1 

MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ 

GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH 

 
 

Wyniki badań i pomiarów w geologii inŜynierskiej charakteryzują się 

rozrzutem wartości: 

 

Zmienność badanego ośrodka 

Dokładność metod badawczych 

- Sedymentologia 

- Sposób opróbowania 

- Tektonika 

- Sposób transportu i 

przechowywania próbek 

- Zjawiska geodynamiczne 

- Przygotowanie próbek do badań 

 

- Niedokładność metod 

badawczych 

 

- Błędy i zaokrąglenia wyników 

 

Celem  matematycznego  opracowania  wyników  badań  geologiczno-

inŜynierskich  jest  określenie  bezpiecznych  wartości  ocenianych  parametrów 

oraz określenie ich przedziałów zmienności. 

 

Prowadzona jest ocena parametrów (właściwości gruntów – np.: c, 

φ

, I

D

) 

w  populacji  (ośrodku  gruntowym)  na  podstawie  próby  statystycznej  (wyników 

badań na pobranych próbkach gruntów). 

 

Próba  statystyczna  –  wyniki  oznaczeń  danej  cechy  gruntu  określone  na 

wszystkich próbkach z danej warstwy geotechnicznej. 

 

Liczebność próby statystycznej: 

 

n  <30    – próba mała 

 

n =>30   – próba duŜa 

 

 

 

 

2 

CHARAKTERYSTYKA PRÓBY JEDNEJ ZMIENNEJ 

 

W kaŜdym z 10 otworów badawczych odwierconych na obszarze badań pobrano 

z  tej  samej  warstwy  geotechnicznej  po  3  próbki  gruntów  do  oceny  wilgotności 

naturalnej  Wn%.  Uzyskano  30  róŜnych  wartości  Wn%  -  jaka  wartość  Wn% 

najlepiej  charakteryzuje  stan  faktyczny?  Jaka  wartość  będzie  bezpieczną  z 

punktu widzenia przyszłego obiektu inŜynierskiego? 

 

 

WARTOŚĆ ŚREDNIA    wartość mianowana 

∑

=

⋅

=

n

i

i

x

n

X

1

1

 

 

 

HISTOGRAM I KRZYWA ROZKŁADU 

1.  Określenie  minimalnej  i  maksymalnej  wartości  wyników  oznaczeń,  podział 

tego zakresu na równe klasy 

2. Zliczenie ilości obserwacji mieszczących się w poszczególnych klasach 

 

n

i

 – liczebność obserwacji w klasach 

 

k

i

 – częstość obserwacji w klasach  

%

100

⋅

=

∑

i

i

i

n

n

k

 

Wartość cechy 

 

3 

3. Wykonanie rysunku – histogram i krzywa rozkładu 

 

4. Wstępna ocena rodzaju rozkładu w próbie statystycznej 

 

symetryczny 

 

 

modalny 

 

asymetryczny 

 

 

amodalny 

 

 

 

 

 

 

wielomodalny 

 

KRZYWA KUMULACYJNA 

Σ

n

i 

 - liczebność skumulowana 

Σ

k

i 

 - częstość skumulowana 

 

 

Σ

n

i

 

Σ

k

i

 

klasy 

n

i

 

k

i

 

 

4 

MEDIANA    Me    wartość mianowana 

Jeśli wyniki oznaczeń zostaną uporządkowane rosnąco lub malejąco, to wartość 

centralna tak uporządkowanego ciągu jest medianą 

 

MODA    M     wartość mianowana 

Wartość badanej cechy, która pojawia się najczęściej lub klasa histogramu, w 

której występuje najwięcej obserwacji jest wartością modalną 

 

WARIANCJA  S

2

  wartość mianowana, dodatnia 

Ś

rednie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej 

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

 

 

próba duŜa 

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

1

)

 

próba mała – wariancja skorygowana 

 

 

 

ODCHYLENIE STANDARDOWE   S  wartość mianowana, dodatnia 

Ś

rednie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej 

2

s

s

)

)

=

  próba mała 

2

s

s

=

  próba duŜa 

 

Wartość cechy 

 

5 

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI  

υυυυ                

wyraŜony w %

    

Miara względnego rozproszenia badanej cechy w próbie statystycznej 

%

100

⋅

=

′

x

s)

ν

   próba mała 

%

100

⋅

=

x

s

ν

   próba duŜa 

 

Wyniki oznaczeń 

Wn% 

ś

rednia 

wariancja 

Odchylenie 

standardowe 

Współczynnik 

zmienności 

Próba 1 

1%; 2%; 3%; .... 

2% 

1,96 

1,4 

70% 

Próba 2 

16%; 18%; 19%;.. 

17% 

1,96 

1,4 

8% 

 

BŁĄD STANDARDOWY   

σ

x

 wartość mianowana, dodatnia

 

σ

x

 pozwala na ocenę błędu jaki moŜe być  popełniony gdy chcemy oszacować 

ś

rednią  wartość  badanej  cechy  w  ośrodku  gruntowym  za  pomocą  średniej  z 

pobranych próbek. 

σ

x

  jest  odchyleniem  standardowym  wartości  średnich  z  szeregu  prób 

statystycznych pobranych z populacji. 

n

x

σ

σ

=

   

n- liczebność próby statystycznej,

  

 

 

 

 

 

σ

 - odchylenie standardowe (średnie) w całej populacji 

 

Gdy 

σ

  nie  jest  znane,  moŜna  je  oszacować  za  pomocą  wartości  odchylenia 

standardowego 

n

s

x

≅

σ

   

  lub    

 

n

s

x

ˆ

≅

σ

 

Błąd  standardowy  pozwala  oszacować  przedział  w  jakim  zawarta  będzie 

wartość badanej cechy w populacji 

σ

σ

x

x

x

m

x

+

≤

≤

−

   

m – wartość średnia w populacji

 

 

6 

USTALANIE WARTOŚCI OBLICZENIOWYCH PARAMETRÓW 

GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH 

 

Wartość  obliczeniowa  parametru  (cechy)  geologiczno-inŜynierskiego  jest  to 

taka  wartość,  która  uwzględnia  moŜliwe  odchylenia  od  wartości  średniej 

parametru w populacji 

-  Jako  wartość  obliczeniową  parametru  geologiczno-inŜynierskiego 

przyjmuje się najbardziej niekorzystną jego wartość, obliczoną jedną z 

metod pozwalających określić przedział zmienności parametru 

-  Jako  najbardziej  niekorzystną  wartość  naleŜy  przyjmować  tę  granicę 

przedziału zmienności parametru, która z punktu widzenia celu badań 

daje gorszą wartość parametru. 

-  Jako  przedział  zmienności  parametru  naleŜy  rozumieć  przedział,  w 

którym  rzeczywista  wartość  parametru  powinna  znaleźć  się  przy 

załoŜonym poziomie ufności 

 

SPRAWOZDANIE 

OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH 

 

Wykonano  3  otwory  badawcze,  w  których  pobrano  próbki  gruntów.  Po 

zinterpretowaniu  profilu  warstw  wydzielone  zostały  warstwy  geotechniczne. 

NaleŜy  przeprowadzić  statystyczną  analizę  wyników  oznaczeń  wykonanych  na 

próbkach z jednej warstwy geotechnicznej. 

Opracowanie wyników : 

1. Na podstawie wartości oznaczeń  zestawić tabelę danych (1). 

Lp 

Wartość parametru (x

i

) 

x

x

i

−

 

(

x

x

i

−

)

2

 

1 

2 

3 

4 

1. 

 

 

 

... 

 

 

 

20. 

 

 

 

n=20 

ΣΣΣΣ====

 

- 

ΣΣΣΣ====

 

 

7 

2. Dla wyników oznaczeń przeprowadzić: 

- podział na klasy (optymalnie 6 lub 7 klas), określić liczbę obserwacji  

   w klasach, częstość obserwacji w klasach oraz częstość skumulowaną  

- wyniki zestawić w tabeli (2), 

 

 

- wykreślić histogram, krzywą rozkładu i skumulowaną krzywą rozkładu, 

- obliczyć i zestawić wartości: średniej, mody, mediany, odchylenia 

    standardowego, wariancji, współczynnika zmienności, błędu 

    standardowego. 

 

- określić granice przedziału zmienności. 

 

- określić wartość obliczeniową parametru. 

Średnia   

n

x

x

i

∑

=

 

Moda  

Najczęściej spotykana wartość cechy 

Mediana 

Wartość cechy dla centralnego punktu 

uporządkowanego ciągu obserwacji 

Wariancja 

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

1

)

 

Odchylenie standardowe 

2

s

s

)

)

=

 

Współczynnik zmienności 

%

100

∗

=

′

x

s)

ν

 

Błąd standardowy 

n

s

x

)

≅

δ

 

Granice przedziału zmienności  

x

x

x

m

x

δ

δ

+

≤

≤

−

 

 

Nr klasy 

Granice klas 

od do 

Liczba 

obserwacji 

Częstość 

obserwacji 

[%] 

Częstość 

skumulowana 

[%] 

1 

- 

 

 

 

2 

- 

 

 

 

3 

- 

 

 

 

4 

- 

 

 

 

5 

- 

 

 

 

6 

- 

 

 

 

7 

-