2
OBIEKT RZECZYWISTY -
fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.
BADANIA OPERACYJNE –
„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY
-
fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.
BADANIA OPERACYJNE –
„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY
-
fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.
BADANIA OPERACYJNE –
„badanie procesów zamiIEKT RZECZYWISTY
-
fragment rzeczywisto ci, którym zainteresowany jest cz owiek w
konkretnej sytuacji.
BADANIA OPERACYJNE –
6
PRZYK AD:
prosty model ruchu pojazdu
Chcemy
formalnie
opisa prosty model ruchu pojazdu. Z
fizyki elementarnej wiemy, e przebyta przez pojazd
( ) droga jest
wprost proporcjonalna do pr dko ci pojazdu i czasu
jaki z t
pr dko ci si porusza (przy za o eniu ruchu jednostajnego). Z
kolei
(2) przyspieszenie
pojazdu jest
wprost proporcjonalne do
pr dko ci
z jak si pojazd porusza i
odwrotnie proporcjonalne
do czasu
.
Mamy wi c nast puj ce
cechy
modelu:
symbol zbiór
warto ci
. droga przebyta przez pojazd
s
{ }
0
∪
+
R
2. pr dko pojazdu
v
{ }
0
∪
+
R
3. przyspieszenie pojazdu
a
{ }
0
∪
+
R
4. czas ruchu
t
+
R
Zwi zki
modelu wyszczególnione s w opisie werbalnym.
Mamy:
{ }
{ }
{ }
{
}
+
+
+
+
∪
∪
∪
=
R
t,
,
0
R
a,
,
0
R
v,
,
0
R
s,
X
"
oraz:
(1)
{ }
(
)
{
}
z
x
y
:
R
0
R
z
y,
x,
R
t
s,
v,
2
1
1
⋅
=
×
∪
∈
=
=
+
+
X
(2)
{ }
(
)
=
×
∪
∈
=
=
+
+
z
y
x
:
R
0
R
z
y,
x,
t
v,
a,
2
2
2
R
X
Stąd:
{
}
2
2
1
1
,
2,
_
z
,
,
1,
_
z
R
X
R
X
R
=
"
gdzie:
z_1– symbol związku
(1),
z_2–symbol związku
(2).
7
KLASYFIKACJA MODELI MATEMATYCZNYCH
Zbiór cech
"
X
mo emy rozbi na trzy podzbiory cech:
III
II
I
X
X
X
X
∪
∪
=
"
∅
=
∩
=
∩
III
II
II
I
X
X
X
X
III
nz
III
roz
III
los
III
dec
III
X
X
X
X
X
∪
∪
∪
=
!"
model
BADAWCZY
(bez decyzji)
∅
=
∪
III
dec
I
X
X
•
deterministyczny:
∅
=
∪
∪
III
nz
III
roz
II
los
X
X
X
•
probabilistyczny:
∅
≠
∧
∅
=
∪
III
los
X
X
X
III
nz
III
roz
•
rozmyty:
∅
≠
∧
∅
=
∪
III
roz
III
nz
III
los
X
X
X
•
w warunkach nieokre lono ci:
∅
≠
∧
∅
=
∪
III
nz
III
roz
III
los
X
X
X
•
mieszany
!"
model
STRATEGICZNY
(co najmniej dwie strony podejmuj decyzje)
∅
≠
∩
III
dec
I
X
X
•
deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach
nieokreśloności, mieszany (j/w)
!"
model
OPTYMALIZACYJNY
(jedna strona podejmuje decyzje)
∅
=
∧
∅
≠
III
dec
I
X
X
•
deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach
nieokreśloności, mieszany (j/w)
Decydent ma wpływ Decydent zna wartości Decydent nie zna wart.
Wp ywaj inni
decydenci
Zmienne losowe
o znanych
rozk adach
Zmienne rozmyte
o znanej
„rozmyto ci”
Zmienne
nieznane
8
MODEL OPTYMALIZACYJNY
mo na zapisa jako:
R
X
X
X
X
X
"
;
;
III
nz
III
roz
III
los
II
I
∪
∪
∪
inne
∪
∪
I
wsk
I
dec
X
X
X
dane
– zbiór danych
MODEL OPTYMALIZACYJNY W POSTACI DOGODNEJ
DO SFORMU OWANIA ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO
( )
{ }
( )
{
}
( )
{ }
A
A
A
W
A
∈
Ω
∈
∈
∈
Ω
a
a
a
x
a
a
E
x
a
a
y
x
a
,
,
,
,
,
,
,
gdzie:
a, x, y – listy: danych, zmiennych decyzyjnych i wska ników;
A
≠≠≠≠
Ø – zbiór dopuszczalnych zestawów warto ci danych;
Ω
Ω
Ω
Ω
(a) – zbiór dopuszczalnych zestawów warto ci zmiennych
decyzyjnych przy zestawie warto ci danych a
∈
∈
∈
∈
A;
W(a,x) – zbiór mo liwych zestawów warto ci wska ników przy
zestawie warto ci zmiennych decyzyjnych x
∈
∈
∈
∈
Ω
Ω
Ω
Ω
(a), a
∈
∈
∈
∈
A;
E
a
– funkcja logiczna opisuj ca osi gni cie celu g ównego:
( ) { }
( )
=
→
0
1
1
,
0
:
y
E
a
E
a
a
Y
gdzie:
( )
( )
( )
{
}
a
x
x
a
y
a
Ω
∈
∈
=
:
,
W
Y
- jeżeli przy możliwym zestawie wartości
wskaźników y cel został osiągnięty;
- w przeciwnym przypadku.
Zbiór
zmiennych
decyzyjnych
Zbiór wska ników
(stopnia osi gni cia celu
)
9
SFORMU OWANIE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO
Dla danych
a
∈
∈
∈
∈
A
wyznaczy
x
*
∈
∈
∈
∈Ω
Ω
Ω
Ω
(a)
tak, aby
( )
( )
1
y
E
a
*
x
a,
y
=
∧
∈
W
PRZYK AD:
model optymalizacyjny + zadanie optymalizacji
Niech
a =
〈
a
1
, a
2
〉
A
=
{〈
a
1
, a
2
〉
∈
R
×
R : a
1
= 1
∧
a
2
= 2
}
Ω
(a) =
{
x
∈
R : a
1
≤
x
≤
a
2
}
=
{
x
∈
R : 1
≤
x
≤
2
}
W
(a,x) =
{
y
∈
R : y=-x
2
+3
}
( )
( )
( )
{
}
{
}
2
1
:
3
:
,
2
≤
≤
+
−
=
=
Ω
∈
∈
=
x
x
y
a
x
x
a
y
a
W
Y
( )
(
)
+
−
≤
≤
=
⇔
=
3
2
1
1
2
x
x
y
y
E
a
max
-1
1
2
3
4
5
x
-1
1
2
3
4
5
f
<
x
>
3
-
x^2
y(x*)
x*
Ω
(a)
Rozwiązanie zadania
optymalizacyjnego dla
powyższego modelu jest
równe x
*
=1 a wartość funkcji y
dla x
*
jest równa y(x
*
)=2.
Gdyby pominąć warunek
x
*
∈
Ω
(a) wówczas
rozwiązaniem byłoby x
*
=0 i
odpowiadające mu y(x
*
)=3, ale
wówczas
zaproponowaliby my
podj cie decyzji
niedopuszczalnej
(bo x = 0
∉
Ω(a))!!!!!
10
Zadanie optymalizacyjne sformu owane poprzednio (w ramce)
jest postaci ogóln formu owania zadania optymalizacyjnego.
Najcz ciej mamy do czynienia z sytuacj , gdy:
!"
zbiór W(a,x) dla wszystkich a
∈
∈
∈
∈
A i x
∈
∈
∈
∈Ω
Ω
Ω
Ω
(a) jest
jednoelementowy, a jego elementem jest liczba y;
!"
cel g ówny zostanie osi gni ty, gdy decyzji odpowiada
b dzie ekstremalna warto wska nika.
W takich przypadkach
zadanie optymalizacyjne
formu ujemy
nast puj co
:
Dla danych:
a
∈
∈
∈
∈
A
wyznaczy :
x
*
∈
∈
∈
∈
(a) (lub krócej x
*
∈
∈
∈
∈
)
tak, aby:
( )
( )
( )
x
a
f
a
x
x
a
f
,
,
*
Ω
∈
=
extr
gdzie:
( )
*
, x
a
f
=
(tu występuje określenie
funkcji f, tzw. funkcji celu).
symbol
extr
oznacza jeden z symboli: sup, inf,
min, max
PRZYK AD: (nawi zanie do przyk adu poprzedniego)
Zadanie optymalizacyjne dla przyk adu poprzedniego
mo emy sformu owa nast puj co:
dla danych:
a
=
〈〈〈〈
a , a
2
〉〉〉〉
∈
∈
∈
∈
A
wyznaczy :
x
*
∈
∈
∈
∈
(a) =
[[[[
,2
]]]]
tak, aby:
( )
( )
[ ]
( )
x
a
f
x
a
f
a
x
,
,
2
,
1
*
=
Ω
∈
=
max
gdzie
( )
3
,
2
+
−
=
x
x
a
f
.
11
PRZYK AD MODELU MATEMATYCZNEGO
DLA PROBLEMU PRAKTYCZNEGO
1) Werbalny opis problemu
Pewien
zakład produkuje dwa typy wyrobów: typ A i typ B. Na
wyprodukowanie wyrobu typu A potrzeba m
A
jednostek materiału a
na wyprodukowanie wyrobu typu B potrzeba m
B
jednostek materiału.
Zakład ma w magazynie M jednostek materiału. Czas potrzebny na
wyprodukowanie wyrobu typu A oszacowano na t
A
jednostek czasu a
wyrobu typu B - na t
B
jednostek czasu. Łączny czas jaki zakład może
przeznaczyć na produkcję wynosi T jednostek czasu. Dział
marketingu oszacował również, że popyt na wyrób typu A wyniesie
nie więcej niż p
A
jednostek natomiast na wyrób typu B - nie mniej niż
p
B
jednostek. Cenę jednostkową sprzedaży dla wyrobu A oszacowano
na c
A
natomiast jednostki wyrobu B - na c
B
. Ponadto koszty produkcji
jednostki wyrobu typu A wynoszą k
A
natomiast jednostki wyrobu typu
B - k
B
.
Zbudować model matematyczny do rozpatrywanego zagadnienia oraz
sformułować na jego podstawie zadanie optymalizacyjne wyznaczenia
ilości produkowanych wyrobów obu typów tak, aby przewidywany
zysk zakładu był jak największy.
2) Cechy wyodrębnione w modelu
m
A
- ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;
m
B
- ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;
M
- zapas materiału znajdujący się w magazynach zakładu;
t
A
- ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;
t
B
- ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;
T
- ilość czasu jaką zakład może przeznaczyć na produkcję;
p
A
- górna granica zapotrzebowania na wyrób typu A;
p
B
- dolna granica zapotrzebowania na wyrób typu B;
c
A
- cena sprzedaży wyrobu typu A;
c
B
- cena sprzedaży wyrobu typu B;
k
A
- koszt produkcji wyrobu typu A;
k
B
- koszt produkcji wyrobu typu B;
x
1
- zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu A;
x
2
- zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu B;
y
- zysk zakładu odpowiadający produkcji określonej ilości
wyrobów typu A i B;
12
3) Zakres zmienności cech
y
∈
R
- zysk zakładu (ujemny interpretujemy jako straty);
x
1
, x
2
∈
N
;
m
A
, m
B
, M, t
A
, t
B
, T , p
A
, p
B
, c
A
, c
B
, k
A
, k
B
∈
R
+
4) Wyodrębnienie związków
•
m
A
x
1
+ m
B
x
2
<= M
łą
czna ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie x
1
sztuk wyrobu A
oraz x
2
sztuk wyrobu typu B nie może być większa niż zapas materiału M w
magazynie ;
•
t
A
x
1
+ t
B
x
2
<= T
suma
ilości czasu potrzebnego na wyprodukowanie x
1
sztuk wyrobu A i x
2
sztuk wyrobu B nie może być większa niż łączny zasób czasu T jaki zakład
może przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że w danej chwili może być
produkowany tylko jeden wyrób);
lub
•
max
{t
A
x
1,
t
B
x
2
} <= T
czas potrzebny na wyprodukowanie x
1
sztuk wyrobu A i x
2
sztuk
wyrobu B nie może być większy niż łączny zasób czasu T jaki zakład może
przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że oba wyroby mogą być
produkowane jednocześnie);
•
x
1
<= p
A
ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu A nie może być większa niż
szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku p
A
;
•
x
2
>= p
B
ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu B nie może być mniejsza
niż szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku p
B
;
•
y = (c
A
-k
A
)x
1
+ (c
B
-k
B
)x
2
zysk
zakładu z wyprodukowania x
1
sztuk wyrobu typu A i x
2
sztuk
wyrobu typu B;
13
5) Analiza poprawności modelu
a) istotność cech
Każda z wybranych cech występuje w przynajmniej jednym
związku;
b) istotność związków
Ż
aden związek nie wynika jednoznacznie z innego, dlatego
wszystkie związki są istotne (w praktyce ten postulat jesteśmy w
stanie sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości
parametrów z listy danych a);
c) spójność modelu
Wszystkie
wyróżnione cechy łączą się ze sobą pośrednio lub
bezpośrednio, np. cecha x
1
łączy się w sposób bezpośredni z cechami
m
A
, t
A
, p
A
, c
A
, k
A
i pośrednio z pozostałymi cechami.
d) niesprzeczność modelu
Nie
występują związki, z których analizy można by dojść do
sprzecznych wniosków (w praktyce ten postulat jesteśmy w stanie
sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości parametrów
z listy danych a).
6) Klasyfikacja cech
X
dane
={m
A
, m
B
, M, t
A
, t
B
, T , p
A
, p
B
, c
A
, c
B
, k
A
, k
B
}- dane znane ;
}
,
{
2
1
x
x
X
I
dec
=
-
zmienne decyzyjne;
}
{y
X
I
wsk
=
- wskaźnik;
Lista
danych :
k
,
k
,
c
,
c
,
p
,
p
,
T
,
t
,
t
M,
,
m
,
m
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
=
a
A
=
{
}
12
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
k
,
k
,
c
,
c
,
p
,
p
,
T
,
t
,
t
M,
,
m
,
m
+
∈
R
14
Lista zmiennych decyzyjnych :
2
1
, x
x
x
=
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych :
≥
≤
≤
+
≤
+
×
∈
=
Ω
B
A
B
B
p
x
p
x
T
x
t
x
t
M
x
m
x
m
N
N
x
x
a
2
1
2
1
A
2
1
A
2
1
:
,
)
(
Wskaźnik (lista wskaźników jest jednoelementowa):
W
)
,
( x
a
={f(a,x)=y
∈
R : y = (c
A
-k
A
)x
1
+ (c
B
-k
B
)x
2
}
( ) {
}
)
(
:
)
(
)
(
2
1
a
x
x
k
c
x
k
c
y
a
B
B
A
A
Ω
∈
−
+
−
=
=
Y
Funkcja oceny osiągnięcia celu
(może być, ale nie musi w tak formułow. zad.)
( )
=
=
Ω
∈
przypadku
przeciwnym
w
,
0
x)
f(a,
max
y
gdy
,
1
)
(a
x
a
y
E
7) Zadanie optymalizacyjne
Dla danego a
∈
∈
∈
∈
A
wyznaczy x
*
∈
∈
∈
∈
Ω
Ω
Ω
Ω
(a)
tak,
aby
:
f (a,x
*
) = max f (a,x)
x
∈
∈
∈
∈Ω
Ω
Ω
Ω
(a)
gdzie :
f
(a,x)
=
(c
A
-k
A
)x
1
+ (c
B
-k
B
)x
2
15
PROBLEMY DOTYCZ CE KONSTRUOWANIA
MODELI OPTYMALIZACYJNYCH
!"
zapewnienie istnienia x
*
dla ka dego a,
!"
zbiór W(a, x) mo e by wieloelementowy,
!"
element zbioru W(a, x) mo e nie by liczb (a np. zmienn
losow , wektorem, zbiorem itp.),
!"
du a z o ono obliczeniowa skonstruowanego zadania
optymalizacyjnego,
!"
inne.
METODY OPISU FUNKCJI OSI GNI CIA CELU
Za o enie:
W(a, x) – jednoelementowy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x)
Przypadki mo liwych rodzajów w
∈
∈
∈
∈
W(a, x):
!"
liczba,
!"
wektor,
!"
zmienna losowa,
!"
zbiór rozmyty,
!"
zbiór liczbowy,
!"
inne.
∗
Przypadek, gdy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x) jest
liczb :
( )
( )
=
=
p.p.
w
0
max
gdy
1
a
w
w
E
a
Y
16
∗
Przypadek, gdy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x) jest
wektorem:
I.
pe ne przedstawienie skutków (tabele porówna ),
II.
optymalizacja wielokryterialna,
III.
funkcja „wa ona”,
IV.
warto ci dopuszczalne,
V.
porz dek leksykograficzny (nadawanie kryteriom
priorytetów),
VI.
synteza logiczna,
VII.
uogólniona synteza logiczna.
Ad. II. (
optymalizacja wielokryterialna
)
Stosowanie tzw. rozwi za dominuj cych, niezdominowanych i
kompromisowych.
Zadanie:
Zadanie:
oraz
y
y
1
max
2
max
oraz
y
y
1
max
2
max
Y
y
1
y
2
y* (punkt idealny)
A
B
Y
y
1
y
2
y* (wynik dominuj¹cy)
Y
y
∉
*
AB
-zbiór wyników
niezdominowanych, bo
(
)
B
A
y
y
y
y
z
n
n
n
Y
z
,
,
,
2
,
1
:
~
2
1
∈
=
≥
=
∀
∃
∈
Y
y
y
y
∈
=
*
2
*
1
*
,
- wynik
dominujący
bo
n
n
z
y
n
Y
z
≥
=
∀
∈
∀
*
2
,
1
17
Ad. III. (
funkcja „wa ona”,
)
∑
=
⋅
=
S
j
j
j
W
w
1
λ
gdzie:
W
j
– j – ta sk adowa wektora W;
j
– „waga” j – tej sk adowej wektora W;
S – liczba sk adowych wektora W;
Ad. IV. (
kryterium
warto ci dopuszczalnych)
=
≥
=
p.p.
w
0
,
1
,
gdy
1
0
S
j
W
W
w
j
j
gdzie:
0
j
W
- pewna ustalona krytyczna warto j – tej
sk adowej wektora W.
Ad. V. (
porz dek leksykograficzny)
W przypadku zadania:
oraz
y
y
1
max
2
max
−
y
*
jest rozwi zaniem zadania przy
kolejno ci priorytetów dla kryteriów
„najpierw y , pó niej y
2
”;
−
y
**
jest rozwi zaniem zadania przy
kolejno ci priorytetów dla kryteriów
„najpierw y
2
, pó niej y ”;
Ad. VI. (
synteza logiczna
)
a)
∏
=
=
S
j
j
W
w
1
c)
w= -W
j
b)
(
)
∏
=
−
−
=
S
j
j
W
w
1
1
1
d)
mieszane
Y
y
1
y
2
y**
y*
18
Ad. VII. (
uogólniona synteza logiczna)
!"
j
j
W
S
j
w
⋅
=
=
λ
,1
min
!"
j
j
W
S
j
w
⋅
=
=
λ
,
1
max
!"
j
W
w
−
=
!"
mieszane
∗
Przypadek, gdy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x) jest
zmienn losow :
!"
warto oczekiwana
( )
[ ]
[ ]
∈
=
=
p.p.
w
0
gdy
1
W
E
a
W
W
E
W
E
a
Y
max
W
1
f
1
(x)
f
2
(x)
0
W
2
E
1
E
2
Wykres g sto ci rozk adu prawdopodobie stwa dla dwóch
zmiennych losowych W i W
2
19
Zgodnie z kryterium maksymalizacji warto ci oczekiwanej
wybierzemy zmienn losow W
, bo jej warto oczekiwana E
jest wi ksza ni warto oczekiwana E
2
dla W
2
, ale:
•
z prawdopodobie stwem 0 zmienna losowa W przyjmuje
warto z do du ego otoczenia swojej warto ci oczekiwanej
E
1
;
•
efekty decyzji z jednakowym prawdopodobie stwem b d
albo bardzo korzystne albo bardzo niekorzystne dla W ;
!"
kwantyle (
Pr
{{{{
W < w
p
}}}}
= p
)
( )
∈
=
=
p.p.
w
0
max
gdy
1
p
p
a
w
a
W
W
W
E
Y
!"
wariancja
[ ]
[ ]
∈
=
=
0
gdy
1
2
2
W
D
a
W
W
D
E
a
Y
min
!"
inne charakterystyki (np. synteza warto ci oczekiwanej i
wariancji)
20
∗
Przypadek, gdy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x) jest
zbiorem rozmytym:
Podej cie wg Bellmana, Zadeha
( ) ( )
a
a Y
A
"
"
"
,
,
Ω
–
nierozmyte
zbiory warto ci danych, zmiennych
decyzyjnych i wska ników;
( ) ( )
a
a Y
,
Ω
–
rozmyte
zbiory wartości zmiennych decyzyjnych i
wskaźników;
Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej:
( )
( )
a
a
h
a
Y
"
"
→
Ω
;
Wska nik liczbowy (funkcja przynale no ci do przeci cia zbiorów
rozmytych zmiennych decyzyjnych i wska ników):
( )
( )
( )
( )
{
}
x
h
f
x
g
x
a
a
a
x
o
,
min
max
*
)
(
Ω
∈
=
µ
→
→
→
→
max
gdzie: g
a
, f
a
-
funkcje przynale no ci elementów do zbiorów
(a), Y(a).
PRZYK AD:
Spo ród ma o licznych grup pracowników chcemy wybra grup
du ej wydajno ci.
Nr grupy
2 3 4
Liczno
3 2 5
Wydajno h
a
30 5 2 7
Przypadek, gdy
W
∈
W(a, x) jest
zbiorem liczbowym
:
x
2 3 4
g
a
(x)
9/ 0 /7
h
a
(x)
30
5
2 7
f
a
(h
a
(x)) /3 /8 0 0
μ(x)
/3 /8 0 0
( ) {
}
( ) {
}
30
,
15
,
12
,
7
,
4
,
3
,
2
,1
=
=
Ω
a
a
Y
"
"
Niech zbiór rozmyty „ma ych
liczno ci grup” ma posta :
7
1
/
5
,
2
1
/
4
,
10
9
/
3
,
1
/
2
,
1
/
1
a zbiór rozmyty „du ych wydajno ci”:
3
1
/
30
,
8
1
/
15
,
0
/
12
,
10
/
7
.
St d rozmyty zbiór dopuszczalnych
decyzji jest nast puj cy:
7
1
/
4
,
1
/
3
,
10
9
/
2
,
1
/
1
max = /3. Odpowiada to decyzji nr
21
∗
Przypadek, gdy
w
∈
∈
∈
∈
W(a, x) jest
zbiorem liczbowym:
!"
kryterium pesymisty (Walda):
( )
( )
( )
=
Ω
∈
p.p.
w
0
,
gdy
1
x
a
W
W
E
a
x
a
min
max
sytuacja
decyzja
zapyta
nie
zapyta
1.
uczyć się 10 -10
2.
nie uczyć
się
-5 0
!"
kryterium optymisty:
( )
( )
Ω
∈
=
=
p.p.
w
0
,
max
max
max
gdy
1
x
a
W
a
x
W
W
E
a
Decyzja:
uczy si , bo:
max {max{ 0, - 0} , max{-5, 0}} = max { 0, 0} =
0
odpowiada decyzji nr
!"
kryterium Hurwicza:
– wspó czynnik optymizmu
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
[
]
−
+
Ω
∈
=
=
−
+
=
p.p.
w
0
,
min
1
,
max
max
min
1
max
gdy
1
x
a
W
x
a
W
a
x
W
W
W
E
a
α
α
α
α
Mo na pokaza , e dla danych z powy szej tabeli:
nie
uczy si <
3
1
=
qr
α
< uczy si
Decyzja:
nie uczy si bo:
max {min
{{{{
0,- 0
}}}}
; min
{{{{
-5,0
}}}}}}}}
=
= max
{{{{
- 0, -5
}}}}
=
-5
odpowiada
decyzji nr 2
22
!"
kryterium alu (Savage’a)
Rozumowanie decydenta:
Gdybym
zna
b, to podj bym decyzj x
*
, tak e:
(
)
( )
(
)
b
a
x
w
a
x
b
a
x
w
,
,
,
,
*
Ω
∈
=
max
ale poniewa
nie zna em
b i podj em decyzj x, wi c mój „ al”
z tego powodu wynosi:
(
)
(
)
b
a
x
w
b
a
x
w
b
a
x
s
w
,
,
,
,
,
,
*
−
=
Dla w
s
stosuje si kryterium pesymisty.
0
0
- 0
0
-5
5
0
0
wskaźnik
decyzja
dane
sytuacja
w ( x, a, b )
Poniewa interesuje nas to, aby al by
jak najmniejszy, wi c nasz decyzj
b dzie decyzja nr , tzn. uczy si , bo
max {
0
,
0
} < max {
5
,
0
}.
23
PRZYK AD
Podejmujemy
decyzj , czy i do kina, teatru, czy muzeum.
Mo emy trafi na dobry film lub spektakl, albo te s aby. Nie
wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.
„ al” odpowiadaj cy powy szym sytuacjom przedstawiaj
tabelki:
Muzeum zamkni te
Muzeum otwarte
dobry
s aby
dobry s aby
Film 20
4
Film 20
4
Spektakl
3
0
Spektakl 3
0
Wystawa 0 0
Wystawa 2
2
max 20
0
max
20
2
max
max
0 6 6
0 8 8
7 0 7
7 2 7
20
0 20
Je eli muzeum jest zamkni te,
to idziemy do kina, w p.p. – do
teatru ?!!!!
8 0 8
24
MODELE SYMULACYJNE
!"
„pozwalaj na drodze opisów matematycznych „na ladowa ”
zachowanie si obiektu obserwowanego z punktu widzenia
okre lonego problemu”
!"
s to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych
X
(tzw. opisowych) dzieli si na 3 roz czne podzbiory:
•
zmiennych wej ciowych (ich warto ci s ustalone niezale nie
od zachowania si obiektu rzeczywistego);
X
we
;
•
zmiennych stanu (ich warto ci opisuj wybrane cechy obiektu
zmieniaj ce si w czasie);
X
st
,
X
wy
;
•
podzbiór jednoelementowy opisuj cy czas:
{ }
st
wy
st
we
st
we
T
t,
X
X
X
X
X
X
X
⊂
∅
=
∩
∪
∪
=
"
Zbiory dopuszczalnych zestawów warto ci, odpowiednio:
zmiennych wej ciowych
we
X
, zmiennych stanu
st
X
oraz
zmiennych wyj ciowych
wy
X
, mog by funkcjami czasu
okre lonymi w zbiorze
R
"
.
W modelach symulacyjnych definiuje si dwie funkcje:
•
przej cia stanu ,
•
wyj ciow .
T
T
T
st
We
st
×
→
×
×
×
X
X
X
:
δ
Warto
(x, y, t, h)
jest zestawem warto ci zmiennych stanu
chwili t+h.
T
T
wy
we
st
×
→
×
×
X
X
X
:
λ
Warto
(x, y, t)
jest zestawem warto ci zmiennych wyj ciowych
w chwili t.