5. TEORIA MIARY 1
ALGEBRY, ZBIORY BORELOWSKIE
1. Niech X będzie zbiorem nieskończonym, A – rodziną podzbiorów zbioru X złożoną z
wszystkich skończonych zbiorów
A⊂X
oraz ich dopełnienień. Pokazać, że
A jest algebrą
zbiorów, ale nie jest
algebrą.
2. Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym A – rodziną podzbiorów zbioru X złożoną z
wszystkich przeliczalnych zbiorów
A⊂X
oraz ich dopełnienień. Pokazać, że
A jest
algebrą.
3. Udowodnić, że jeżeli
A jest niepustą klasą podzbiorów przestrzeni X spełniającą warunki:
(1) jeżeli
A
n
∈
A,
A
n
∩ A
m
=∅
dla
n≠m n , m=1,2 ,...
, to
∐
n=1
∞
A
n
∈
A ,
(2) jeżeli
A , B ∈
A, to
A ∖ B ∈
A,
to
A jest
algebrą.
4. Niech
X =
{
a , b , c
}
. Wyznaczyć największą
algebrę zawierającą zbiór
{
b , c
}
oraz
algebrę generowaną przez zbiór
{
{
b , c
}
,
{
a , b , c
}
}
.
5. Niech
X =ℝ
. Wyznaczyć
algebrę generowaną przez zbiór
5.1
{
[
0,1
,
{
0
}
,
{
1
}
}
,
5.2
{
[
0,1
,
{
0
}
, ℝ
}
.
6. Niech
B będzie
algebrą na Y oraz niech
T : X Y
będzie dowolnym
odwzorowaniem. Sprawdzić, że
A =
{
T
−1
B: B∈
B
}
algebrą na X.
7. Niech
X =ℝ
. Sprawdzić, że następujące zbiory są zbiorami borelowskimi:
7.1
{
a
}
,
7.2 przedziały
[
a , b
,
a , b
]
, ab ,
7.3
{
a
1
, ... , a
n
, ...
}
.
8. Niech
X =ℝ
.
=
{
−∞ , a: a∈ℝ
}
. Sprawdzić, że rodzina
generuje
algebrę zbiorów borelowskich.
Wsk. Sprawdzić, że każdy zbiór otwarty można otrzymać ze zbiorów z
za pomocą
operacji
∐
,
∏
, ∖
. Skorzystać z faktu, że każdy zbiór otwarty w
ℝ
jest sumą
przeliczalnie wielu przedziałów otwartych.