Wykład dwunasty
Pochodne cząstkowe
Zał. n 2 , f : D → R , D ⊂ R
n
, i – ustalona liczba naturalna, 1 ¬ i ¬ n. Wybieramy punkt
P
0
, P ∈ D, przy czym tylko i – te współrzędne tych punktów są różne.
Def. Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x
i
w punkcie P
0
(ozn.
∂f
∂x
i
|
P
0
) nazywamy
wartość granicy właściwej
∂f
∂x
i
|
P
0
df
= lim
∆x
i
→0
f (P ) − f (P
0
)
∆x
i
Dla n = 2 można więc określić dwie pochodne cząstkowe:
∂f
∂x
|
P
0
oraz
∂f
∂y
|
P
0
.
Niech P
0
(x
0
, y
0
). Wówczas
∂f
∂x
|
(x
0
,y
0
)
= lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
i
∂f
∂y
|
(x
0
,y
0
)
= lim
∆y→0
f (x
0
, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆y
Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w każdym punkcie zbioru D, to można mówić o
funkcjach pochodnych cząstkowych:
∂f
∂x
oraz
∂f
∂y
- to są funkcje dwóch zmiennych.
Uwaga 1. Pochodne cząstkowe funkcji względem różnych zmiennych istnieją niezależnie od sie-
bie.
Uwaga 2. Ciągłość funkcji nie jest WK istnienia pochodnych cząstkowych.
Uwaga 3. Ciągłość funkcji nie jest WW istnienia pochodnych cząstkowych.
Def. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f są to pochodne cząstkowe pochodnych cząst-
kowych
∂f
∂x
i
, i = 1, . . . , n. Oznaczenia
∂f
∂x
j
∂f
∂x
i
!
ozn
=
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
dla i 6= j oraz
∂
2
f
∂x
2
j
dla i = j.
Podobnie określamy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Tw.(Schwarza) Jeżeli funkcja f ma w pewnym obszarze D ⊂ R
n
n 2 ciągłe pochodne mie-
szane drugiego rzędu
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
oraz
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
, to są równe w tym obszarze.
C
m
(D) oznacza zbiór wszystkich funkcji, które na obszarze D mają ciągłe pochodne cząstkowe
do m – tego rzędu włącznie.
Ekstremum funkcji
Niech f : D → R , D ⊂ R
n
, n 1. Niech P
0
∈ D będzie punktem wewnętrznym zbioru D.
1
Def. Funkcja f ma w punkcie P
0
minimum lokalne (odp. maksimum lokalne), jeśli istnieje
sąsiedztwo S punktu P
0
takie, że
∀P ∈ S f (P ) ¬ f (P )
(odp.∀P ∈ S f (P ) f (P ))
Jeżeli w definicji jest nierówność ostra, to mówimy o minimum (odp.maksimum) właściwym.
Funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum, jeśli ma w tym punkcie minimum lub maksimum.
Uwaga 4. Funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum, jeśli w pewnym otoczeniu Q tego punktu
przyrost ∆f = f (P ) − f (P
0
) ma stały znak.
Tw.(WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie P
0
ekstremum i istnieją pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu
∂f
∂x
i
|P
0
, i = 1, . . . n, to
∂f
∂x
i
|P
0
= 0 dla każdego i = 1, . . . n.
Uwaga 5. Ekstremum funkcji f poszukujemy wśród takich punktów P
0
, że
∂f
∂x
i
|P
0
= 0 dla
każdego i = 1, . . . n , lub
∂f
∂x
i
|P
0
nie istnieje dla co najmniej jednego i.
Punkt P
0
taki, że
∂f
∂x
i
|P
0
= 0 dla i = 1, . . . n nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f .
Tw. (WW istnienia ekstremum dla n = 2) Jeżeli funkcja f jest klasy C
2
(Q(x
0
, y
0
); r) oraz
1.
∂f
∂x
|(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
|(x
0
, y
0
) = 0,
2. W (x
0
, y
0
) =
∂
2
f
∂x
2
∂
2
f
∂y∂x
∂
2
f
∂x∂y
∂
2
f
∂y
2
|(x
0
,y
0
)
> 0
to funkcja f ma w punkcie W (x
0
, y
0
) ekstremum właściwe: maksimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
|(x
0
, y
0
) < 0;
minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
|(x
0
, y
0
) > 0.
Uwaga 6. Jeśli spełnione są dwa pierwsze założenia poprzedniego tw., ale W (x
0
, y
0
) < 0, to w
punkcie W (x
0
, y
0
) funkcja f nie ma ekstremum.
Pochodne funkcji złożonych
Niech D
1
⊂ R
m
, D
2
⊂ R
n
n, m ∈ N; oraz określone są funkcje: x : D
1
→ D
2
, f : D
2
→ R.
1. n = m = 1 , f (x(t)) – funkcja jednej zmiennej i (f (x(t)))
0
= f
0
(x(t)) · x
0
(t);
2. n 1, m = 1 , f (x
1
(t), . . . , x
n
(t)) – funkcja jednej zmiennej;
3. n = 1, m 2 , f (x(t
1
, . . . , t
m
)) – funkcja m zmiennych;
2
4. n 2, m 2 , f (x
1
(t
1
, . . . , t
m
), . . . , x
n
(t
1
, . . . , t
m
)) – funkcja m zmiennych.
Tw.1 Jeżeli funkcja f (x
1
, . . . , x
n
) jest klasy C
1
(D
2
) oraz funkcje x
1
(t), . . . , x
n
(t) posiadają w
przedziale (α; β) pochodne x
0
1
(t), . . . , x
0
n
(t), to funkcja złożona z(t)
df
= f (x
1
(t), . . . , x
n
(t)) posiada
pochodną z
0
(t) w przedziale (α; β) i zachodzi równość
z
0
(t) =
∂f
∂x
1
· x
0
1
(t) + · · · +
∂f
∂x
n
· x
0
n
(t)
Tw.2 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f (x) jest klasy C
1
((α; β)) i
funkcja x(t
1
, . . . , t
m
) posiada pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D
1
, to funkcja złożona
z(t
1
, . . . , t
m
)
df
= f (x(t
1
, . . . , t
m
)) ma pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D
1
i prawdziwe są
wzory
∂z
∂t
i
= f
0
(x(t
1
, . . . , t
m
)) ·
∂x
∂t
i
,
i = 1, . . . , m
Tw.3 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f (x
1
, . . . , x
n
) jest klasy C
1
(D
2
)
i funkcje x
1
(t
1
, . . . , t
m
), . . . , x
n
(t
1
, . . . , t
m
) posiadają pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D
1
,
to funkcja złożona z(t
1
, . . . , t
m
)
df
= f (x
1
(t
1
, . . . , t
m
), . . . , x
n
(t
1
, . . . , t
m
)) posiada pochodne cząst-
kowe I rzędu w obszarze D
1
i prawdziwe są wzory
∂z
∂t
i
=
∂f
∂x
1
·
∂x
1
∂t
i
+ · · · +
∂f
∂x
n
·
∂x
n
∂t
i
, i = 1, . . . , m
3