Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - cz¸
eść 4
(całki podwójne i potrójne)
Zadanie 1. Obliczyć całki
a)
ZZ
A
e
−y
2
dxdy,
gdzie
A = {(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ y ¬ 5};
b)
ZZ
B
xy
2
dxdy,
gdzie B jest trójk
,
atem o wierzchołkach (−1, 0), (1, 0), (0, 1);
c)
ZZ Z
C
dxdydz
(1 + x + y + z)
3
,
gdzie C to czworościan: x + y + z ¬ 1, x 0, y 0, z 0;
d)
ZZ
D
6yx
2
x
2
+ y
2
dxdy,
gdzie
D = {(x, y) ∈ R
2
: 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 4, y −x};
e)
ZZ
E
q
x
2
+ 4y
2
dxdy,
gdzie
E = {(x, y) ∈ R
2
:
x
2
4
+ y
2
¬ 1};
f )
Z Z
F
x
y
dxdy,
gdzie F jest obszarem ograniczonym liniami:
y
3
= ax
2
, y
3
= bx
2
, y = αx, y = βx, (0 < a < b, 0 < α < β);
g)
ZZ Z
G
(x
2
+ y
2
)dxdydz, gdzie G to obszar ograniczony powierzchniami: x
2
+ y
2
= 2z, z = 2;
h)
ZZ Z
H
(x
2
+ y
2
)dxdydz,
gdzie H = {(x, y, z) ∈ R
3
: 1 ¬ x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9 i z ¬ 0}.
Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami: x
2
+ y
2
= 2x, x
2
+ y
2
= 4x,
y = 0, y = x.
Zadanie 3. Używaj
,
ac całki podwójnej, obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej lini¸
a
(x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
xy.
Zadanie 4. Obliczyć mas¸
e bryły D = {(x, y) ∈ R
2
: 4x
2
+ 25y
2
¬ 100, y 0} wiedz¸
ac, że
g¸
estość jest proporcjonalna do kwadratu odległości od osi OX.
Zadanie 5. Wyznaczyć współrz
,
edne środka masy półkola o promieniu R i o g
,
estości wprost
proporcjonalnej do odległości od średnicy.
Zadanie 6. Obliczyć obj
,
etość bryły ograniczonej
a) powierzchniami: x
2
+y
2
+z
2
= 4 i x
2
+y
2
= 3z;
b) powierzchni
,
a
q
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
= z
2
−x
2
−y
2
.
Zadanie 7. Obliczyć współrz
,
edne środka masy jednorodnej bryły
a) V = {(x, y, z) ∈ R
3
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
¬ 1, z 0};
b) ograniczonej powierzchniami:
x
2
4
+ y
2
=
z
2
4
i z = 2.
1
