Metoda bezpośrednia (wariant I) wyboru zmiennych stanu
Dany jest obiekt opisany transmitancją operatorową
( )
( )
( )
3
2
4
3
2
3
2
4
1
2
3
4
4
3
2
4
1
2
3
4
y s
s
6s
11s 6
G s
s
10s
35s
50s 24 u s
s
6s
11s 6
s
s
6s
11s
6s
s
10s
35s
50s 24 s
1 10s
35s
50s
24s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
=
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
−
=
⋅
=
+
+
+
+
+
+
+
+
Wyliczamy transformatę sygnału wyjściowego prowadzając transformatę dodatkowego
(pomocniczego) sygnału e(s)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
u s
y s
s
6s
11s
6s
1 10s
35s
50s
24s
s
6s
11s
6s
e s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
⋅
=
+
+
+
+
=
−
+
−
⋅
przy czym
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
3
4
1
2
3
4
u s
e s
1 10s
35s
50s
24s
e s
1 10s
35s
50s
24s
u s
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
+
+
+
+
⎡
⎤
⋅ +
+
+
+
=
⎣
⎦
a stąd ostatecznie
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
1
1
1
1
2
1
3
e s
u s
10s
35s
50s
24s
e s
u s
10 s e s
35s
s e s
50s
s e s
24s
s e s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+
+
+
⋅
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
oraz
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
2
1
3
y s
s e s
6s
s e s
11s
s e s
6s
s e s
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Na tej podstawie przyjmujemy
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
4
1
2
3
4
1
3
4
1
2
3
1
1
2
1
2
3
4
x s
s e s
s
24 x s
50x s
35x s
10x s
u s
x s
s x s
x s
s x s
x s
s x s
y s
6x s
11x s
6x s
x s
−
−
−
−
−
⎧
=
=
−
−
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
⎪
=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=
⎩
= −
+
−
+
a ponieważ zachodzi
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
a s
s b s
s a s
b s
a t
b t
−
=
⇒
⋅
=
⇒
=
to
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
1
2
3
4
x t
x t
x t
x t
x t
x t
x t
24 x t
50x t
35x t
10x t
u t
y t
6x t
11x t
6x t
x t
⎧
=
⎪
=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
= −
−
−
−
+
⎩
= −
+
−
+
Ponieważ dążymy do opisu w ogólnej postaci
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
x t
x t
x t
x t
u t
x t
x t
x t
x t
t
t
t
t
t
t
x t
x t
y t
u t
x t
x t
⎧⎡
⎤
⎡
⎤
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
⎧
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎣
⎦
⇒
⎨
⎨
=
+
⎡
⎤
⎪
⎪
⎩
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎪
=
+
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
A
B
x
A x
Bu
y
C x
Du
C
D
to
[
]
[ ]
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
24
50
35
10
1
6
11
6
1
0
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
= −
−
=
A
B
C
D
Obliczenie macierzy transmitancji operatorowych na podstawie opisu w przestrzeni stanów
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
n
n
n
n
n
adj s
adj s
s
s
det s
det s
−
−
⋅
−
⋅
=
−
+ = ⋅
⋅ + =
+
−
−
1 A
C
1 A B
G
C 1 A B D C
B D
D
1 A
1 A
Dany jest obiekt opisany w przestrzeni stanów jak powyżej. Jego macierz charakterystyczna ma
postać
(
)
n
1 0 0 0
0
1
0
0
s
1 0
0
0 1 0 0
0
0
1
0
0
s
1
0
s
s
0 0 1 0
0
0
0
1
0
0
s
1
0 0 0 1
24
50
35
10
24 50 35 s 10
−
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
=
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
+
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
1 A
a stąd wyznacznik tej macierzy
(
)
(
)
( )
(
)( )
( )( )
(
)
( )
( )( )
(
)
( )
( )
(
)(
)
+
+
+
+
−
−
−
=
= +
⋅Δ + − ⋅Δ =
−
+
−
−
= +
−
− + − −
− =
⎡
−
− ⎤
= +
+
−
+ − −
=
⎢
⎥
⎣
⎦
=
+
+
−
−
+
−
−
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
= +
+
+
+
= +
+
n
44
34
4 4
3 4
1 1
1 2
3
3
4
3
2
s
1 0
0
0
s
1
0
det s
s 10
1
0
0
s
1
24 50 35 s 10
s
1 0
s
1 0
s 10
1
0
s
1
1
1
0
s
1
0
0
s
24 50 35
s
1
0
1
s 10 s
s 1
1
1
50 35
24 35
s s 10
s 35s 50 1
1 0 24 1
s
10s
35s
50s 24
s 1 s 2 s
1 A
(
)(
)
+
+
3 s 4
czyli wartości własne macierzy A:
2
3
4
s
1 s
2 s
3 s
4
= −
= −
= −
= −
1
Macierz dołączona macierzy charakterystycznej uwzględniająca specyficzną postać macierzy B:
(
)
T
41
41
42
42
n
43
43
41
42
43
44
44
44
*
*
*
*
* * *
0
0
*
*
*
*
* * *
0
0
adj s
*
*
*
*
* * *
0
0
* * *
1
1
Δ
Δ
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⋅ =
⋅
=
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
1 A B
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
+
−
Δ = −
−
= − − =
Δ = −
−
= +
=
−
−
−
−
Δ = −
= − −
=
Δ = −
− = +
=
−
4 1
4 2
41
42
4 3
4 4
2
2
3
3
43
43
1 0
0
s
0
0
1
s
1 0
1
1
1
1
0
1 0
1 s s
0
s
1
0
s
1
s
1 0
s
1 0
1
0
s
0
1
s
s
1
0
s
1
1 s
s
0
0
1
0
0
s
(
)
n
2
3
1
s
adj s
s
s
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⋅ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 A B
stąd ostatecznie:
( )
(
)
(
)
[
]
(
)(
)(
)(
)
[ ]
( )
( )
(
)(
)(
)(
) (
)(
)(
)(
)
2
3
n
n
2
3
3
2
1
s
6 11
6 1
s
adj s
s
s
0
det s
s 1 s 2 s 3 s 4
6 1 11s
6 s
1 s
s
6s
11s 6
s 1 s 2 s 3 s 4
s 1 s 2 s 3 s 4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅
−
⋅
⎣ ⎦
=
+ =
+
=
−
+
+
+
+
− ⋅ +
+ − ⋅ + ⋅
+
+
−
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
C
1 A B
G
D
1 A
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
*
*
*
*
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
⎧
=
+
=
+
⎧
= ⋅
⎪
⎪
⎨
⎨
= ⋅
=
+
=
+
⎪
⎪
⎩
⎩
x
A x
Bu
q
A q
B u
x
T q
x
T q
y
Cx
Du
y
C q
D u
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
t
t
t
t
t
t
det
0
t
t
t
t
t
t
−
−
⎧
=
+
⎧
=
+
⎪
⎪
≠
⎨
⎨
=
+
=
+
⎪
⎪
⎩
⎩
Tq
A Tq
Bu
q
T A Tq
T Bu
T
y
CTq
Du
y
CTq
Du
*
1
*
1
*
*
−
−
=
=
=
=
A
T A T B
T B
C
CT
D
D
Wyznaczenie macierzy T liniowego przekształcenia dla pojedynczych wartości własnych:
[
]
1
2
3
4
i
det
0
=
⇒
≠
⇒
≠
T
v
v
v
v
T
v
0
gdzie v
i
jest prawostronnym wektorem własnym związanym z i-tą wartością własną s
i
(
)
(
)
i n
i
i n
s
det s
0
−
⋅ =
⇒
−
=
1 A v
0
1 A
a to oznacza, że dostajemy skalarny układ z większą liczbą niewiadomych (składowych wektora
własnego) niż liczba niezależnych liniowo równań:
(
)
i
1i
2i
i
1i
i
2i
3i
i
2i
i
3i
4i
i
3i
1i
2i
3i
i
4i
i
4i
s v
v
0
s
1 0
0
v
0
s v
v
0
0
s
1
0
v
0
s v
v
0
0
0
s
1
v
0
24v
50v
35v
s 10 v
0
24 50 35 s 10
v
0
⋅ −
=
−
⎧
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
−
=
−
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
=
⇒
⇒
⎨ ⋅ − =
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
+
+
+
+
=
+
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎩
(
)
2i
i
1i
2
3i
i
2i
i
1i
3
4i
i
3i
i
1i
2
3
1i
i
1i
i
1i
i
i
1i
v
s v
v
s v
s v
v
s v
s v
24v
50s v
35s v
s 10 s v
0
= ⋅
⎧
⎪ = ⋅ = ⋅
⎪
⇒
⇒
⎨ = ⋅ = ⋅
⎪
⎪
+
⋅ +
⋅ +
+
⋅ =
⎩
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla
i-tego jego pierwiastka, czyli
1i
2i
i
1i
2i
i
1i
2
3i
i
1i
i
i
2
3i
i
1i
i
1i
3
2
2
np.v 1
4i
i
1i
i
i
3
4i
i
1i
3
3
1i
i
i
v
s v
1
1
v
s v
v
s v
s
s
v
s v
v
v
s v
s
s
v
s v
0 v
0
s
s
=
= ⋅
⎧
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= ⋅
⎧
⎪
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⋅
⎪
⎪
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⇒
⇒
= ⋅
⇒ =
⋅
=
⎨
⎨
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⋅
⎪
⎪ = ⋅
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎩
⎪ ⋅ =
⎩
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
[
]
3
1
2
4
1
2
3
4
2
2
2
2
3
1
2
4
3
3
3
3
3
1
2
4
1
1
1
1
1
1
1
1
s
s
s
s
1
2
3
4
s
s
s
s
1
4
9
16
s
s
s
s
1
8
27
64
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
T
v
v
v
v
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
1
1
1
1
1
48
52
18
2
1
2
3
4
72
114
48
6
1
1
4
9
16
48
84
42
6
12
1
8
27
64
12
22
12
2
T
A stąd nowy opis podaje się po obliczeniu macierzy:
−
−
=
=
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦
−
−
−
−
=
=
*
1
*
1
48
52
18
2
0
1
0
0
1
1
1
1
72
114
48
6
0
0
1
0
1
2
3
4
1
48
84
42
6
0
0
0
1
1
4
9
16
12
12
22
12
2
24
50
35
10
1
8
27
64
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
48
52
18
2
72
114
48
1
12
A
T A T
B
T B
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
0
1
6 0
3
1
48
84
42
6 0
3
6
12
22
12
2 1
1
[
]
[
]
[ ]
⎡
⎤
⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥
=
= −
−
= −
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
= =
*
*
1
1
1
1
1
2
3
4
6 11
6 1
24
60
120
210
1
4
9
16
1
8
27
64
0
C
CT
D
D
Kolejny
przykład pokazuje zasadę postępowania dla macierzy stanu z wielokrotnymi
wartościami własnymi:
( )
( )
( )
2
2
3
4
4
3
2
1
2
3
4
y s
s
2s 1
s
2s
s
G s
s
5s
9s
7s 2 u s
1 5s
9s
7s
2s
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
stąd na podstawie metody bezpośredniej:
[
]
[ ]
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
2
7
9
5
1
1
2
1
0
0
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
=
−
=
A
B
C
D
oraz
(
)
n
s
1 0
0
0
s
1
0
s
0
0
s
1
2
7
9
s 5
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
+
⎣
⎦
1 A
(
)
(
) (
)
3
4
3
2
n
s
1 0
0
0
s
1
0
det s
s
5s
9s
7s 2
s 1 s 2
0
0
s
1
2
7
9
s 5
−
−
−
=
= +
+
+
+ = +
+
−
+
1 A
1
2
2
s
1
3
s
2
1
= −
υ =
= −
υ =
1
W przypadku s
i
wartości własnej o krotności υ
i
oblicza się wektor własny (główny, rodzicielski)
wraz z kolejnymi wektorami (potomkami) zgodnie z zależnością
(
)
(
)
(
)
(
)
υ −
υ −
⎧
−
⋅ =
⎪
−
⋅ = −
⎪⎪
−
⋅
= −
⎨
⎪
⎪
−
⋅
= −
⎪⎩
#
i
i
i n
i
i n
i1
i
i n
i2
i1
i n
i(
1)
i(
2)
s
s
s
s
1 A v
0
1 A v
v
1 A v
v
1 A v
v
W rozpatrywanym przypadku wektory główne mają postać
1i
i
1i
i
2i
i
i
i
1i
2
2
np.v 1
i
3i
i
i
3
3
i
4i
i
i
s
1 0
0
v
1
1
0
0
s
1
0
v
s
s
0
v
0
0
s
1
v
s
s
0
2
7
9
s 5
v
s
s
0
=
−
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅
=
⇒
=
⋅
=
⇒
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
1
2
1
1
1
2
1
4
1
8
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⇒
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
v
Natomiast dla s
1
trzeba obliczyć 2 wektory potomkowe:
(
)
1
111
211
1
111
1
211
311
1
1
211
1
2
2
1
311
411
1
1
311
1
3
3
111
211
311
1
411
1
1
411
1
s v
v
1
s
1 0
0
v
1
s v
v
s
0
s
1
0
v
s
s v
v
s
0
0
s
1
v
s
2v
7v
9v
s
5 v
s
2
7
9
s
5
v
s
⋅
−
= −
−
⎧
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡ ⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⋅
−
= −
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⋅
= −
⇒
⇒
⎨ ⋅ − = −
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎪
+
+
+
+
= −
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣ ⎦
⎩
(
)
(
)
(
)
(
)
211
1
111
2
311
1
211
1
1
111
1
2
3
2
411
1
311
1
1
111
1
2
3
2
3
111
1
111
1
111
1
1
1
111
1
1
v
s v
1
v
s v
s
s v
2s
v
s v
s
s v
3s
2v
7 s v
1
9 s v
2s
s
5 s v
3s
s
0
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⎪
+
⋅
+ +
⋅
+
+
+
⋅
+
+ =
⎩
(
)
(
)
211
1
111
2
311
1
111
1
3
2
411
1
111
1
4
3
2
3
2
1
1
1
1
111
1
1
1
v
s v
1
v
s v
2s
v
s v
3s
s
5s
9s
7s
2 v
4s
15s
18s
7
0
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
+
+
+
+
+
+
+
+ =
⎩
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla jego
pierwiastka, oraz 1-sza pochodna tego wielomianu również liczona dla jego 3-krotnego pierwiastka
czyli
211
1
111
211
1
111
2
311
1
111
1
2
311
1
111
1
3
2
411
1
111
1
3
2
411
1
111
1
111
v
s v
1
v
s v
1
v
s v
2s
v
s v
2s
v
s v
3s
v
s v
3s
0 v
0 0
= ⋅
+
⎧
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⎪
⇒
⇒
= ⋅
+
⇒
⎨
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
= ⋅
+
⎩
⎪ ⋅
+ =
⎩
=
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⇒
=
⋅
+
=
=
=
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
111
1
11
111
1
2
np.v
0
1
1
1
1
3
2
2
1
1
1
1
0
0
0
s
1
1
1
1 d
v
s
2s
2s
2
1! ds
s
3s
3s
3
v
v
A teraz kolejny wektor potomkowy:
(
)
⋅
−
=
−
⎧
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⋅
−
= −
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⋅
= −
⇒
⇒
⎨ ⋅ − = −
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
+
+
+
+
= −
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎩
1
112
212
1
112
1
212
312
1
212
1
312
412
1
1
312
1
2
2
112
212
312
1
412
1
1
412
1
s v
v
0
s
1 0
0
v
0
s v
v
1
0
s
1
0
v
1
s v
v
2s
0
0
s
1
v
2s
2v
7v
9v
s
5 v
3s
2
7
9
s
5
v
3s
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
= ⋅
+
⎪
⎪
+
⋅
+
⋅
+ +
+
⋅
+
+
=
⎩
212
1
112
2
312
1
212
1
112
3
412
1
312
1
1
112
1
2
3
2
112
1
112
1
112
1
1
112
1
1
v
s v
v
s v
1 s v
1
v
s v
2s
s v
3s
2v
7 s v
9 s v
1
s
5 s v
3s
3s
0
(
)
(
)
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
+
+
+
+
+
+
+ =
⎩
212
1
112
2
312
1
112
3
412
1
112
1
4
3
2
2
1
1
1
1
112
1
1
v
s v
v
s v
1
v
s v
3s
s
5s
9s
7s
2 v
6s
15s
9
0
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla jego
pierwiastka, oraz 2-ga pochodna tego wielomianu również liczona dla jego 3-krotnego pierwiastka
czyli
= ⋅
⎧
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⎪
⇒
⇒
= ⋅
+
⇒
⎨
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
= ⋅
+
⎩
⎪ ⋅
+ =
⎩
212
1
112
212
1
112
2
312
1
112
2
312
1
112
3
412
1
112
1
3
412
1
112
1
112
v
s v
v
s v
v
s v
1
v
s v
1
v
s v
3s
v
s v
3s
0 v
0 0
=
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⇒
=
⋅
+
=
=
=
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
112
2
1
12
112
1
2
2
np.v
0
1
1
3
1
1
1
1
0
0
0
s
0
0
0
1 d
v
s
1
1
1
2! ds
s
3s
3s
3
v
v
[
]
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
2
1
11
12
2
2
2
1
1
2
3
2
3
1
1
1
2
1
0
0
1
1
0
0
1
s
1
0
s
1
1
0
2
s
2s
1
s
1
2
1
4
s
3s
3s
s
1
3
3
8
T
v
v
v
v
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
1
1
0
0
1
2
3
3
1
1
1
0
2
0
2
3
1
1
2
1
4
2
5
4
1
1
3
3
8
1
3
3
1
T
A stąd nowy opis podaje się po obliczeniu macierzy:
−
−
=
=
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
*
1
*
1
2
3
3
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
2
3
1
0
0
1
0
1
1
0
2
2
5
4
1
0
0
0
1
1
2
1
4
1
3
3
1
2
7
9
5
1
3
3
8
1
1
0
0
0
1
1 0
0
0
1 0
0
0
0
2
2
3
3
1 0
0
2
3
1 0
2
5
4
1 0
1
3
3
1 1
A
T A T
B
T B
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
−
⎥ ⎢ ⎥
=
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
−
⎦ ⎣ ⎦
1
1
1
1
[
]
[
]
[ ]
⎡
⎤
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
=
=
−
=
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
−
−
⎣
⎦
= =
*
*
1
0
0
1
1
1
0
2
1
2 1 0
4
4 1 9
1
2
1
4
1
3
3
8
0
C
CT
D
D
Przy czym wydzielona część w macierzy stanu to tzw. blok Jordana związany z wielokrotną
wartością własną.