Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 1
Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne punktu trafienia
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym
. Punkt
uznajemy za środek tarczy, zatem
)
,
(
Y
X
,
0
(
σ
N
)
2
)
0
,
0
(
2
2
Y
X
+
)
,
(
n
n
Y
X
jest odległością
od środka. Oddano
n
niezależnych strzałów . Oblicz wartość
oczekiwaną odległości od środka najlepszego ze strzałów, czyli
),...,
,
(
1
1
Y
X
(
)
2
2
2
1
2
1
,...,
min
n
n
Y
X
Y
X
E
+
+
.
(A)
n
2
πσ
(B)
n
1
2
2
⋅
πσ
(C)
n
2
2
πσ
(D)
n
2
2
σ
(E)
n
2
πσ
Wskazówka:
Zmienna losowa
(
)
2
2
2
1
2
1
,...,
min
n
n
Y
X
Y
X
+
+
( )
ma rozkład wykładniczy.
Można skorzystać z faktu, że
π
2
1
2
/
3
=
Γ
.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 2
W urnie znajduje sie 10 kul Amarantowych, 10 kul Białych i 10 kul Czarnych.
Losujemy bez zwracania 12 kul. Niech
• oznacza liczbę wylosowanych kul Amarantowych,
A
• B oznacza liczbę wylosowanych kul Białych,
•
oznacza liczbę wylosowanych kul Czarnych.
C
Oblicz współczynnik korelacji zmiennych losowych i
A
B ,
)
,
(
B
A
corr
(A)
2
1
(B)
2
1
−
(C)
30
12
−
(D)
30
24
(E)
30
24
−
Wskazówka: Var
.
0
)
(
=
+
+
C
B
A
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 3
Wykonujemy 4 rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek
otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg
ściśle rosnący.
(A)
6
4
(B)
6
2
(C)
⋅
4
6
6
1
4
(D)
4
6
!
4
(E)
!
6
!
4
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 4
Dysponujemy danymi o liczbie szkód zgłoszonych przez klientów 1
w ciągu
lat. Niech
oznacza sumaryczną liczbę szkód dla klienta numer w ciągu lat.
Wiemy, że są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona. Mamy
też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szkód, czyli
wartości oczekiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni.
k
,...,
2
,
i
n
)
(
n
S
i
(
1
n
S
n
)
(
),...,
n
S
k
Weryfikujemy hipotezę statystyczną
:
0
H dla każdego
, zmienna losowa
ma rozkład Poissona z
parametrem
k
i
,...,
1
=
)
(
n
S
i
i
n
λ
.
Hipotetyczne intensywności
k
λ
λ
,...,
1
są danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi.
Używamy pewnej odmiany testu chi-kwadrat: obliczamy statystykę
.
)
)
(
(
1
2
2
∑
=
−
=
k
i
i
i
i
n
n
n
S
λ
λ
χ
Jaki jest rozkład graniczny tej statystyki
, jeśli
jest prawdziwa i
?
2
χ
0
H
∞
→
n
(A) rozkład
z
stopniami swobody
2
χ
1
−
k
(B) rozkład
z stopniami swobody
2
χ
k
(C) pewien rozkład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny
rozkładów
.
2
χ
(D) zdegenerowany rozkład prawdopodobieństwa, skupiony w punkcie 0
(E) rozkład
z stopniami swobody
2
χ
n
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 5
Rozważamy model
K obiektów obserwowanych przez T okresów czasu, gdzie
zarówno
K jak i T są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia:
• dla każdego
K
k
,...,
2
,
1
=
oraz
t
T
,...,
2
,
1
=
warunkowy rozkład zmiennej losowej
przy danej wartości zmiennej
k
t
X
,
k
µ
jest rozkładem normalnym o wartości
oczekiwanej i wariancji
(
)
2
,
σ
µ
k
;
• dla każdego
K
k
,...,
2
,
1
=
rozkład zmiennej losowej
k
µ
jest rozkładem
normalnym o wartości oczekiwanej i wariancji
(
)
2
,
a
µ
.
Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obiektowych i średniej ogólnej:
∑
=
=
T
t
k
t
k
X
T
X
1
,
1
,
,
oraz
K
k
,...,
2
,
1
=
∑
=
=
T
t
k
X
K
X
1
1
.
Międzyobiektową i wewnątrzobiektową sumę kwadratów odchyleń oznaczmy:
(
)
∑
=
−
=
K
k
k
X
X
1
2
SSB
,
(
)
∑∑
=
=
−
=
T
t
K
k
k
k
t
X
X
SSW
1
1
2
,
Wiadomo, że zmienne losowe
i
są niezależne,
SSB
SSW
{ } (
)
+
−
=
T
a
K
SSB
E
2
2
1
σ
,
{
}
(
)
2
1
σ
−
=
T
K
SSW
E
Dobierz stałą const tak, aby wartość oczekiwana wyrażenia:
SSB
SSW
⋅
const
wyniosła
2
2
2
σ
σ
+
T
a
.
(A)
(
)
1
3
−
−
=
T
TK
K
const
(B)
(
)
1
2
−
−
=
T
TK
K
const
(C)
(
)
1
1
−
−
=
T
TK
K
const
(D)
(
)(
)
1
1
2
−
+
−
=
T
K
T
K
const
(E)
(
)(
)
1
1
1
−
+
−
=
T
K
T
K
const
Uwaga (dopisana po egzaminie):
Wynik stanowi podstawę konstrukcji nieobciążonego estymatora współczynnika
credibility z, a dokładniej jego dopełnienia
(
)
z
−
1
. Wynik ten prowadzi do wniosku,
że na zwiększenie precyzji predykcji
k
µ
na drodze uwzględnienia danych o
pozostałych grupach (collateral data) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup
K wyniesie co najmniej 4.
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 6
Załóżmy, że
jest próbką z rozkładu normalnego
o nieznanej
wartości oczekiwanej i nieznanej wariancji, zaś
jest zmienną losową z tego
samego rozkładu, niezależną od próbki. Interpretujemy zmienną
jako kolejną
obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj
,,przedział ufności’’
4
1
,..., X
X
)
,
(
2
σ
µ
N
5
X
5
X
[
)]
,...,
(
),
,...,
(
[
]
,
4
1
4
1
X
X
U
X
X
L
U
L
=
oparty na próbce
taki, że
4
1
,..., X
X
{
}
95
.
0
)
,...,
(
)
,...,
(
Pr
4
1
5
4
1
=
≤
≤
X
X
U
X
X
X
L
,
przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczny, tzn.
X
U
L
=
+ )
(
2
1
. Używamy
tutaj oznaczeń:
.
)
(
3
1
,
4
1
4
1
2
2
4
1
∑
∑
=
=
−
=
=
i
i
i
i
X
X
S
X
X
(A)
S
X
L
⋅
−
=
558
.
3
,
S
X
⋅
+
=
558
.
3
U
(B)
S
X
L
⋅
−
=
591
.
1
,
S
X
⋅
+
=
591
.
1
U
(C)
S
X
L
⋅
−
=
182
.
3
,
S
X
⋅
+
=
182
.
3
U
(D)
S
X
L
⋅
−
=
104
.
3
,
S
X
⋅
+
=
104
.
3
U
(E)
S
X
L
⋅
−
=
558
.
0
,
S
X
⋅
+
=
558
.
0
U
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 7
Niech
będzie próbką z rozkładu normalnego
9
2
1
,...,
,
X
X
X
)
1
,
(
µ
N
o nieznanej
wartości oczekiwanej i znanej wariancji
. Rozpatrzmy zadanie testowania
hipotezy
1
2
=
σ
0
:
0
=
µ
H
przeciwko alternatywie
5
.
0
:
1
=
µ
H
. Należy zbudować taki test,
dla którego suma prawdobodobieństw błędów I i II rodzaju, oznaczanych
odpowiednio przez
α i
β
jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość
β
α
+ .
(A) 0.1000
(B) 0.2266
(C) 0.1336
(D) 0.0500
(E) 0.4533
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 8
Wektor losowy (
ma łączny rozkład prawdopodobieństwa dany następującą
tabelką:
)
,
Y
X
1
=
Y
2
=
Y
1
=
X
)
1
(
4
1
θ
−
θ
4
1
2
=
X
θ
4
3
)
1
(
4
3
θ
−
gdzie )
1
,
0
(
∈
θ
jest nieznanym parametrem. Na podstawie 25-elementowej próbki z
tego rozkładu, obliczono estymator największej wiarogodności
. Oblicz wariancję estymatora, Var
.
)
,
(
),...,
,
(
25
25
1
1
Y
X
Y
X
θ
ˆ
)
ˆ
(
θ
(A)
5
)
1
(
)
ˆ
(
θ
θ
θ
−
=
Var
(B)
20
3
)
ˆ
(
=
θ
Var
(C)
20
)
1
(
)
ˆ
(
θ
θ
θ
−
=
Var
(D)
25
)
1
(
)
ˆ
(
θ
θ
θ
−
=
Var
(E)
5
)
ˆ
(
θ
θ
=
Var
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 9
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym o gęstości
,...
,...,
1
n
X
X
>
=
−
.
0
;
0
)
(
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
e
x
f
x
α
α
Niech
będzie zmienną losową niezależną od
, o rozkładzie Poissona z
parametrem
N
,...
,...,
1
n
X
X
λ . Niech
{
}
=
>
=
.
0
0
;
0
,
,...,
min
1
N
gdy
N
gdy
X
X
Y
N
Oblicz przy założeniu, że .
)
|
(
y
Y
N
E
=
0
>
y
(A) 1
y
e
α
λ
−
+
(B) 1
y
e
λ
α
−
−
(C)
y
e
α
λ
−
(D) 1
y
e
α
λ
−
−
(E)
y
e
α
αλ
−
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
Zadanie 10
Rozważmy trzy zdarzenia losowe
w pewnej przestrzeni probabilistycznej
. Niech
2
1
,
,
C
C
E
Ω
2
1
,
,
C
C
E
′
′
′
oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiemy, że
• Zdarzenia
C
są niezależne i
2
1
,C
p
C
C
=
=
)
Pr(
)
2
1
Pr(
;
•
r
C
C
E
C
E
C
E
=
∩
=
=
)
|
Pr(
)
|
Pr(
)
|
Pr(
2
1
2
1
;
•
.
1
)
|
Pr(
2
1
=
′
∩
′
′
C
C
E
Oblicz
Pr(
.
)
|
1
E
C
(A)
p
−
2
1
(B) p
(C)
p
r
−
2
(D)
p
+
1
1
(E)
p
r
+
1
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.05.2003r
.
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko ...........................K L U C Z O D P O W I E D Z I...........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 C
2 B
3 C
4 B
5 A
6 A
7 E
8 D
9 A
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
Document Outline