Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Stabilność układów automatycznej regulacji.
UAR jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
⇒
=
s
M
s
M
s
L
s
G
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
=
⇒
+
=
+
=
A
sI
det
s
M
t
Du
t
Cx
t
y
t
Bu
t
Ax
t
x
dt
d
Przyjmujemy:
2
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
0
1
2
2
2
2
1
1
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
M
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
K
Kryteria algebraiczne
Kryterium Hurwitz’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy wyznacznik
0
2
1
0
4
3
2
2
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
L
L
K
M
M
M
O
M
M
L
L
−
−
−
=
∆
3
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
współczynniki równania charakterystycznego
zwiększanie indeksu
zmniejszanie indeksu
Wyznacznik
n
∆
oraz wszystkie podwyznaczniki główne
1
,
2
,
1
−
=
∆
n
i
i
K
są dodatnie:
1
1
−
=
∆
n
a
2
3
1
2
−
−
−
=
∆
n
n
n
n
a
a
a
a
L
5
6
7
2
3
4
1
3
0
−
−
−
−
−
−
−
=
∆
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
warto zauważyć, że jeżeli warunek konieczny jest spełniony to wystarczy obliczyć wyznaczniki od
2
∆
do
1
−
∆
n
, bo
4
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
1
0
−
∆
=
∆
n
n
a
Kryterium Routh’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy tablicę
1
1
2
1
2
3
3
2
1
2
1
2
3
3
2
1
0
2
4
5
3
1
1
3
5
4
2
0
1
3
2
1
z
w
c
c
c
c
c
n
b
b
b
b
b
n
a
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
M
M
L
L
L
L
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
5
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
współczynniki
równania
charakterystycznego
n - nieparzyste
wielkości
obliczane
numer
wiersza
6
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
1
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1
1
3
5
3
1
0
2
4
4
2
0
1
3
2
0
1
z
w
c
c
c
c
c
n
b
b
b
b
b
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
M
M
L
L
L
L
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
współczynniki
równania
charakterystycznego
n - parzyste
wielkości
obliczane
numer
wiersza
7
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
1
3
1
2
1
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
L
1
5
1
4
2
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
0
1
1
0
2
1
0
1
1
2
1
0
a
a
a
a
a
b
lub
a
a
a
a
a
b
n
n
n
n
n
n
n
n
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
1
2
1
3
1
1
b
b
b
a
a
c
n
n
−
=
−
−
L
1
3
1
5
1
2
b
b
b
a
a
c
n
n
−
=
−
−
Układ jest stabilny jeżeli w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a wszystkie współczynniki są dodatnie.
8
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
Ilość zmian znaku w tej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji operatorowej
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
0
02
01
0
0
0
0
n
s
s
s
s
s
s
s
M
s
M
s
L
s
G
−
−
−
=
=
L
i transmitancji widmowej
ω
ω
j
s
s
G
j
G
=
=
)
(
)
(
0
0
daje układ zamknięty o transmitancji
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
0
0
0
n
s
s
s
s
s
s
s
M
s
M
s
L
s
M
s
L
s
L
s
G
−
−
−
=
=
+
=
L
Twierdzenie
Jeżeli M
0
(s) ma k pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyżnie zmiennej zespolonej (nie ma pierwiastków na
osi liczb urojonych), to M(s) ma n pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie wtedy i tylko wtedy gdy:
{
}
{
}
π
ω
π
ω
ω
ω
k
j
G
arg
k
j
G
arg
=
+
∆
⇔
=
+
∆
∞
<
<
∞
<
<
∞
−
)
(
1
2
)
(
1
0
0
0
9
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
(charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego
)
(
0
ω
j
G
obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k
razy).
Dowód
)
(
)
(
)
(
1
0
0
s
M
s
M
s
G
=
+
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
π
π
π
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
k
k
k
n
n
s
j
arg
s
j
arg
j
M
arg
j
M
arg
j
G
arg
n
i
i
n
i
i
2
]
)
[(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
1
0
0
=
−
−
−
=
−
∆
−
−
∆
=
=
∆
−
∆
=
+
∆
∑
∑
=
∞
<
<
∞
−
=
∞
<
<
∞
−
∞
<
<
∞
−
∞
<
<
∞
−
∞
<
<
∞
−
{
}
π
ω
ω
=
−
∆
∞
<
<
∞
−
i
s
j
arg
{
}
π
ω
ω
−
=
−
∆
∞
<
<
∞
−
i
s
j
arg
10
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
s
i
jω
Re
Im
jω-s
i
s
i
jω
Re
Im
jω-s
i
11
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
{
}
)
(
0
ω
j
G
Re
{
}
)
(
0
ω
j
G
m
I
(-1,j0)
)
(
ω
ϕ
20log(1)=0
ω
-180
0
)
(
ω
L
ω
2
)
(
1
)
(
1
1
2
π
ω
ϕ
ω
π
−
=
=
=
−
−
A
e
j
12
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
{
}
)
(
0
ω
j
G
Re
{
}
)
(
0
ω
j
G
m
I
stabilny
na granicy
stabilności
niestabilny
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
13
Automatyka i sterowanie – stabilność układów ciągłych
Re{G(jω)}
Im{G(jω)}
k
)
0
,
1
(
j
−
d
∆φ
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
∆φ
∆L
)
(
0
π
ω
−
=
j
G
d
d
log
j
G
log
j
G
log
L
1
20
)
(
1
20
)
(
20
0
0
=
=
−
=
∆
−
−
π
π
ω
ω
)]
(
[
180
1
0
0
ω
ϕ
j
G
arg
+
=
∆
π
ω
−
1
ω