Sławomir Kulesza

slawek.kulesza@gmail.com

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (4)

Wykład dla studentów I roku (N)SMU WMiI

Specjalność: Techniki multimedialne

Układy czasu dyskretnego – filtry cyfrowe

Zadaniem  układów   czasu   dyskretnego  (Discrete-Time   Systems   –   DTS)   jest 

przetworzenie danego ciągu wejściowego x[n] na odpowiedni ciąg wyjściowy y[n]. 

Układ realizujący taką operację (przekształcenie T) może być zarówno układem 

sprzętowym, jak i algorytmem programowym:

y [n]≡T  x [n]

W praktyce DSP wszystkie sygnały są cyfrowe, więc operacje na nich również 

dają   sygnały   cyfrowe.   Układy   realizujące   operacje   na   sygnałach   cyfrowych 

nazywa się filtrami cyfrowymi.

Charakterystyka wejściowo-wyjściowa DTS

Charakterystyka wejściowo-wyjściowa układów czasu dyskretnego zawiera jawną 

matematyczną definicję zależności pomiędzy ciągiem wejściowym (pobudzeniem 

układu)   a   wyjściowym   (odpowiedzią  układu).   Pomija   się   przy   tym   całkowicie 

wewnętrzną   strukturę   układu,   co   powoduje,   że   stanowi   on   dla   użytkownika 

'czarną skrzynkę'.

Przykłady charakterystyk I/O układów czasu dyskretnego

Znając pobudzenie x[n] postaci:

x [n]=

{

∣

n∣⇔∣n∣≤3
0⇔∣n∣3

}

Wyznacz odpowiedź następujących układów czasu dyskretnego:

–

y[n] = x[n] – układ tożsamościowy,

–

y[n] = x[n-1] – układ opóźniający,

–

y[n] = x[n+1] – układ przyspieszający,

–

y[n] = (x[n-1] + x[n] + x[n+1])/3 – układ uśredniający,

–

y[n] = max(x[n-1], x[n], x[n+1]) – dyskryminator (selektor),

–

y [n]=

∑

k =−∞

n

x [n]=x [n]x [n−1]x [n−2]... – akumulator.

Reprezentacja blokowa układów czasu dyskretnego

Diagram   blokowy   układu   czasu   dyskretnego   zawiera   elementarne   bloki 

funkcjonalne połączone siecią zależności odpowiednio do wykonywanej operacji.

Do bloków elementarnych zalicza się:

–

sumator,

–

wzmacniacz,

–

układ mnożący (modulator),

–

układ opóźniający,

–

układ przyspieszający,

–

rozdzielacz.

Sumator

Sumator realizuje operację dodawania dwóch ciągów:

y [n]= x

1

[

n]x

2

[

n]

Ponieważ   do   przeprowadzenia   tej   operacji   wymagane   są   wyłącznie   bieżące 

próbki ciągów, układ jest bezpamięciowy.

Zastosowania sumatora – odszumianie sygnału

Jednym z najprostszych zastosowań sumatora jest odszumianie sygnału metodą 

wielokrotnego uśredniania. Wykorzystuje się przy tym fakt, iż przy wielokrotnych 

pomiarach   tego   samego   sygnału,   sygnał   użyteczny   nie   zmienia   się   w   czasie, 

podczas   gdy  sygnał   szumu  ulega   losowym   fluktuacjom   i  jego  średnia   wartość 

w długim czasie wynosi 0.

Wzmacniacz

Wzmacniacz   jest   bezpamięciowym   układem   realizującym   operację   skalowania 

wartości próbek o stały czynnik a:

y [n]=a⋅x [n]

Układ mnożący (modulator)

Bezpamięciowy   układ   realizujący   operację   mnożenia   wartości   próbek   ciągów 

wejściowych:

y [n]=x

1

[

n]⋅x

2

[

n]

Zastosowania układu mnożącego – okienkowanie sygnału

Układy   mnożące   wykorzystuje   się   m.in.   do   tworzenia   skończonych   ciągów 

sygnałów z ciągów nieskończonych na drodze mnożenia tych ostatnich przez ciąg 

nazywany   funkcją   okna.   Proces   ten,   zwany  okienkowaniem   (windowing), 

odgrywa istotną rolę przy projektowaniu pewnych typów filtrów cyfrowych.

Zastosowania układu mnożącego – modulacja AM

Układ mnożący dwa wejściowe ciągi sinusoidalne wytwarza ciąg y[n] taki, że:

y [n]= x

1

[

n]⋅x

2

[

n]=cos2⋅⋅f

1

⋅

n⋅cos2⋅⋅f

2

⋅

n=...

...

1
2

cos2⋅⋅ f

1



f

2

⋅

n

1

2

cos2⋅⋅ f

1

−

f

2

⋅

n

Układ opóźniający

Układ   z   pamięcią   (rejestrem   przesuwającym),   który   opóźnia   ciąg   wejściowy 

o jedną próbkę, tzn.: y [n] = x [n-1].

Układ przyspieszający

Układ z pamięcią (rejestrem przesuwającym), który przyspiesza ciąg wejściowy 

o jedną próbkę, tzn.: y [n] = x [n+1].

Przyspieszenie sygnału w czasie oznacza w istocie wcześniejsze zapisanie go 

w całości i przywoływanie z pamięci w celu wykonania operacji.

Zastosowania układów przesuwających – filtry biegnące

W   przypadkach,   gdy   w   celu   wyeliminowania   szumów   nie   można   wielokrotnie 

powtarzać   pomiarów,   do   wygładzania   przebiegów   stosuje   się   filtry   biegnące, 

których zadaniem jest uśrednianie wartości M-sąsiednich próbek sygnału:

y [n]=

1

M

∑

k=0

M

x [n−k ]

Wygładzenie przebiegu zaszumionego 

po zastosowaniu 5-punktowego filtru 

biegnącego z układami 

przesuwającymi.

Ex.: Zbudować diagram blokowy układu czasu dyskretnego opisanego relacją:

y [n]=

1
4

y [n−1]

1
2

x [n]

1
2

x [n−1]

Klasyfikacja układów czasu dyskretnego

Do analizy i projektowania układów przetwarzania sygnału przydatny jest wstępny 

podział   według   ogólnych   własności,   jakie   te   układy   wykazują,   bowiem   silnie 

rzutuje to na metody ich modelowania matematycznego.

W dalszym ciągu analizowane będą wyłącznie układu, których charakterystyki nie 

zależą   od   wyboru   sygnału   wejściowego.   Wystarczy   zatem,   że   dana   własność 

układu nie jest spełniona dla pewnego sygnału, aby twierdzić, że układ ten nie 

posiada tejże własności.

Układy statyczne i dynamiczne

Układ   czasu   dyskretnego   nazywany   jest  statycznym  (bezpamięciowym),   jeśli 

wartość   dowolnej   próbki   n   sygnału   wyjściowego   zależy   wyłącznie   od   wartości 

próbki sygnału wejściowego o tym samym indeksie:

y [n]=T n , x [n]

Układy statyczne nie wymagają zatem elementów opóźniających.

Z drugiej strony, układ jest dynamiczny (z pamięcią), jeśli stan jego wyjścia 

w chwili n jest całkowicie opisany przez próbki sygnału wejściowego z przedziału 

(n-N, n):

y [n]=T n , x n−N  , x n−N 1 ,... x n , N ≥0

Wartość N określa wielkość pamięci:

–

jeśli

0≤ N ∞

, to układ posiada skończoną pamięć o rozmiarze N,

–

jeśli

N =∞

, to układ posiada pamięć nieskończoną.

Układy niezmiennicze względem czasu

Układ   jest  niezmienniczy   względem   czasu  (time-invariant   TI)  wtedy   i   tylko 

wtedy, gdy jego charakterystyka I/O nie zmienia się w czasie,  tzn. odpowiedź 

układu na określone pobudzenie nie zależy od przesunięcia sygnału wejściowego 

w czasie:

∀

k ∈ℤ

∀

{

x [n]}



y [n]=T  x [n]



⇒



y [n−k ]=T  x [n−k ]



Powyższa definicja specyfikuje test na niezmienniczość układu w czasie: 

obliczamy odpowiedź układu y[n,k] na pobudzenie przesunięte w czasie x[n-k], 

obliczamy przesuniętą odpowiedź y[n-k] i sprawdzamy, czy y[n,k] = y[n-k] dla 

wszystkich możliwych wartości k. Jeśli tak, układ jest niezmienniczy w czasie, jeśli 

nie – układ nie jest niezmienniczy (Time-Variant TV).

Przykłady układów TI oraz TV

(1) Układ różniczkujący:

Układ opisany jest równaniem:

y [n]=x [n]− x [n−1]

Jeśli sygnał wejściowy zostanie opóźniony o k-próbek, wówczas:

y [n , k ]=T  x [n−k ]=x [n−k ]−x [ n−k −1]

Z drugiej strony:

y [n−k ]=x [n−k ]− x [n−1−k ]=x [ n−k ]− x [n−k −1]= y [n , k ]

Układ jest więc niezmienniczy w czasie.

(2) Układ zawijający:

Układ opisany jest następującą relacją:

y [n]=T



x [n]



=

x [−n]

Odpowiedź układu na opóźnione pobudzenie x[n-k] wynosi:

y [n , k ]=T



x [n−k ]



=

x [−nk ]

Z drugiej strony, przesunięta odpowiedź ma postać:

y [n−k ]=x [−n−k ]≠ y [n , k ]

Układ nie jest więc niezmienniczy w czasie.

Układy liniowe i nieliniowe

Układy  liniowe  (Linear   Systems   –  LS)  stanowią   grupę   układów   spełniających 

zasadę superpozycji: kombinacja liniowa pobudzeń daje identyczną kombinację 

liniową odpowiedzi:

∀

a

1,

a

2

∈ℂ

∀

{

x

1

[

n]}, {x

2

[

n]}

T a

1

⋅

x

1

[

n]a

2

⋅

x

2

[

n]=a

1

⋅

T  x

1

[

n]a

2

⋅

T  x

2

[

n]

Układy nie spełniające powyższego warunku są układami nieliniowymi.

Konsekwencje liniowości układów

(1) Układy liniowe są skalowalne:

Jeśli a

2

 = 0, wówczas:

T a

1

⋅

x

1

[

n]=a

1

⋅

T  x

1

[

n]=a

1

⋅

y

1

[

n]

Wynika stąd, że dowolne przeskalowanie pobudzenia powoduje proporcjonalną 

zmianę odpowiedzi układu.

(2) Układy liniowe są addytywne:

Jeśli a

1

 = a

2

 = 1, wówczas:

T  x

1

[

n] x

2

[

n]=T  x

1

[

n]T  x

2

[

n]= y

1

[

n] y

2

[

n]

Liniowość układów sprawia, że odpowiedź na dowolne pobudzenie może

Liniowość układów sprawia, że odpowiedź na dowolne pobudzenie może

 

 

być wyznaczona na podstawie odpowiedzi na pewne sygnały standardowe

być wyznaczona na podstawie odpowiedzi na pewne sygnały standardowe

 

 

(impuls jednostkowy, skok itp.)

(impuls jednostkowy, skok itp.)

Przykłady układów liniowych i nieliniowych

(1) Dany jest układ opisany relacją:

y [n]= x [n

2

]

Dla dwóch dowolnych ciągów wejściowych x

1

[n] oraz x

2

[n], jak też dowolnych 

współczynników a

1

, a

2

 zachodzi:

T a

1

⋅

x

1

[

n]a

2

⋅

x

2

[

n]=a

1

⋅

x

1

[

n

2

]

a

2

⋅

x

2

[

n

2

]=

...

a

1

⋅

T  x

1

[

n]a

2

⋅

T  x

2

[

n]

Układ jest więc liniowy.

(2) Dany jest układ opisany relacją:

y [n]= x

2

[

n]

Zachodzi dla niego:

T a

1

⋅

x

1

[

n]a

2

⋅

x

2

[

n]=a

1

2

⋅

x

1

2

[

n]a

2

2

⋅

x

2

2

[

n]

a

1

⋅

T  x

1

[

n]a

2

⋅

T  x

2

[

n]=a

1

⋅

x

1

2

[

n]a

2

⋅

x

2

2

[

n]

Układ jest zatem nieliniowy.

Układy przyczynowe i nieprzyczynowe

Układ   nazywa   się  przyczynowym  (causal   system)   jeśli   jego   odpowiedź 

w dowolnej  chwili  czasu zależy wyłącznie od aktualnego i poprzednich stanów 

wejścia:

∀

{

x [n]}

y [n]=T  x n , x n−1 , x n−2 ,...

Ukłądy nie spełanijące powyższego warunku są układami nieprzyczynowymi 

(noncausal systems), których odpowiedź zależy nie tylko od aktualnego i 

przeszłego, ale również od przyszłego stanu wejścia.

Układów nieprzyczynowych nie można zrealizować jako układów czasu 

rzeczywistego – do przetwarzania przyszłych próbek sygnału należy 

zarejestrować uprzednio cały sygnał.

Układy stabilne i niestabilne

Stabilność układów jest cechą niezwykle ważną z punktu widzenia ich praktycznej 

przydatności.   Układy   niestabilne   wykazują   zachowania   niepożądane,   jak   np. 

generują znaczące błędy, gwałtownie reagują na niewielkie zmiany pobudzenia, 

czy też powodują przepełnienie zakresu przetwarzanych próbek.

Układ nazywa się stabilnym w sensie BIBO (Bounded Input – Bounded Output  

Stable   System),   wtedy   i   tylko   wtedy,   gdy   skończone   pobudzenie   generuje 

skończoną odpowiedź:

∀

n

∃

M

x

, M

y



{

x [n]}≤M

x

∞



⇒



{

y [n]}≤M

y

∞



Jeśli powyższy warunek nie jest spełniony, układ jest niestabilny (unstable 

system).

Ex.: Sprawdźmy stabilność układu nieliniowego opisanego zależnością:

y [n]= y

2

[

n−1] x [n]

Jako sygnał ograniczony wybierzmy:

x [n]=C⋅[n] ,C ∈ℤ ,∣C∣∞

Załóżmy ponadto, że:

y [−1]=0

Wówczas odpowiedź układu ma postać:

y [0]=C ,
y [1]=C

2,

y [2]=C

4,

y [n]=C

2⋅n

Układ jest stabilny w sensie BIBO, gdy 

∣

C∣≤1

, jeśli jednak 

∣

C∣1

 układ staje 

się niestabilny.

Łączenie układów

Układy   czasu   dyskretnego   można   łączyć   w   większe   bloki.   Istnieją   dwa 

podstawowe   sposoby   połączeń:   kaskadowe   (szeregowe)   oraz   równoległe, 

z których każdy daje w wyniku inną charakterystykę wypadkową układu.

(1) Połączenie szeregowe (kaskadowe):

Wypadkowa odpowiedź układów na pobudzenie x[n] wynosi:

y [n]=T

2



T

1



x [n]





Układy T

2

 oraz T

1

 mogą być zatem połączone w jeden układ T

s

:

T

s

=

T

2

⋅

T

1

Przemienność operacji kaskadowych

W ogólności, istotna jest kolejność kaskadowego łączenia układów, bowiem:

T

2

⋅

T

1

≠

T

1

⋅

T

2

Twierdzenie

Jeśli układy T

1

 oraz T

2

 są liniowe i niezmiennicze w czasie (Linear Time-Invariant 

– LTI), wówczas układ T

C

 jest niezmienniczy w czasie i przemienny:

T

2



T

1



x [ n−k ]=T

2



y

1

[

n−k ]= y [n−k ]

Przemienność układów LTI wynika z definicji ich odpowiedzi jako splotu 

pobudzenia i charakterystyki I/O.

(2) Połączenie równoległe:

Odpowiedź układu na pobudzenie x[n] ma postać:

y [n]=T

1



x [n]T

2



x [n]= y

1

[

n] y

2

[

n]=T

1



T

2



x [n]=T

p



x [n]

Możliwość łączenia układów pozwala konstruować układy złożone z bloków 

podstawowych, ale z drugiej strony – pozwala także dzielić układy złożone na 

prostsze funkcjonalnie bloki w celu ich późniejszej analizy.

Odpowiedź impulsowa i skokowa filtrów cyfrowych

Odpowiedzią   impulsową  filtru   cyfrowego   (impulse   response)   jest   odpowiedź 

tego filtru na pobudzenie impulsem jednostkowym:

h[n]=T [n]

Analogicznie, odpowiedzią skokową (step response) filtru cyfrowego jest ciąg 

będący odpowiedzią na pobudzenie skokiem jednostkowym:

s[n]=T [n]

Ex.: Znaleźć odpowiedź impulsową układu:

y [n]=a

1

⋅

x [n−1]a

2

⋅

x [n]

Odpowiedź impulsowa h[n] jest odpowiedzią na pobudzenie impulsem 

jednostkowym, tak więc:

h[n]=a

1

⋅[

n−1]a

2

⋅[

n]={a

1,

a

2

}

Analiza układów LTI czasu dyskretnego w dziedzinie czasu

Istnieją   dwie   podstawowe   metody   analizy   układów   LTI   czasu   dyskretnego 

w dziedzinie czasu:

–

poprzez   rozwiązanie  równania   różnicowego  opisującego   zależność 

wejściowo-wyjściową,

–

określenie   wypadkowej   odpowiedzi   układu   (splotu)   na   pobudzenie   będące 

kombinacją liniową sygnałów elementarnych

Konsekwencją   liniowości   i   niezmienniczości   w   czasie   układów   LTI   czasu

Konsekwencją   liniowości   i   niezmienniczości   w   czasie   układów   LTI   czasu

 

 

dyskretnego jest fakt, iż układy takie są w pełni opisywane poprzez podanie

dyskretnego jest fakt, iż układy takie są w pełni opisywane poprzez podanie

 

 

ich odpowiedzi impulsowej h[n].

ich odpowiedzi impulsowej h[n].

Dekompozycja sygnału

Niech x[n] będzie dowolnym ciągiem w przestrzeni H, zaś 

{

k

[

n]}={[ n−k ]}

- 

bazą tej przestrzeni. Sygnał x[n] daje się wówczas rozwinąć w bazie w postaci:

x [n]=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]

gdzie wartości x[k] stanowią wagi próbek ciągu.

Odpowiedź układu liniowego na dowolne pobudzenie

Oznaczmy odpowiedź układu liniowego na pobudzenie impulsem jednostkowym 

jako:

y [n , k ]=T [n−k ]≡h[n , k ]

Odpowiedź tego samego układu na dowolne pobudzenie będące kombinacją 

liniową impulsów jednostkowych wynosi:

y [n]=T



∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅[n−k ]



=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅T



[

n−k ]



=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅h[n , k ]

Powyższe wyrażenie jest prawdziwe dla dowolnego układu liniowego (zarówno 

TI, jak i TV).

Splot sygnałów

W przypadku układów LTI, odpowiedź na pobudzenie będące kombinacją 

przesuniętych impulsów jednostkowych upraszcza się do postaci:

y [n]=T 

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]=

∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅h[n−k ]= x [n]°h[n]

Powyższe wyrażenie określa się mianem splotu sygnałów (convolution sum).

Kolejność działań w przypadku obliczania splotu:

–

Zawijanie (folding) ciągu h[n] → h[-n],

–

Przesunięcie ciągu h[-n] o k-próbek → h[k-n],

–

Wymnożenie odpowiednich próbek ciągów x[n] oraz h[k-n] → x[n]∙h[k-n],

–

Wysumowanie wszystkich iloczynów x[n]∙h[k-n], aby otrzymać wartość splotu 

dla n

0

 = k → y[n

0

] = x[n]∙h[n

0 

–

 

n].