Wykład siódmy
Całka oznaczona
Zał. f jest funkcją ograniczoną na przedziale ha; bi.
Niech n – ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział ha; bi na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< x < . . . < x
n−1
< x
n
= b.
Oznaczmy: ∆x
k
= x
k
− x
k−1
, k = 1, . . . , n oraz δ
n
df
= max ∆x
k
. W ten sposób tworzymy ciąg
podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi.
Def. Ciąg podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi jest normalny, jeżeli lim
n→+∞
δ
n
= 0.
Niech (∆
n
) – ustalony ciąg podziałów przedziału ha; bi. Przy ustalonym ∆
n
w każdym podprze-
dziale wybieramy dowolnie punkt t
k
∈ hx
k−1
; x
k
i i tworzymy sumę
S
n
=
n
X
k=1
f (t
k
) · ∆x
k
(jeśli f 0 i f – jest ciągła, to S
n
jest liczbowo równa sumie pól prostokątów, wypełniających
obszar między wykresem funkcji f , osią OX i odcinkami prostych x = a , x = b).
a
b
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
y = f
HxL
-2
-1
1
2
X
10
20
30
Y
Def. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi ciąg S
n
jest zbieżny do
tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów t
k
, to wartość tej granicy nazywamy
całką oznaczoną (R-całką, całką Riemanna) funkcji f na przedziale ha; bi i oznaczamy
b
Z
a
f (x)dx
a funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna lub R-całkowalną.
a – dolna granica całkowania, b – górna granica całkowania.
Tw.(WK R –całkowalności) Jeżeli funkcja f jest R –całkowalna na przedziale ha; bi, to jest
ograniczona na tym przedziale.
Tw. (WW R – całkowalności) Jeżeli funkcja f jest ograniczona w ha; bi i ma w tym przedziale
skończoną liczbę punktów nieciągłości, to jest R – całkowalna w ha; bi. W szczególności funkcja
ciągła na ha; bi jest R – całkowalna w tym przedziale.
Wniosek Każda funkcja monotoniczna na przedziale ha; bi jest R – całkowalna na tym prze-
dziale.
Własności R – całki
1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i A ∈ R, to funkcj |f | i Af są R – całkowalne i
b
Z
a
A · f (x)dx = A ·
b
Z
a
f (x)dx
2. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f + g jest R – całkowalna na
ha; bi i
b
Z
a
(f (x) + g(x))dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx
3. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f · g jest R – całkowalna na
ha; bi; w szczególności funkcja f
2
jest R – całkowalna.
4. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to dla każdego c ∈ (a; b) funkcja f jest R – całkowalna
w przedziałach ha; ci i hc; bi i prawdziwa jest równość
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx
5. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i funkcja g różni się od f w przedziale ha; bi tylko w
skończonej liczbie punktów, to
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
g(x)dx.
6. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi oraz f (x) ¬ g(x) na tym przedziale, to
b
Z
a
f (x)dx ¬
b
Z
a
g(x)dx
(a) Wniosek 1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i f 0 na tym przedziale, to
b
Z
a
f (x)dx 0.
(b) Wniosek 2. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to
b
Z
a
f (x)dx
¬
b
Z
a
|f (x)|dx
(c) Wniosek 3. Jeżeli m ¬ f (x) ¬ M na przedziale ha; bi i f jest R –całkowalna na tym
przedziale, to
m(b − a) ¬
b
Z
a
f (x)dx ¬ M (b − a)
Rozszerzenie pojęcia R – całki
Jeśli a = b, to
b
Z
a
f (x)dx
df
= 0;
jeśli a > b, to
b
Z
a
f (x)dx
df
= −
a
Z
b
f (x)dx.
Własności 1 – 5 pozostają prawdziwe, pozostałe nie.
Funkcja górnej granicy całkowania
Zał. Funkcja f jest R – całkowalna na przedziale ha; bi i a < b.
Niech α – dowolnie ustalona liczba z tego przedziału. Wówczas dla każdego x ∈ ha; bi funkcja
f jest R – całkowalna na przedziale o końcach α i x, zatem wartość
x
Z
α
f (t)dt jest wyznaczona
jednoznacznie przez x. Można więc określić funkcję F w przedziale ha; bi
F (x)
df
=
x
Z
α
f (t)dt
nazywamy ją funkcją górnej granicy całkowania.
Tw.(I twierdzenie główne rachunku całkowego)Jeżeli funkcja f jest R – całkowalne na
przedziale i liczba α ∈ ha; bi jest dowolnie ustalona, to funkcja F (x)
df
=
x
Z
α
f (t)dt jest ciągła w
przedziale ha; bi.
Ponadto, w każdym punkcie x ∈ α ∈ ha; bi, w którym f (x) jest ciągła funkcja F (x) ma pochodną
i F
0
(x) = f (x).
Wniosek Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale ha; bi, to funkcja F posiada pochodną w tym
przedziale i F
0
(x) = f (x) dla każdego x ∈ ha; bi, tzn. F jest funkcją pierwotną funkcji f w tym
przedziale.
Tw.(II twierdzenie główne rachunku podstawowego) Jeżeli funkcja f jest ciągłą w prze-
dziale o końcach a i b i φ jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale, to
b
Z
a
f (x)dx = φ(b) − φ(a) = φ(x)|
b
a