Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Analiza funkcjonalna - wykład 4
Odwzorowania liniowe ograniczone
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Analiza funkcjonalna - wykład 4
Odwzorowania liniowe ograniczone
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Spis treści
1
2
Odwzorowania liniowe ograniczone
3
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Definicja
Niech X, Y będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K.
Odwzorowanie A : X −→ Y nazywamy operatorem liniowym, jeżeli
1
A(x + y) = Ax + Ay
2
A(αx) = αAx
dla dowolnych x, y ∈ X, α ∈ K.
Jeżeli Y = K, to operator liniowy A : X −→ Y nazywamy
funkcjonałem liniowym.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X - przestrzeń liniowa funkcji f określonych na przedziale
[a, b] o wartościach w K, różniczkowalnych w [a, b],
Y - przestrzeń liniowa wszystkich funkcji określonych na
przedziale [a, b] o wartościach w K,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Ax =
b
R
a
x(t)dt
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X - przestrzeń liniowa funkcji f określonych na przedziale
[a, b] o wartościach w K, różniczkowalnych w [a, b],
Y - przestrzeń liniowa wszystkich funkcji określonych na
przedziale [a, b] o wartościach w K,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Ax =
b
R
a
x(t)dt
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X - przestrzeń liniowa funkcji f określonych na przedziale
[a, b] o wartościach w K, różniczkowalnych w [a, b],
Y - przestrzeń liniowa wszystkich funkcji określonych na
przedziale [a, b] o wartościach w K,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Ax =
b
R
a
x(t)dt
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X - przestrzeń liniowa funkcji f określonych na przedziale
[a, b] o wartościach w K, różniczkowalnych w [a, b],
Y - przestrzeń liniowa wszystkich funkcji określonych na
przedziale [a, b] o wartościach w K,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Ax =
b
R
a
x(t)dt
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenie
Twierdzenie 1
Jeżeli A jest operatorem liniowym z przestrzeni liniowej X
w przestrzeń liniową Y , to AΘ = Θ oraz obraz A(X) przestrzeni
X w przestrzeń Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenie
Twierdzenie 1
Jeżeli A jest operatorem liniowym z przestrzeni liniowej X
w przestrzeń liniową Y , to AΘ = Θ oraz obraz A(X) przestrzeni
X w przestrzeń Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .
Twierdzenie 2
Operator liniowy A : X −→ Y , gdzie X i Y są przestrzeniami
unormowanymi, jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły
w zerze.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Definicja
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi.
Odwzorowanie A : X −→ Y nazywamy ograniczonym, jeżeli
istnieje taka liczba dodatnia M , że dla każdego x z przestrzeni X
spełniona jest nierówność
kAxk 6 M · kxk.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Definicja
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi, A : X −→ Y
operatorem liniowym ograniczonym.
Liczbę
inf
n
M > 0 :
∀
x∈X
kAxk 6 M · kxk
o
.
nazywamy normą operatora A i oznaczamy kAk.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych ograniczonych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X = C
1
[0, 1] z normą kf k
X
= |f (0)| + sup
t∈[0,1]
|f
0
(t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Af =
b
R
a
f (t)dt
X = C[0, 1], Y = K, r > 0, Af = rf (0)
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych ograniczonych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X = C
1
[0, 1] z normą kf k
X
= |f (0)| + sup
t∈[0,1]
|f
0
(t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Af =
b
R
a
f (t)dt
X = C[0, 1], Y = K, r > 0, Af = rf (0)
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych ograniczonych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X = C
1
[0, 1] z normą kf k
X
= |f (0)| + sup
t∈[0,1]
|f
0
(t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Af =
b
R
a
f (t)dt
X = C[0, 1], Y = K, r > 0, Af = rf (0)
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych ograniczonych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X = C
1
[0, 1] z normą kf k
X
= |f (0)| + sup
t∈[0,1]
|f
0
(t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Af =
b
R
a
f (t)dt
X = C[0, 1], Y = K, r > 0, Af = rf (0)
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykłady odwzorowań liniowych ograniczonych
X = c, Y = K, Ax = lim
k→∞
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ c
X = l
1
, Y = K, Ax =
∞
P
k=1
t
k
, x = (t
k
)
k∈N
∈ l
1
X = C
1
[0, 1] z normą kf k
X
= |f (0)| + sup
t∈[0,1]
|f
0
(t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
X = L
1
[a, b], Y = K, Af =
b
R
a
f (t)dt
X = C[0, 1], Y = K, r > 0, Af = rf (0)
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Przykład odwzorowania liniowego, który nie jest
ograniczony
X podprzestrzeń C[0, 1] wszystkich funkcji mających ciągłą
pochodną w [0, 1] z normą kf k
X
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Y = C[0, 1] z normą kf k
Y
= sup
t∈[0,1]
|f (t)|,
Af = f
0
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenie Banacha
Twierdzenie Banacha
Operator liniowy A : X −→ Y , gdzie X i Y są przestrzeniami
unormowanymi, jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenie o normie operatora
Twierdzenie o normie operatora
Jeżeli X, Y są przestrzeniami unormowanymi, A : X −→ Y
operatorem liniowym ograniczonym, to
1
kAk 6 M dla każdego M ∈ P
A
, gdzie
P
A
=
n
M
0
> 0 :
∀
x∈X
kAxk 6 M
0
· kxk
o
;
2
kAxk 6 kAk · kxk dla każdego x ∈ X;
3
kAk =
sup
x∈X,kxk=1
kAxk =
sup
x∈X,kxk61
kAxk =
sup
x∈X,x6=θ
kAxk
kxk
.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi.
Symbolem L(X, Y ) oznaczmy zbiór wszystkich operatorów linio-
wych ograniczonych A : X −→ Y .
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi.
Symbolem L(X, Y ) oznaczmy zbiór wszystkich operatorów linio-
wych ograniczonych A : X −→ Y .
Uwaga
Zbiór L(X, Y ) jest niepusty, bo należy do niego operator
tożsamościowo równy zeru.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenia
Twierdzenie 1
Zbiór L(X, Y ) jest przestrzenią liniową nad ciałem K, (K = R lub
K = C), jeżeli działania liniowe określimy w zwykły sposób:
1
(A + B)(x) = Ax + Bx
2
(αA)(x) = αAx
dla dowolnych A, B ∈ L(X, Y ), x ∈ X, α ∈ K.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenia
Twierdzenie 1
Zbiór L(X, Y ) jest przestrzenią liniową nad ciałem K, (K = R lub
K = C), jeżeli działania liniowe określimy w zwykły sposób:
1
(A + B)(x) = Ax + Bx
2
(αA)(x) = αAx
dla dowolnych A, B ∈ L(X, Y ), x ∈ X, α ∈ K.
Twierdzenie 2
Przestrzeń L(X, Y ) jest przestrzenią unormowaną z normą
kAk = inf
n
M > 0 :
∀
x∈X
kAxk 6 M · kxk
o
,
gdzie A ∈ L(X, Y ).
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenia
Twierdzenie 3
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi, A
n
: X −→ Y ,
n ∈ N, - operatorami liniowymi.
Jeżeli ciąg {A
n
: n ∈ N} jest punktowo zbieżny do przekształcenia
A, to A jest liniowe.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Twierdzenia
Twierdzenie 3
Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi, A
n
: X −→ Y ,
n ∈ N, - operatorami liniowymi.
Jeżeli ciąg {A
n
: n ∈ N} jest punktowo zbieżny do przekształcenia
A, to A jest liniowe.
Twierdzenie 4
Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, Y przestrzenią Banacha, to
L(X, Y ) jest przestrzenią Banacha.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Definicja
Jeżeli Y = K, to przestrzeń unormowaną L(X, K) wszystkich
funkcjonałów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni
unormowanej X nazywamy przestrzenią sprzężoną z przestrzenią X
(lub dualną z X). Przestrzeń sprzężoną z przestrzenią X
oznaczamy symbolem X
∗
.
Zofia Lewandowska
Odwzorowania liniowe ograniczone
Przestrzeń L(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych A : X −→ Y
Definicja
Definicja
Jeżeli Y = K, to przestrzeń unormowaną L(X, K) wszystkich
funkcjonałów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni
unormowanej X nazywamy przestrzenią sprzężoną z przestrzenią X
(lub dualną z X). Przestrzeń sprzężoną z przestrzenią X
oznaczamy symbolem X
∗
.
Wniosek
Dla każdej przestrzeni unormowanej X jej przestrzeń sprzężona X
∗
jest przestrzenią Banacha.
Zofia Lewandowska