Analiza regresji … 

Lista zadań nr 2  

We wszystkich zadaniach o estymatorze MNK rozważamy model liniowy Y=X



+Z przy 

założeniach, że wektor losowy Z ma wartość oczekiwana 0 oraz, że istnieje jego macierz 
kowariancji 



Z

 

Zadanie 1 

Wykaż, że dowolne rozwiązanie b

*

 równania normalnego X

T

Xb=X

T

Y jest estymatorem  

MNK parametru 



, tzn. spełnia warunek: dla każdego b R

k

 zachodzi  

|| Y-Xb

*

||

2 

≤  || Y-Xb||

2

. 

Zadanie 2 

Podaj definicję estymowalnej funkcji parametrycznej. Podaj wzór na estymator MNK funkcji 
estymowalnej w sytuacji, gdy wszystkie funkcje parametryczne są  estymowalne.  

Zadanie 3 

Oblicz wariancję estymatora MNK zakładając, że macierz kowariancji wektora zakłóceń Z 
jest diagonalna i jej wszystkie elementy diagonalne są równe oraz że macierz obserwacji X 
jest pełnego rzędu.  

Zadanie 4 

Jeżeli wszystkie funkcje parametryczne są  estymowalne, to E(Y-Xb)=0, gdzie jest b 
estymatorem MNK parametru 



Zadanie 5 

Dla dowolnej macierzy X wymiaru nxk, określmy macierz A następująco: 

)

)

(

(

1

T

T

X

X

X

X

I

A







, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego stopnia (jakiego?). 

Pokaż, że A 

jest idempotentna.  

Zadanie 6

 

Sprawdź, że dla dowolnego wektora losowego Y o macierzy kowariancji 

Y



  oraz dowolnej macierzy 

A odpowiedniego wymiaru zachodzi 

Y

A

Y

A

Y

AY

Y







tr

E

E

E

T

T

. 

 

Zadanie 7 

Przypomnij, jakie związki zachodzą pomiędzy zmiennymi losowymi o rozkładach 
normalnych, chi- kwadrat, Studenta, F-Snedecora.