Metody statystyczne czêœæ 2 - populacja i próba

Populacja =

Uniwersum

Populacja =

Uniwersum

Dowolny zbiór badanych obiektów,
o ile jest dobrze zdefiniowany

– Dorośli mieszkańcy Polski

– Posiadacze samochodów Nissan

– Kobiety mieszkające w Warszawie

– Sklepy powyŜej 300 m

w woj. śląskim

Dowolny zbiór badanych obiektów,
o ile jest dobrze zdefiniowany

–

Dorośli mieszkańcy Polski

–

Posiadacze samochodów Nissan

–

Kobiety mieszkające w Warszawie

–

Sklepy powyŜej 300 m

w woj. śląskim

W praktyce moŜna przyjąć, Ŝe populacja o liczebności powyŜej

2000 jest nieskończenie wielka

W praktyce moŜna przyjąć, Ŝe populacja o liczebności powyŜej

2000 jest nieskończenie wielka

Definicje: populacja

Próba

Stosunkowo niewielki podzbiór populacji

Dobrany wg określonej procedury

– Losowej

– Nielosowej

NiezaleŜnie od wielkości i próby, interesują nas
przede wszystkim wnioski dotyczące populacji

– To jest moŜliwe dzięki statystyce

Stosunkowo niewielki podzbiór populacji

Dobrany wg określonej procedury

–

Losowej

–

Nielosowej

NiezaleŜnie od wielkości i próby, interesują nas
przede wszystkim wnioski dotyczące populacji

–

To jest moŜliwe dzięki statystyce

Prawa statystyki odnoszą się TYLKO

do prób losowych!

Prawa statystyki odnoszą się TYLKO

do prób losowych!

Definicje: próba

Co tracimy?

Badania donoszące się do całej populacji (na przykład spis powszechny) są
potrzebne, ale niezwykle kosztowne

– Dlatego w większości przypadków musi nam wystarczyć odpowiednio

dobrana próba

Prowadząc badanie nawet na duŜej próbie nie mamy całkowitej pewności,
Ŝe nasze wyniki moŜna odnieść do całej populacji

Opis populacji dokonany na podstawie opisu próby jest jedynie
przybliŜeniem

Prawa statystyki mówią, czy to przybliŜenie jest dostatecznie dobre

Badania donoszące się do całej populacji (na przykład spis powszechny) są
potrzebne, ale niezwykle kosztowne

–

Dlatego w większości przypadków musi nam wystarczyć odpowiednio
dobrana próba

Prowadząc badanie nawet na duŜej próbie nie mamy całkowitej pewności,
Ŝe nasze wyniki moŜna odnieść do całej populacji

Opis populacji dokonany na podstawie opisu próby jest jedynie
przybliŜeniem

Prawa statystyki mówią, czy to przybliŜenie jest dostatecznie dobre

TEST STATYSTYCZNY

mówi nam, jak wyciągać wnioski

TEST STATYSTYCZNY

mówi nam, jak wyciągać wnioski

Dwa rodzaje błędu

Wyobraź sobie, Ŝe jesteś księŜniczką, a przed tobą stoi kandydat do twojej ręki

Musisz zdecydować, czy jest to prawdziwy ksiąŜę, czy teŜ oszust

–

Jeśli go wybierzesz, zostanie królem i będzie decydował o losach królestwa (ale jeśli jest
oszustem, to pewnie się nie nadaje do tej roli)

–

Jeśli go odrzucisz, zostanie ścięty (ale tracisz kandydata na męŜa, a kto wie czy się trafi
inny?)

Od trafnej decyzji zaleŜą losy królestwa i twoje małŜeństwo!

–

Dobra decyzja

•

wybór prawdziwego księcia

•

odrzucenie oszusta

–

Zła decyzja

•

wybór oszusta

•

odrzucenie prawdziwego księcia

Zła decyzja moŜe mieć róŜne konsekwencje. Tobie - księŜniczce moŜe zaleŜeć na czym innym
niŜ twoim poddanym

W testach statystycznych teŜ są dwie moŜliwości; zazwyczaj jedna z nich jest dla nas bardziej
groźna

–

Jeśli uznamy, Ŝe obserwowany wynik ma faktycznie miejsce w populacji i zaplanujemy
odpowiednie działania marketingowe, skutki błędu mogą być bardzo powaŜne

–

Jeśli istniejący faktycznie efekt uznamy za „nieistotny”, być moŜe tracimy szansę; ale
przynajmniej nie naraŜamy się na poraŜkę

Wyobraź sobie, Ŝe jesteś księŜniczką, a przed tobą stoi kandydat do twojej ręki

Musisz zdecydować, czy jest to prawdziwy ksiąŜę, czy teŜ oszust

–

Jeśli go wybierzesz, zostanie królem i będzie decydował o losach królestwa (ale jeśli jest
oszustem, to pewnie się nie nadaje do tej roli)

–

Jeśli go odrzucisz, zostanie ścięty (ale tracisz kandydata na męŜa, a kto wie czy się trafi
inny?)

Od trafnej decyzji zaleŜą losy królestwa i twoje małŜeństwo!

–

Dobra decyzja

•

wybór prawdziwego księcia

•

odrzucenie oszusta

–

Zła decyzja

•

wybór oszusta

•

odrzucenie prawdziwego księcia

Zła decyzja moŜe mieć róŜne konsekwencje. Tobie - księŜniczce moŜe zaleŜeć na czym innym
niŜ twoim poddanym

W testach statystycznych teŜ są dwie moŜliwości; zazwyczaj jedna z nich jest dla nas bardziej
groźna

–

Jeśli uznamy, Ŝe obserwowany wynik ma faktycznie miejsce w populacji i zaplanujemy
odpowiednie działania marketingowe, skutki błędu mogą być bardzo powaŜne

–

Jeśli istniejący faktycznie efekt uznamy za „nieistotny”, być moŜe tracimy szansę; ale
przynajmniej nie naraŜamy się na poraŜkę

Dylemat księŜniczki

STAN FAKTYCZNY (księŜniczka go nie zna)

DECYZJA KSIĘśNICZKI

Kandydat jest oszustem

Kandydat jest księciem

Kandydat jest oszustem
Ściąć

Poziom ufności = 1 - α

SŁUSZNIE

Prawdopodobieństwo = β

BŁĄD II rodzaju

Kandydat jest księciem
Wybrać

Prawdopodobieństwo = α

BŁĄD I rodzaju

Poziom ufności = 1 – β

SŁUSZNIE

Zwyczajowo prawdopodobieństwo wystąpienia błędów I i II rodzaju
oznaczamy literami α i β

Prawdopodobieństwo słusznej decyzji w zaleŜności od sytuacji faktycznej
wynosi zatem 1- α lub 1- β; nazywamy je poziomem ufności

Zwyczajowo prawdopodobieństwo wystąpienia błędów I i II rodzaju
oznaczamy literami α i β

Prawdopodobieństwo słusznej decyzji w zaleŜności od sytuacji faktycznej
wynosi zatem 1- α lub 1- β; nazywamy je poziomem ufności

Wnioskowanie statystyczne

W badaniach mamy do czynienia z bardzo podobną sytuacją

Dysponujemy sformułowaną przez nas hipotezą oraz wynikiem badania

Musimy zdecydować, czy hipotezę naleŜy odrzucić, czy przyjąć

Wyjściową hipotezę zawsze formułujemy jako brak zmian czy
zaleŜności; takie sformułowanie nazywamy hipotezą zerową

– Przykłady poprawnych sformułowań (niekoniecznie prawdziwych)

• Inteligencja nie zaleŜy od płci

• Średnia długość Ŝycia nie zaleŜy od kraju

• Palenie do 5 papierosów dziennie nie wpływa na stan zdrowia

• Opakowanie A jest tak samo atrakcyjne, jak opakowanie B

W badaniach mamy do czynienia z bardzo podobną sytuacją

Dysponujemy sformułowaną przez nas hipotezą oraz wynikiem badania

Musimy zdecydować, czy hipotezę naleŜy odrzucić, czy przyjąć

Wyjściową hipotezę zawsze formułujemy jako brak zmian czy
zaleŜności; takie sformułowanie nazywamy hipotezą zerową

–

Przykłady poprawnych sformułowań (niekoniecznie prawdziwych)

•

Inteligencja nie zaleŜy od płci

•

Średnia długość Ŝycia nie zaleŜy od kraju

•

Palenie do 5 papierosów dziennie nie wpływa na stan zdrowia

•

Opakowanie A jest tak samo atrakcyjne, jak opakowanie B

Wnioskowanie statystyczne

STAN FAKTYCZNY (nieznany)

WNIOSEK

Hipoteza zerowa jest

prawdziwa

Hipoteza zerowa jest fałszywa

Przyjąć hipotezę zerową

Poziom ufności = 1 - α

SŁUSZNIE

Prawdopodobieństwo = β

BŁĄD I rodzaju

Odrzucić hipotezę zerową

Prawdopodobieństwo = α

BŁĄD I rodzaju

Poziom ufności = 1 - β

SŁUSZNIE

Który błąd będzie miał powaŜniejsze konsekwencje?

Przykład: Ile wynosi średnia?

Często w badaniach szukamy wartości średniej (dochodów, wydatków,
powierzchni, odległości…)

Przypuśćmy, Ŝe interesuje nas średni roczny przebieg prywatnego
samochodu w Polsce

– Po wykonaniu badania na odpowiedni duŜej próbie chcemy podać,

jaki jest średni przebieg w populacji

Na początek spróbujmy sobie wyobrazić, Ŝe wykonujemy takie badanie
bardzo wiele razy – na przykład 500

Często w badaniach szukamy wartości średniej (dochodów, wydatków,
powierzchni, odległości…)

Przypuśćmy, Ŝe interesuje nas średni roczny przebieg prywatnego
samochodu w Polsce

–

Po wykonaniu badania na odpowiedni duŜej próbie chcemy podać,
jaki jest średni przebieg w populacji

Na początek spróbujmy sobie wyobrazić, Ŝe wykonujemy takie badanie
bardzo wiele razy – na przykład 500

Trochę matematyki

No niestety, bez matematyki trudno się tu obejść.

Pamiętajmy, Ŝe wszystkim wartościom w populacji odpowiada wartość
zmierzona w próbie.

– Wartości w populacji oznaczamy literami greckimi (

)

– Ich odpowiedniki wyliczone z próby – zwykłymi literami łacińskimi

(

, s)

• Średnią z próby oznaczamy dodatkowo kreską nad x – taki zwyczaj

(samo x oznacza konkretną wartość uzyskaną dla pojedynczej
badanej osoby)

No niestety, bez matematyki trudno się tu obejść.

Pamiętajmy, Ŝe wszystkim wartościom w populacji odpowiada wartość
zmierzona w próbie.

–

Wartości w populacji oznaczamy literami greckimi (

)

–

Ich odpowiedniki wyliczone z próby – zwykłymi literami łacińskimi
(

, s)

•

Średnią z próby oznaczamy dodatkowo kreską nad x – taki zwyczaj
(samo x oznacza konkretną wartość uzyskaną dla pojedynczej
badanej osoby)

Co mówią prawa statystyki?

Wyobraźmy sobie, Ŝe wykonujemy sondaŜ bardzo wiele razy na róŜnych próbach -
losowanych za kaŜdym razem od początku

Za kaŜdym razem obliczamy średni roczny przebieg dla kierowców w próbie

– I za kaŜdym razem otrzymujemy nieco inną wartość

Wyobraźmy sobie, Ŝe wykonujemy sondaŜ bardzo wiele razy na róŜnych próbach -
losowanych za kaŜdym razem od początku

Za kaŜdym razem obliczamy średni roczny przebieg dla kierowców w próbie

–

I za kaŜdym razem otrzymujemy nieco inną wartość

Nr badania

Średni przebieg

tys. km

15,4

12,7

23,1

B500

18,8

Jeśli prawdziwa średnia w populacji wynosi

powiedzmy

= 19,7 tys. km, a odchylenie

standardowe w populacji ma wartość σ = 2,2 tys. km,

to statystyka mówi nam, jakie jest

prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu wykonanym

jeden raz otrzymana wartość będzie się mieściła w

pewnym przedziale, na przykład 19,7± 2,2

(odpowiedź: około 68%)

Jeśli prawdziwa średnia w populacji wynosi

powiedzmy

= 19,7 tys. km, a odchylenie

standardowe w populacji ma wartość σ = 2,2 tys. km,

to statystyka mówi nam, jakie jest

prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu wykonanym

jeden raz otrzymana wartość będzie się mieściła w

pewnym przedziale, na przykład 19,7± 2,2

(odpowiedź: około 68%)

Szukamy: średni roczny przebieg samochodu

wśród kierowców prywatnych w Polsce

Szukamy: średni roczny przebieg samochodu

wśród kierowców prywatnych w Polsce

To za mało

Po wykonaniu jednorazowego pomiaru nadal nie wiemy jaki jest
prawdziwy wynik w populacji ani jaka jest wariancja badanej zmiennej

Na szczęście nie musimy wykonywać wielu pomiarów – z pomocą
przychodzi Centralne Twierdzenie Graniczne, które umoŜliwia
wyciąganie dobrych wniosków

– Jeśli brzmi o strasznie, moŜesz pominąć następny slajd. Pamiętaj

tyle, Ŝe wnioskowanie na temat prawdziwej wartości średniej
opiera się na własnościach rozkładu normalnego

Rozkład normalny to po prostu pewna funkcja - opisana paskudnym
wzorem i piękną krzywą w kształcie dzwonu

Po wykonaniu jednorazowego pomiaru nadal nie wiemy jaki jest
prawdziwy wynik w populacji ani jaka jest wariancja badanej zmiennej

Na szczęście nie musimy wykonywać wielu pomiarów – z pomocą
przychodzi Centralne Twierdzenie Graniczne, które umoŜliwia
wyciąganie dobrych wniosków

–

Jeśli brzmi o strasznie, moŜesz pominąć następny slajd. Pamiętaj
tyle, Ŝe wnioskowanie na temat prawdziwej wartości średniej
opiera się na własnościach rozkładu normalnego

Rozkład normalny to po prostu pewna funkcja - opisana paskudnym
wzorem i piękną krzywą w kształcie dzwonu

Centralne Twierdzenie Graniczne

Nr badania

Średni przebieg w

tys. km

15,4

12,7

23,1

B500

18,8

NiezaleŜnie od tego, jaki jest faktyczny rozkład

rocznego przebiegu samochodów w Polsce,

średnia otrzymana z wielu badań ma

rozkład normalny, opisany krzywą Gaussa

NiezaleŜnie od tego, jaki jest faktyczny rozkład

rocznego przebiegu samochodów w Polsce,

średnia otrzymana z wielu badań ma

rozkład normalny, opisany krzywą Gaussa

Co więcej:

JeŜeli w wariancja zmiennej w populacji wynosi σ, to

wariancja średniej uzyskanej w wielu badaniach wyniesie

GDZIE N – wielkość próby w kaŜdym badaniu

nazywamy błędem standardowym

Stosowane oznaczenia

Dla próby o liczebności N

Średnia uzyskana w próbie

Prawdziwa średnia w populacji (nieznana)

Wariancja rozkładu średnich z wielu badań (nieznana)

Wielkość próby

Wariancja rozkładu mierzonej wielkości w populacji (nieznana)

Wariancja rozkładu mierzonej wielkości w próbie (znana)

Wielkość dana wzorem:

Z =

- µ

√√√√

___

Wnioskowanie statystyczne dla średniej

W praktyce badanie wykonujemy jeden raz i otrzymujemy tylko
jedną wartość dla średniej

oraz wariancji badanej zmiennej s

(w próbie)

Nie znamy prawdziwej wartości średniej

i wariancji w populacji

– Tego właśnie chcemy się dowiedzieć

Z własności rozkładu normalnego wynika, Ŝe:

– Istnieje 68% prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu uzyskaliśmy wartość

w przedziale

– Istnieje 95% prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu uzyskaliśmy wartość

w przedziale

± 2

itd.

Przyjmujemy dodatkowo (na razie), Ŝe

= s

, przy czym:

Wartość s i s

moŜemy obliczyć z próby (zrobi to za nas komputer)

Musimy przyjąć jakieś załoŜenie o prawdziwej wartości µ

W praktyce badanie wykonujemy jeden raz i otrzymujemy tylko
jedną wartość dla średniej

oraz wariancji badanej zmiennej s

(w próbie)

Nie znamy prawdziwej wartości średniej

i wariancji w populacji

–

Tego właśnie chcemy się dowiedzieć

Z własności rozkładu normalnego wynika, Ŝe:

–

Istnieje 68% prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu uzyskaliśmy wartość
w przedziale

–

Istnieje 95% prawdopodobieństwo, Ŝe w badaniu uzyskaliśmy wartość
w przedziale

± 2

itd.

Przyjmujemy dodatkowo (na razie), Ŝe

= s

, przy czym:

Wartość s i s

moŜemy obliczyć z próby (zrobi to za nas komputer)

Musimy przyjąć jakieś załoŜenie o prawdziwej wartości µ

√√√√

___

Test dla średniej krok po kroku

Formułujemy „hipotezę zerową”
–

W przypadku średniej hipoteza ta brzmi: wartość

jest równa pewnej konkretnej

liczbie, którą oznaczamy

–

Od sposobu sformułowania hipotezy (interesuje nas zmiana w dowolną stronę
czy zmiana w określonym kierunku), zaleŜy wybór testu jednostronnego lub
dwustronnegp

Ustalamy maksymalne akceptowane przez nas prawdopodobieństwo

popełnienia

błędu I rodzaju (na ogół 5%). Błędem II rodzaju na ogół specjalnie się nie
przejmujemy.

KaŜdy test ma dwie równowaŜne wersje:
1. Obliczamy wartość testu (czyli odpowiedniej funkcji) jaka odpowiada przyjętemu

prawdopodobieństwu - dla średniej trzeba obliczyć wartość Z (wzór podany
powyŜej). Wynik porównujemy z wartością krytyczną (dla średniej jest to
krytyczna wartość z w rozkładzie normalnym). Wartości krytyczne dla danego
testu znajdujemy w tablicach

2. Obliczamy prawdopodobieństwo p otrzymania wyniku takiego jak nasz przy

załoŜeniu, Ŝe hipoteza zerowa jest prawdziwa i porównujemy z wartością

Na tej podstawie przyjmujemy lub odrzucamy hipotezę zerową
–

Przyjmujemy hipotezę zerową, jeśli z > Z i odrzucamy, jeśli z < Z

Formułujemy „hipotezę zerową”

–

W przypadku średniej hipoteza ta brzmi: wartość

jest równa pewnej konkretnej

liczbie, którą oznaczamy

–

Od sposobu sformułowania hipotezy (interesuje nas zmiana w dowolną stronę
czy zmiana w określonym kierunku), zaleŜy wybór testu jednostronnego lub
dwustronnegp

Ustalamy maksymalne akceptowane przez nas prawdopodobieństwo

popełnienia

błędu I rodzaju (na ogół 5%). Błędem II rodzaju na ogół specjalnie się nie
przejmujemy.

KaŜdy test ma dwie równowaŜne wersje:

Obliczamy wartość testu (czyli odpowiedniej funkcji)  jaka odpowiada przyjętemu
prawdopodobieństwu  - dla średniej trzeba obliczyć wartość Z (wzór podany
powyŜej). Wynik  porównujemy z wartością krytyczną (dla średniej jest to
krytyczna wartość z w rozkładzie normalnym). Wartości krytyczne dla danego
testu znajdujemy w tablicach

Obliczamy prawdopodobieństwo p otrzymania wyniku takiego jak nasz przy
załoŜeniu, Ŝe hipoteza zerowa jest prawdziwa i porównujemy z wartością

Na tej podstawie przyjmujemy lub odrzucamy hipotezę zerową

–

Przyjmujemy hipotezę zerową, jeśli z > Z i odrzucamy, jeśli z < Z

Z wcześniejszych badań wiemy, Ŝe przeciętny uŜytkownik miesięcznie do tej
pory wypijał 100 filiŜanek miesięcznie

Nowe badanie obejmuje 64 osoby, które uczestniczyły przez 6 miesięcy w
programie lojalnościowym; w tym czasie wypijały średnio 103.32 filiŜanki kawy
miesięcznie; wartość s wyniosła dla tej próby 16

Z wcześniejszych badań wiemy, Ŝe przeciętny uŜytkownik miesięcznie do tej
pory wypijał 100 filiŜanek miesięcznie

Przykład 1:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Przykład 1:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Stawiamy hipotezę zerową:

– program lojalnościowy nie ma Ŝadnego wpływu na wielkość konsumpcji,

czyli faktyczna średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka
sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

64 = 16/8 = 2

Obliczamy Z = (103.32-100)/2 = 1.66

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.95), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.96 (test dwustronny)

Stawiamy hipotezę zerową:

–

program lojalnościowy nie ma Ŝadnego wpływu na wielkość konsumpcji,
czyli faktyczna średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka
sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

64 = 16/8 = 2

Obliczamy Z = (103.32-100)/2 = 1.66

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.95), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.96 (test dwustronny)

Przykład 2:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Przykład 2:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Z wcześniejszych badań wiemy, Ŝe przeciętny uŜytkownik miesięcznie do tej
pory wypijał 100 filiŜanek miesięcznie

Nowe badanie obejmuje 400 osób, które uczestniczyły przez 6 miesięcy w
programie lojalnościowym; w tym czasie wypijały średnio 103.32 filiŜanki kawy
miesięcznie; wartość s wyniosła dla tej próby 16

Z wcześniejszych badań wiemy, Ŝe przeciętny uŜytkownik miesięcznie do tej
pory wypijał 100 filiŜanek miesięcznie

Stawiamy hipotezę zerową:

– program lojalnościowy nie ma Ŝadnego wpływu na wielkość konsumpcji,

czyli faktyczna średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka
sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

400 = 16/20 = 0.8

Obliczamy Z = (103.32-100)/0.8 = 4.15

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.05), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.96 (test dwustronny)

Stawiamy hipotezę zerową:

–

program lojalnościowy nie ma Ŝadnego wpływu na wielkość konsumpcji,
czyli faktyczna średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka
sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

400 = 16/20 = 0.8

Obliczamy Z = (103.32-100)/0.8 = 4.15

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.05), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.96 (test dwustronny)

___

Z wcześniejszych badań wiemy, Ŝe przeciętny uŜytkownik miesięcznie do tej
pory wypijał 100 filiŜanek miesięcznie

Przykład 3:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Przykład 3:

czy program lojalnościowy ma wpływ na konsumpcję kawy?

Stawiamy hipotezę zerową:

– program lojalnościowy nie zwiększa wielkości konsumpcji, czyli faktyczna

średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

64 = 16/8 = 2

Obliczamy Z = (103.32-100)/2 = 1.66

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.95), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.65 (bo wybieramy teraz test jednostronny)

Stawiamy hipotezę zerową:

–

program lojalnościowy nie zwiększa wielkości konsumpcji, czyli faktyczna
średnia liczba wypijanych filiŜanek kawy jest nadal taka sama

W tym wypadku µ

= 100, przyjmujemy σ = 16

Zatem σ

= 16/

√√√√

64 = 16/8 = 2

Obliczamy Z = (103.32-100)/2 = 1.66

Jeśli wybrany poziom ufności to 95% (

αααα

= 0.95), to wówczas krytyczna wartość

z = 1.65 (bo wybieramy teraz test jednostronny)

Ale...

To na razie było przybliŜenie – musieliśmy przyjąć załoŜenie, Ŝe σ

= s

, a to nie

całkiem prawda

Poprawna wersja wymaga zastosowania rozkładu t Studenta.
–

jest on jednak bardzo podobny do rozkładu normalnego i dla prób powyŜej N=100 daje
takie same wyniki

Wartość z dla rozkładu normalnego ma swój odpowiednik dla rozkładu t Studenta
–

wartość t

Sprawdzamy w tablicach, jaka jest krytyczna wartość t (dla poziomu ufności 95% i zadanej
wielkości próby)

Obliczamy wynik pomiaru podobnie jako poprzednio T = ( -

) / s

–

wartość T wynosi zatem tyle samo co wartość Z

Porównujemy wynik pomiaru T z krytyczną wartością t
–

wartości t róŜnią się trochę od wartości z

Przyjmujemy hipotezę zerową, jeśli t > T i odrzucamy, jeśli t < T

To na razie było przybliŜenie – musieliśmy przyjąć załoŜenie, Ŝe σ

= s

, a to nie

całkiem prawda

Poprawna wersja wymaga zastosowania rozkładu t Studenta.

–

jest on jednak bardzo podobny do rozkładu normalnego i dla prób powyŜej N=100 daje
takie same wyniki

Wartość z dla rozkładu normalnego ma swój odpowiednik dla rozkładu t Studenta

–

wartość t

Sprawdzamy w tablicach, jaka jest krytyczna wartość t (dla poziomu ufności 95% i zadanej
wielkości próby)

Obliczamy wynik pomiaru podobnie jako poprzednio T = ( -

) / s

–

wartość T wynosi zatem tyle samo co wartość Z

Porównujemy wynik pomiaru T z krytyczną wartością t

–

wartości t róŜnią się trochę od wartości z

Przyjmujemy hipotezę zerową, jeśli t > T i odrzucamy, jeśli t < T

Testy oparciu o rozkład t Studenta

Krytyczna wartość t dla wielkości próby N=64
i poziomu ufności 95% wynosi 1,998 (test dwustronny)

Wartość T dla przykładu 1 (N=64) wynosi 1,66

Przyjmujemy hipotezę zerową

Krytyczna wartość t dla wielkości próby N=400
i poziomu ufności 95% wynosi 1,97 (test dwustronny)

Wartość T dla przykładu 2 (N=400) wynosi 4,15

Odrzucamy hipotezę zerową

Krytyczna wartość t dla wielkości próby N=64
i poziomu ufności 95% wynosi 1,67 (test jednostronny)

Wartość T dla przykładu 3 (N=64) wynosi 1,66

Przyjmujemy hipotezę zerową

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

W szczególnych przypadkach

rozkład t Studenta daje inny

wynik niŜ rozkład normalny.

Zdarza się to dla małych prób;

jeśli N<100 stosowanie rozkładu

normalnego jest błędem

W szczególnych przypadkach

rozkład t Studenta daje inny

wynik niŜ rozkład normalny.

Zdarza się to dla małych prób;

jeśli N<100 stosowanie rozkładu

normalnego jest błędem

Wnioski

Wynik testu, a więc przyjęcie lub odrzucenie hipotezy zerowej zaleŜy od:

– wyniku pomiaru (to jasne), ale takŜe od
– wielkości próby (większe próby pozwalają przeprowadzać bardziej „czułe”

testy)

– sformułowania hipotezy zerowej (jednostronne czy dwustronne)
– przyjętego poziomu ufnośc

NaleŜy pamiętać o wyborze poprawnego rozkładu

Poprawna metodologia wymaga sformułowania hipotezy zerowej i określenia
poziomu ufności przed przeprowadzeniem testu

– liczy się wyłącznie porównanie wartości Z lub T z wartością krytyczną.
– hipotezę zerową przyjmujemy albo odrzucamy nawet wtedy gdy róŜnica jest

bardzo niewielka – niezaleŜnie od tego, czy nam się to podoba, czy nie!

– jeśli mamy wątpliwości, moŜna powtórzyć badanie na większej próbie…

Pamiętajmy, Ŝe statystyka nie chroni nas przed popełnieniem błędu!

– poziom ufności 95% oznacza, Ŝe mniej więcej raz na 20 pomiarów będziemy

wyciągać błędne wnioski

Wynik testu, a więc przyjęcie lub odrzucenie hipotezy zerowej zaleŜy od:

–

wyniku pomiaru (to jasne), ale takŜe od

–

wielkości próby (większe próby pozwalają przeprowadzać bardziej „czułe”
testy)

–

sformułowania hipotezy zerowej (jednostronne czy dwustronne)

–

przyjętego poziomu ufnośc

NaleŜy pamiętać o wyborze poprawnego rozkładu

Poprawna metodologia wymaga sformułowania hipotezy zerowej i określenia
poziomu ufności przed przeprowadzeniem testu

–

liczy się wyłącznie porównanie wartości Z lub T z wartością krytyczną.

–

hipotezę zerową przyjmujemy albo odrzucamy nawet wtedy gdy róŜnica jest
bardzo niewielka – niezaleŜnie od tego, czy nam się to podoba, czy nie!

–

jeśli mamy wątpliwości, moŜna powtórzyć badanie na większej próbie…

Pamiętajmy, Ŝe statystyka nie chroni nas przed popełnieniem błędu!

–

poziom ufności 95% oznacza, Ŝe mniej więcej raz na 20 pomiarów będziemy
wyciągać błędne wnioski

Średnia: podsumowanie

s =

– x )

N - 1

√√√√

____________

średnia obliczona

z próby

– średni roczny przebieg samochodu

odchylenie standardowe obliczone

z próby

, s

błąd standardowy

prawdziwa średnia dla populacji (nieznana)

prawdziwe odchylenie standardowe dla populacji (nieznane)

Wykonując pomiar na skończonej próbie, moŜemy uzyskać róŜne wyniki średniej:

z prawdopodobieństwem 68% x zawiera się w przedziale

z prawdopodobieństwem 95% x zawiera się w przedziale

2σ

z prawdopodobieństwem 99% x zawiera się w przedziale

3σ

Populacja

Próba

√√√√

___

Pytanie na koniec

Ostatecznie często przyjmujemy, Ŝe średnia w populacji jest równa (z jakimś przybliŜeniem)
wynikowi naszego badania. Czy to poprawny wiosek?

Inaczej mówiąc: jeśli

oraz biorąc pod uwagę powyŜsze rozwaŜania:

Czy wolno powiedzieć, Ŝe średnia wartość w populacji wynosi

na poziomie ufności 95%?

Średnia uzyskana w próbie

Prawdziwa średnia w populacji (nieznana)

Estymowana wariancja rozkładu średnich (błąd standardowy)

Wielkość próby

Wariancja rozkładu mierzonej wielkości (z próby)

± 2s

A jak jest dla procentów?

W badaniach bardzo wiele wyników podawanych jest w %, czyli jako
odsetek

Tu teŜ chcemy uzyskać moŜliwość wnioskowania o populacji
(na przykład jaki % dorosłych Polaków chce zagłosować na polityka X?)

– szczegóły rozumowania róŜnią się od tego, co pokazywaliśmy dla

średnich, ostatecznie jednak wnioski są bardzo podobne (inne są
oczywiście wzory)

– w przypadku odsetków równieŜ moŜna korzystać z rozkładu

normalnego

W badaniach bardzo wiele wyników podawanych jest w %, czyli jako
odsetek

Tu teŜ chcemy uzyskać moŜliwość wnioskowania o populacji
(na przykład jaki % dorosłych Polaków chce zagłosować na polityka X?)

–

szczegóły rozumowania róŜnią się od tego, co pokazywaliśmy dla
średnich, ostatecznie jednak wnioski są bardzo podobne (inne są
oczywiście wzory)

–

w przypadku odsetków równieŜ moŜna korzystać z rozkładu
normalnego

Proporcja (odsetek) - podsumowanie

p (1- p)

√√√√

____________

proporcja obliczona

z próby

– np. odsetek osób, które znają markę Jacobs

błąd proporcji obliczony

z próby

(obliczamy oszacowanie z góry)

Jaki jest prawdziwy odsetek osób znających markę Jacobs

w populacji?

Jaki jest prawdziwy odsetek osób znających markę Jacobs

w populacji?

prawdziwa proporcja dla populacji (nieznana)

Wykonując pomiar na próbie, moŜemy uzyskać róŜne wyniki:

z prawdopodobieństwem 68%

zawiera się w przedziale

z prawdopodobieństwem 95%

zawiera się w przedziale

2σ

z prawdopodobieństwem 99%

zawiera się w przedziale

3σ

≤

0,5 x 0,5

√√√√

____________

0,5

√√√√

______

MoŜna przyjąć, Ŝe

= S