xrot
v
v
grad
x
−
2
2
1
v
grad
2
2
1
= G -
ρ
1
grad p
v
grad
2
2
1
- G - G -
ρ
1
grad p =0
G=grad v - potencjał sil masowych
ρ
1
grad p=grad p - cisnienie p =
∫
ρ
dp
grad
0
2
2
=
−
−
p
grad
n
grad
v
grad(
2
2
v
+ n +p)= 0 n= -gz p= const
2
2
v
+ n +p= const
2
2
v
+ gz+
const
dp
=
∫
ρ
-- - dla gazu
2
2
v
+ gz+
ρ
p
= const --- dla cieczy
Dla cieczy rzeczywistej
2
2
v
+ gz+
ρ
p
+
const
h
s
=
∑
Gdzie:
∑
h
s
=
ξ
ε
ε λ
+
24 Rownanie Eulera dla plynu doskonałego
x,y,z-skladowe Si masowych przypadających na jednostke masy w kierunku osi
współrzędnych
dm=
dxdydz
ρ
dm—masa elementarnego prostopadłościanu
dxdydz
z
dxdydz
y
dxdydz
x
ρ
ρ
ρ
p+(dp/dz)dz
p+(dp/dz)dx
dydx
dz
z
p
p
dydx
dxdz
dy
y
p
p
dzdx
dydz
dx
x
p
p
dydz
)
(
)
(
)
(
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
ρ
ρ
ρ
Mnożę siłe składowa z masy elementu z „-‘’
dt
d
v
x
−
dxdydz
ρ
dxdydz
dt
d
v
y
ρ
−
dxdydz
dt
d
v
z
ρ
−
Gdy układ sil jest w równowadze to zgodnie z zasada De’Alamberta suma rzutow sil = 0
0
0
0
=
−
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
dxdydz
dt
d
dxdydz
z
p
dxdydz
z
dxdydz
dt
d
dxdydz
y
p
dxdydz
y
dxdydz
dt
d
dxdydz
x
p
dxdydz
x
v
v
v
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
25 Równanie Bernouliego dla jednowymiarowego stacjonarnego przepływu
strugi.
dv/dt+v*dv/ds=GS-(1/ro)*dp/ds+(lambda*g*v
2
/2D)
Pole grawitacyjne:
v*dv/ds-GS+1/ro*dp/ds+(lambda*g*v
2
/2D)=0
½*dv
2
/ds+g*dz/ds+(lambda*g*v
2
/2D)=0 /*ds.
½ * dv
2
+gdz+dp/ro+( lambda*g*v
2
/2D)*ds=0
0
,
0
0
2
2
0
2
)
2
1
(
2
2
=
=
=
+
+
+
=
+
+
+
∫
∫
∫
v
ds
D
gv
p
gz
v
ds
D
gv
p
gz
v
d
λ
λ
ρ
λ
ρ
v
2
/2+p/ro+gz=const
dla cieczy rzeczywistej
v
2
/2+p/ro+gz+(lambda*g*v
2
/2D)+(ε*v
2
*g/2)=const
dla gazu
v
2
/2+g*dp/ro+gz=const
pv=(z)RT; v=1/ro
p/ro=RT(z)
p
RT
p
dpRT
v
const
T
p
p
ln
2
1
0
2
=
=
⇒
=
∫
I=p/RT
p=IRT(z)
0
1
ln
2
p
p
RT
v
=
26 Równanie Bernouliego dla płynu idealnego.
V=0
dv/dt=0 – przyśpieszenie lokalne
rotv =0
dv/dt=g=1/ro*▼p
dv/dt=(v*▼)*v=g-(1/ro)* ▼p
Z analizy matematycznej:
(v*▼)=1/2*▼*v
2
+v *rotv
½*▼*v
2
-g-(1/ro) * ▼p=0 g=-▼n
½*▼*v
2
+vn+▼p=0 1/ro▼=▼p
ro=const 1/ro▼p=▼p/ro
v
2
/2+n+p=const
v
2
/2+n+ p/ro=const
n=g
z
v
2
/2+g
z
+ p/ro=const
Równanie Bernouliego – przemiana gazowa
R – indywidualna stała gazowa
pV=nRT
p/ρ=RT/μ z tego ρ=pμ/RT
V=-m/ρ ; n=m/μ ; R=R
*
M
pm/ρ=m R
*
μT/μ
p/ρ= R
*
T
ρ=p/ R
*
T / ∫
∫dp/ρ + v
2
= const
const
v
T
R
d
=
+
⋅
∫
2
2
*
ρ
ρ
R
*
T ∫dp/ρ + v
2
/2 = const
R
*
T ln│p│+v
2
/2 = const
27 Równanie ruch płynu doskonałego (równanie Eulera) wyprowadzone z
równowagi sił
Równanie ruchu płynu doskonałego wynika z zasady zachowania pędu, gdzie
pochodna płynu zawartego wewnątrz obszaru V względem czasu jest równa
sumie sił zewnętrznych czyli:
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
+
=
V
A
A
M
V
dA
P
dV
F
dV
dt
dV
ρ
ρ
Stosując twierdzenie GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO i pamiętając, że p
A=
-
n*p otrzymujemy:
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
+
−
V
V
M
V
gradp
dV
F
dV
dt
dV
ρ
ρ
dV=0
(
)
0
=
+
−
∫ ∫ ∫
dV
gradp
F
dt
dV
M
V
ρ
ρ
Ze względu na dowolność obszaru całkowania V dla każdego elementu dv
funkcja podcałkowa musi się zerować. Otrzymujemy więc:
gradp
F
dt
dV
M
ρ
1
−
=
Równanie płynu doskonałego lub równanie Eulera okresla zasadę zachowania
pędu gdyż wystarczy rozdzielić różniczki dV/dt i pomnożyć je przez masę a
otrzymam równanie pędu w klasycznej postaci. Równanie to można przedstawić
w zapisie skalarnym w następujący sposób:
z
p
Z
dt
dV
y
p
Y
dt
dVy
x
p
X
dt
dV
Z
X
∂
∂
⋅
−
=
∂
∂
⋅
−
=
∂
∂
⋅
−
=
ρ
ρ
ρ
1
1
1
28 Równanie Bernouliego wyprowadzone z równania Eulera
W celu wyprowadzenia równania Bernouliego z całki równania Eulera zależy
uzyskać związek algebraiczny pomiędzy prędkością przepływu płynu, a jego
ciśnieniem. Jest to możliwe w przypadku ruchu ustalonego, potencjalnego dla
płynu o stałej gęstości
const
=
ρ
.
Należy przekształcić całkę Eulera do postaci w której wystąpi rotacja prędkości
(rot v). rozważamy składowe substancjalne dla kierunku X
(
)
rotV
V
V
x
t
V
V
rot
V
V
rot
V
V
x
dt
V
x
V
z
V
V
y
V
x
V
V
x
V
V
x
V
V
x
V
V
t
V
dt
dV
x
V
V
x
V
V
x
V
V
x
V
V
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
dt
dV
X
X
Y
z
z
Y
Z
Z
X
Z
X
Y
Y
Z
Z
Y
Y
X
X
X
X
Z
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Y
X
Z
X
Y
X
X
X
X
−
∂
∂
+
∂
∂
=
−
−
∂
∂
+
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
2
Ostatnią część powyższych obliczeń można zapisać dla kierunków Y i Z w taki
sam sposób. Można więc zapisać równanie wektorowe
rotV
V
V
grad
t
V
dt
dV
×
−
+
∂
∂
=
2
2
Po podstawieniu otrzymamy
gradp
F
rotV
V
V
grad
dt
dV
M
ρ
1
2
2
−
=
×
−
+
Jest to równanie w formie Lambra-Gromek
29 Równanie Bernoulliego dla płynu ściśliwego (dwuwymiarowego).
dy
dy
p
Fydy
Vydy
y
Vx
Vxdy
x
Vy
dx
dx
p
Fxdx
Vydy
y
Vy
Vxdx
x
Vx
t
Vy
t
Vx
dy
dy
p
Fy
Vy
y
Vy
Vx
x
Vy
t
Vy
dx
dx
p
Fx
Vy
y
Vx
Vx
x
Vx
t
Vx
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
0
;
0
/
1
/
1
Przepływ stacjonarny- przepływ po liniach prędkości
Vxdy=Vydx
dy
dy
p
Fydy
Vydy
y
Vy
Vxdx
x
Vy
dx
dx
p
Fxdx
Vxdy
y
Vx
Vxdx
x
Vx
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
1
1
Po dodaniu stronami tych dwóch równań otrzymujemy:
z
g
n
const
p
n
v
p
n
v
d
dp
du
dv
du
F
dp
F
dv
dy
y
p
dx
x
p
Fydy
Fxdx
dVy
dVx
dy
dy
p
Fydy
dy
y
Vy
dx
x
Vy
dx
dx
p
Fxdx
dy
y
Vy
dx
x
Vx
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
−
=
−
=
∂
∂
+
∂
∂
−
+
=
+
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
2
0
)
1
2
1
(
0
1
2
1
1
2
1
)
(
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Poprzez powyższe przekształcenia dochodzimy do równania Bernoulliego mającego w tym
przypadku postac:
const
g
p
v
z
=
+
+
ρ
2
2
30 Równ. Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego płynu nieściśliwego.
ρ =const
ds
dp
G
t
v
ρ
1
−
=
∂
∂
-równanie Eulera
t
v
∂
∂
= (ΰ*▼)*ΰ= G -
ds
dp
ρ
1
t
v
∂
∂
=0
ds
dp
=▼p
(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V
2
+ V x rot ΰ
rot ΰ = 0
przepływ bezwymiarowy
1/2▼V
2
= G – 1/
ρ
▼p
G = -g
2
1/2▼V
2 =
▼V – 1/
ρ
▼p
V
2
/2 = – 1/
ρ
p – g
2
V
2
/2 + g
z
+p/
ρ
/:
ρ
gV
2
/2 + g
z
+ p/V = const
t
v
∂
∂
=G-1/
ρ
gradp
t
v
∂
∂
=G-1/
ρ
ds
dp
t
v
∂
∂
=(ΰ*▼)*ΰ=G-1/
ρ
ds
dp
t
v
∂
∂
=0
ds
dp
=▼p
(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V
2
+ V x rot ΰ
rot ΰ = 0
1/2▼V
2
= G – 1/
ρ
▼p
G-g
z
G=▼V
▼V
2
/2 = ▼V-1/
ρ
▼p
▼V
2
/2=▼(V-1/
ρ
p)
V
2
/2 V-p/
ρ
☻☻☻
31 Równanie Bernoulliego –przeniana adiabatyczna
Przyjmujemy związek miedzy cisnieniem i gęstością dla przemiany
adiabatycznej odpowiadającej z dostatecznym przybliżeniem niektórym
zjawiskom zachodzącym przy przepływie gazow
const
p
dp
y
otrzymujem
i
c
const
p
p
+
•
=
=
=
∫
−
γ
γ
γ
γ
ρ
ρ
γ
γ
1
:
lub
Po podstawieniu do równania Bernoulliego otrzymujemy równanie w
przemianie adiabatycznej wzdłuż strumienia :
+
2
2
v
γ
γ
1
−
γ
p
•
= const
+
g
v
2
2
γ
γ
1
−
γ
p
•
= const
Rozwiązując strumien gazu można napisac row. Bernoulliego dla dwoch
przekrojow w postaci
ρ
γ
ρ
γ
γ
γ
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
p
v
p
v
•
+
=
•
+
−
−
32 Równanie Eulera dla płynu ściśliwego
Siły ściskające pochodzą od pozostałych części płynu.
Założenia:
1) zasada de’Alamberta εF
i
=0;
F
c
=F+G
2) G0
τ 0
∫ ∫
=
−
−
=
σ
τ
σ
τ
ρ
0
1
lim
0
pnd
dt
dV
g
F
wiadomo, że
pn= cos(sinx)p+jcos(n,y)p+kcos(u,ε)p
z tw. Gaussa:
lim
∫ ∫
∂
∂
=
∂
σ
τ
σ
τ
x
p
x
u
g
)
,
cos(
1
τ0
p
z
p
k
y
p
j
x
p
i
gradp
pnd
∇
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∫ ∫
σ
σ
τ
1
lim
Równanie ma postać
gradp
F
dt
dv
gradp
dt
dv
F
ρ
ρ
ρ
1
0
−
=
=
−
−
ruch płynu doskonałego
Równanie Eulera dla trzech osi (x,y,z)
z
p
F
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
y
p
F
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
x
p
F
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
x
z
y
z
z
z
z
x
y
z
y
y
y
y
z
x
y
x
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
1
1
1
F
x
,F
y
,F
z
– jednostkowe siły masowe działające wzdłuż osi x,y,z
Równanie Eulera dla płynu doskonałego
τ
ρ
+
−
=
gradp
F
dt
dv
1
33 Równanie przepływu dla strugi
Struga jest to zespol lini pradu wypełniający rurke
S- droga plynu , v—droga prędkości przepływu , F – pole przekroju
poprzecznego
v(s,t)=
)
(
)
,
(
s
F
t
s
v
vdF=dv / *
ρ
∫
∫
∫
∫
∫
∂
∂
−
=
=
−
=
S
S
S
vF
F
vF
vF
dF
dF
dF
S
S
dt
d
dv
dt
d
S
S
v
v
v
n
m
s
v
2
1
1
2
1
2
1
)
(
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
0
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
2
1
=
∂
∂
+
+
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
s
p
vF
ds
dv
F
s
F
v
t
F
t
F
S
vF
t
F
S
S
ds
S
vF
t
F
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
34 Równanie równowagi płyny:
W cieczy znajdującej się w spoczynku wyznaczamy sześcian o krawędziach dx, dy, dz
równoległych do odpowiednich osi układu współrzędnych. Na sześcian działają następujące
siły:
- powierzchniowe normalne;
- masowe;
Ciśnienie p znajduje się w punkcie M będącym środkiem sześcianach prostopadłych do osi x
odległych o -1/2dx i 1/2dx wynoszą:
dx
x
p
p
p
∂
∂
−
=
2
1
1
i
dx
x
p
p
p
∂
∂
+
=
2
1
2
Natomiast siły powierzchniowe wynoszą:
dydz
x
p
p
x
dp
)
2
1
(
)
(
1
∂
∂
−
=
dydz
x
p
p
x
dp
)
2
1
(
)
(
2
∂
∂
+
=
Siły masowe działające na sześcian otrzymujemy przez przemnożenie jednostkowej siły
masowej x, y, z przez masę elementu.
dF
x
= ρ
x
dxdydz
dF
y
= ρ
y
dxdydz
dF
z
= ρ
z
dxdydz
Z warunków równowagi wynika, że suma sił działających na element (powierzchniowych
powierzchniowych masowych) na dowolnie wybrany kierunek musi być równa zero.
Wyprowadzenie jest takie samo na każdą oś x, y, z.
Wyprowadzenie na oś x:
0
0
)
2
1
(
)
2
1
(
=
+
∂
∂
−
=
+
∂
∂
+
−
∂
∂
−
x
x
x
p
dxdydz
dydz
dx
x
p
p
dydz
dx
x
p
p
ρ
ρ
Wyliczamy analogicznie równanie na osi y i z
0
=
+
∂
∂
−
y
y
p
ρ
i
0
=
+
∂
∂
−
z
z
p
ρ
z
p
y
p
x
p
z
y
x
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
ρ
ρ
ρ
układ równania różniczkowego Eulera
Po przemnożeniu przez dx, dy, dz i dodając
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
zdz
ydy
xdx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
)
(
ρ
różniczka zupełna ciśnienia
)
(
zdz
ydy
xdx
dp
+
+
=
ρ
równanie równowagi płynu
35 Równ. różniczkowe ciągłości dla ruchu płynu ścisliwego – równanie Eulera dla gazu
ρ(x,y,z,t)
≠
0
x
V
V
x
x
⋅
∂
⋅
∂
=
⋅
)
(
ρ
ρ
W kierunku osi x wpływa w czasie dt do elementarnego sześcianu masa płynu
dydzdt
dx
x
V
V
x
x
)
)
(
(
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
ρ
ρ
. Dla tego przypadku czas lub przyrost czasu równy jest:
dxdydzdt
x
V
x
⋅
∂
⋅
∂
−
)
(
ρ
dxdydzdt
y
V
y
⋅
∂
⋅
∂
−
)
(
ρ
dxdydzdt
z
V
z
⋅
∂
⋅
∂
−
)
(
ρ
Całkowity przyrost masy płynu w danym elemencie wynosi:
dxdydzdt
z
v
y
v
x
v
x
x
x
]
)
(
)
(
)
(
[
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
−
ρ
ρ
ρ
jeżeli dana gęstość ρ(x,y,z,t) tyle wynosiła w czasie t
0
, a w czasie t+dt gęstość będzie równa
ρ(x,y,z,t+dt)= ρ+dp/dt
Masa płynu też ulegnie zmianie od p dx dy dz dt do wartości
dxdydzdt
dt
t
)
(
∂
∂
+
ρ
ρ
W czasie t+dt przyrost masy będzie wynosił
dxdydzdt
t
∂
∂
ρ
Wobec tego:
dxdydzdt
dt
dxdydzdt
z
V
y
V
x
V
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
∂
=
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
−
]
)
(
)
(
)
(
[
albo
0
]
)
(
)
(
)
(
[
=
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
+
⋅
∂
⋅
∂
+
∂
∂
−
z
V
y
V
y
V
t
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
36 Różniczkowe równanie ruchu Eulera
Aby wyznaczyć równanie obieramy powierzchnie kontrolną S obejmującą V płynu na taką
powierzchnie działaja siły zewnętrzne masowe i powierzchniowe z których wyznaczamy
równanie. Siły powierzchniowe to siły wywierane z zewnątrz przez płyn otaczający
powierzchnie kontrolną S. Siły ściskające:
∫ ∫
−
=
S
pnds
N
n - normalna zewnętrzna siły o zwrocie”+”
Siły masowe są to siły równomiernie rozłożone w płynie jednorodnym
∫ ∫ ∫
=
V
GdV
M
ρ
G – jednostkowa siła masowa
Prąd elementarny masowy dm wynosi
VdV
ρ
Prąd całkowity układu wynosi
∫ ∫ ∫
V
VdV
ρ
Z II zasady dynamiki Netona, która mówi, że pochodna pędu układu względem czasu równa
jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ
F
zew
=M+N
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−
=
−
+
=
=
S
V
V
S
V
V
V
zew
pnds
GdV
dV
dt
dV
pnds
GdV
VdV
dt
d
VdV
dt
d
F
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
)
(
Z tw. Gaussa zmieniamy całkę powierzchniową na objętościową
0
0
)
(
0
)
(
)
(
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
gradp
G
dt
dV
dv
gradp
G
dt
dV
gradpdV
GdV
dV
dt
dV
gradpdV
dV
z
p
k
y
p
j
x
p
i
dV
pn
div
ndS
V
V
V
V
V
V
V
V
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Równanie Eulera w kierunku osi x,y,z
gradp
G
dt
dV
gradp
G
dt
dV
gradp
G
dt
dV
z
z
y
y
x
x
ρ
ρ
ρ
1
1
1
−
=
−
=
−
=
z
z
y
z
x
z
x
z
z
y
y
y
x
y
y
y
z
x
y
x
x
x
x
x
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
gradp
G
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
gradp
G
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
gradp
G
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
ρ
ρ
ρ
1
1
1
Równanie Eulera dla płynu doskonałegow przepływie nieustalonym
37 Srumień objetości powietrza. Wyznaczenie współczynnika Corriolosa.
Określenie rozkładu prędkości polega na przyporządkowaniu wartości prędkości każdemu
punktowi tego przekroju. W przewodzie o przekroju kołowym poszczególne punkty można
wybrać na pięciu okręgach o promieniu r
k
i prostopadłych względem siebie średnic. Strumień
objętość przepływu wynosi.
i
i
n
i
F
V
Q
∆
=
∑
=
1
n- liczba punktów powłokowych
V
i
– prędkość zmienna w tej części przekroju ;
∆
F
i
– powierzchnia przekroju
Przy przepływie osiowo symetrycznym gdy prędkość przepływu nie zależy od kata
kierunkowego pomiaru prędkości upraszcza się, strumień objętości wynosi:
∫
∫
∫
=
=
=
F
R
R
dV
r
V
dV
r
V
r
VdF
Q
0
2
2
0
)
(
)
(
2
π
π
Elementarna energia kinetyczna płynu o stałej gęstości ρ przepływającego w jednostce czasu
przez przekrój przewodu o powierzchni F jest równa:
dF
V
dV
V
dm
V
dE
k
2
2
2
2
2
2
ρ
ρ
−
−
=
Gdzie : dm – elementarna masa ; dV – elementarna objętość płynu przepływającego przez
powierzchnię dF w jednostce czasu.
Skąd :
∫
=
F
K
dF
F
V
E
)
(
2
3
ρ
dla przekroju kołowego:
=
K
E
2
2
0
3
)
(
2
dV
r
V
R
∫
π ρ
Współczynnik Corriolliossa
α
nazywamy stosunek energii kinetycznej strumienia płynu do
energii jaką miałby ten strumień gdyby jego prędkość w całym przekroju była równa
prędkości średniej
'
K
K
E
E
=
α
. Energia kinetyczna płynu pomniejszającego się w całym
przekroju z prędkością v
Śr
przypadając na jednostke czasu jest równa:
2
2
2
2
2
2
'
ρ
ŚR
ŚR
ŚR
ŚR
K
Fv
v
v
mv
E
=
−
=
dlatego dla przewodu kołowego:
∫
=
=
R
Śr
K
K
dr
r
v
R
V
E
E
0
2
3
2
'
)
(
1
α
38 Stosunek prędkości średniej do max.
Cel ćwiczenia określa Vśr/Vmax przy przepływie płynu przez
przewód w zależności od liczby Reynoldsa. W ćwiczeniu bada się
przepływ powietrza przez przewód o przekroju kołowym. Założenia:
płyn lepki nieściśliwy, przepływ ustalony, przewód kołowy o średnicy
D. Układ współrzędnych taki, że pokrywa się z osią przewodu.
Równanie Novera-Stokesa dla ruchu laminarnego:
1/ro*dp/dt=ni*(d
2
v/dr
2
+1/r*dv/dt) gdzie p-ciśnienie, ro- gęstość, ni-
kinematyczny współczynnik lepkości. dp/dz = -deltap/l=const. Delta
p- różnica ciśnień miedzy przekrojami odległymi od siebie o l.
1.
-1/ro*deltap/l=ni(d
2
v/dr
2
+1/r*dv/dr)
2. -1/ro*deltap/l=ni*1/r*dv/dr*(r*dv/dr)+1
Po scałkowaniu mamy: 3. -1/ro*deltap/l*r
2
/4=ni(v(r)+c
1
*r+c
2
) gdy
v=R- v=0 –prędkość na powierzchni kontaktu z ciałem stałym.
v(r)= delta*R
2
/4*(1-(r
2
/R
2
)) z czego wynika że
v
max
=v(r=0)=(delta*R
2
)/4mi
Q=całka v
d
*F=2pi*calka v(r)dr=pi/8*(lambda*p*k
4
)/(mi*l) gdzie
mi to dynamiczny współczynnik lepkośći.
V
śr
=Q/F=(deltap*R
2
)/(8mi*l), V
śr
= ½*v
max
– w ruchu.
W przepływie turbulentnym prędkość nieznacznie maleje w
podstawowym rdzeniu strumienia płynu i szybko maleje przy
ścianach.
39 Współczynnik oporu liniowego
Podczas przepływu płynu przez występują straty ciśnienia na oporach
zwanych lokalnymi, poprzez co występują zmiany kierunków oraz
modułów wektorów prędkości. Występujące zawirowania powodują
większe straty od strat występujących podczas przepływu przez
odcinek prostoliniowy. Występują one na skutek nagłego zwężenia i
rozszerzenia przewodu o stałej średnicy, zakrzywienia przewodu,
konfuzora (stożkowy). Strat na oporze liniowym
]
/
[
2
2
2
mm
n
v
p
ρ
ξ
=
∆
(Re)
ξ
ξ
=
ξ
-bezwzględny współ. oporu
odniesiony do prędkości za przeszkoda zależy od kształtu elementu
wywierającego opór, prędkość przepływu gęstości, lepkości płynu. W
przepływie laminarnym ρ maleje ze wzrostem Re. Natomiast przy
przepływie turbulentnym ξ jest wartością stałą.
Stała ciśnienia przy oporze
-liniowym
]
/
[
2
2
2
Pa
m
N
v
l
p
=
∆
=
∆
ρ
λ
-lokalnym
]
[
2
2
Pa
v
p
m
⋅
⋅
=
∆
ρ
ξ
Zmiana ciśnienia związana jest także ze zmiany energi
ρ
α
α
2
2
2
2
2
1
1
v
v
p
⋅
−
⋅
=
∆
[Pa]
2
1
,
α
α
- współczynniki Coriollosa
v
1
v
2
– średnie prędkości
40 Wzór Hagena Passenielle’a.
)
(
128
lub
8
4
1
2
)
4
1
2
1
(
2
2
/
)
4
1
2
1
(
2
)
4
1
(
2
2
)
(
4
2
2
)
(
4
)
(
4
2
2
1
4
4
4
4
4
0
2
2
2
4
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
2
p
p
l
d
Q
R
l
p
Q
R
l
p
Q
R
R
l
p
Q
R
d
r
r
R
l
p
Q
r
rdr
R
l
p
Q
dr
r
rdr
R
l
p
Q
rdr
r
R
l
p
Q
rdr
r
R
l
p
Q
r
R
l
p
V
rdr
ds
ds
V
Q
R
R
R
R
R
x
x
−
⋅
∆
⋅
=
⋅
⋅
∆
⋅
=
⋅
⋅
∆
⋅
=
−
⋅
∆
⋅
=
=
⋅
−
⋅
∆
⋅
=
−
⋅
∆
⋅
=
−
⋅
∆
⋅
=
−
⋅
∆
⋅
=
−
⋅
∆
=
−
⋅
∆
=
⋅
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
µ
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
π
π
µ
µ
π