Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki
dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część II. Kinematyka
II.1) Ruch punktu materialnego opisany jest równaniem:
x(t) =
b
c
2
ct + e
−ct
,
gdzie b, c — stałe dodatnie. Znaleźć: a) prędkość początkową, b) maksymalną
prędkość, c) maksymalne przyspieszenie punktu.
II.2) Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu wyraża się wzorem:
s(t) = at
4
−bt
2
. Znajdź ekstremalną wartość prędkości ciała. Sporządź wykres
zależności prędkości chwilowej od czasu.
II.3) Korzystając z ogólnych definicji prędkości i przyspieszenia wyprowadź
równania ruchu jednostajnie zmiennego w przypadku jednowymiarowym.
II.4) Cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi x. Jej prędkość v zależy
od x zgodnie ze wzorem v = αx, gdzie α jest stałą dodatnią. Wyznaczyć: a)
zależność prędkości od czasu, b) średnią prędkość cząstki w czasie, w którym
przebędzie ona pierwszych s metrów drogi. Przyjąć, że x = x
0
dla t = 0.
II.5) Ruch punktu materialnego opisują równania: x(t) = αt, y(t) = βt−γt
2
.
Znaleźć: a) równanie toru, b) prędkość i przyspieszenie po czasie t, c) kąt
między wektorami prędkości i przyspieszenia po czasie t.
II.6) Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w nastę-
pujący sposób: ~r(t) = 5t~ı + exp(−t)~ + sin(4t)~k. Znaleźć zależność od czasu
prędkości punktu oraz jego przyspieszenia.
II.7) Dwie cząstki poruszają się w prostokątnym układzie współrzędnych
ze stałymi prędkościami: ~v
1
= 2~ı [m/s] i ~v
2
= 3~ [m/s]. W chwili t = 0
cząstki te znajdują się odpowiednio w punktach: ~r
1
= −3~ı [m] oraz ~r
2
= −3~
[m]. Znaleźć wektor określający położenie cząstki pierwszej względem drugiej.
Wyznaczyć czas, w którym cząstki zbliżą się na najmniejszą odległość oraz
położenia cząstek w tej chwili.
II.8) Równania ruchu dwóch punktów wyglądają jak następuje:
~r
1
(t) = (0, 2, 0) + (3, 1, 2)t + (1, 1, 0)t
2
[m],
1
~r
2
(t) = (1, 0, 1) + (0, 2, 1)t [m].
Znaleźć prędkość i przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego.
II.9) Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v
1
, prostopa-
dłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów,
ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem
v
2
= v
0
sin (πy/L), gdzie v
0
i L są stałymi (L jest szerokością rzeki). Znaleźć:
a) wartość prędkości łódki względem nieruchomych brzegów, b) kształt toru
łódki.
II.10) Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 1,2 m ru-
chem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem stycznym a
t
= 2 m/s
2
.
Po jakim czasie przyspieszenie normalne będzie k = 3 razy większe od przy-
spieszenia stycznego?
II.11) Wentylator obraca się, wykonując n = 3000 obr/min. Po wyłączeniu
prądu wentylator zatrzymuje się po czasie t = 3 min. Ile obrotów wykonają
śmigła wentylatora podczas hamowania?
II.12) Punkty leżące wzdłuż promienia obracającego się koła przebywają
drogę kątową, zależną od czasu zgodnie z równaniem: α = At−Bt
3
, gdzie A =
0,3 rad/s, B = 0,01 rad/s
3
. Znaleźć dla tych punktów zależność prędkości
kątowej i przyspieszenia kątowego od czasu. Wyznaczyć prędkość liniową oraz
całkowite przyspieszenie punktów leżących na obwodzie koła w chwili t = 5
s, jeżeli promień koła wynosi R = 0,5 m.
II.13) Wektor wodzący, określający położenie punktu materialnego, zmienia
się z czasem zgodnie z równaniem: ~r(t) = r
0
(~ı sin ωt + ~ cos ωt), gdzie r
0
= 5
cm, ω = π/2 s
−1
. Znaleźć wektor prędkości i wektor przyspieszenia, podać ich
bezwzględne wartości i obliczyć kąt, jaki tworzy wektor wodzący z wektorem
prędkości liniowej.
II.14) Koło o promieniu R toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu
ze stałą prędkością v
0
. Znaleźć długości wektorów prędkości i przyspiesze-
nia dowolnego punktu na obwodzie koła. Podać równanie toru tego punktu,
przyjmując, że dla t = 0 jego współrzędne wynosiły x = 0, y = 0, natomiast
współrzędne środka koła były równe x = 0, y = R. Obliczyć całkowitą drogę
przebytą przez punkt leżący na obwodzie koła między kolejnymi zetknięciami
tego punktu z podłożem.
2
Odpowiedzi
II.1) a) v(0) = 0, b) v
max
= v(∞) = b/c, c) a
max
= a(0) = c.
II.2) v
ext
= ±
4
3
b
q
b
6a
.
II.3) x = x
0
+ v
0
t +
a
0
t
2
2
(dla t = 0 x = x
0
i v = v
0
).
II.4) a) v(t) = ax
0
e
at
, b) v
śr
=
as
ln(1+s/x
0
)
.
II.5) a) y(x) = −
γx
2
α
2
+
βx
α
, b) ~v(t) = α~ı + (β − 2γt)~, ~a(t) = −2γ~,
c) tg δ =
α
β−2γt
.
II.6) ~v(t) = 5~ı − exp(−t)~ + 4 cos(4t)~k, ~a(t) = exp(−t)~ − 16 sin(4t)~k,
II.7) ~r
12
(t) = (−3 + 2t)~ı + 3(1 − t)~ [m], t
0
= 1,154 [s], ~r
1
(t
0
) = −0,692~ı [m],
~r
2
(t
0
) = 0,462~ [m].
II.8) ~v(t) = −(3 + 2t)~ı + (1 − 2t)~ − ~k [m/s], ~a(t) = −2~ı − 2~ [m/s
2
].
II.9) a) v(y) =
q
v
2
1
+ v
2
0
sin
2
(πy/L), b) x(y) =
Lv
0
πv
1
[1 − cos (πy/L)].
II.10) t =
q
kR
a
t
≈ 1,34 s.
II.11) N =
1
2
nt = 4500 obr.
II.12) ω = A − 3Bt
2
, ε = −6Bt, v = (A − 3Bt
2
) R = −0,225 m/s,
a
t
= −6BtR = −0,15 m/s
2
.
II.13) ~v = ωr
0
(~ı cos ωt − ~ sin ωt), ~a = −ω
2
r
0
(~ı sin ωt + ~ cos ωt),
v = ωr
0
= 5π/2 cm/s, a = ω
2
r
0
= 5π
2
/4 cm/s
2
, α = π/2.
II.14) v = 2Rω| sin
ωt
2
|, a = Rω
2
, gdzie ω = v
0
/R,
x = R arc cos
R−y
R
−
q
y(2R − y), s = 8R.
3
Wzory
1. Kinematyka punktu materialnego
a) równania ruchu (rys. 1):
~r = ~r(t)
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
droga:
s = s(t)
b) równania toru:
y = y(x), z = z(x)
c) prędkość:
~v =
d~r
dt
v
x
=
dx
dt
, . . .
v =
ds
dt
[v] = m/s
d) przyspieszenie:
~a =
d~v
dt
=
d
2
~r
dt
2
a
x
=
dv
x
dt
=
d
2
x
dt
2
, . . .
[a] = m/s
2
e) przyspieszenie styczne i normalne (rys. 2):
a
t
=
dv
dt
=
d
2
s
dt
2
4
a
n
=
v
2
ρ
ρ — promień krzywizny toru
f) ruch jednostajny prostoliniowy:
~v = ~v
0
= const
~r = ~r
0
+ ~v
0
t
(dla t = 0 ~r = ~r
0
)
g) ruch jednostajnie zmienny:
~a = ~a
0
= const
~v = ~v
0
+ ~a
0
t
~r = ~r
0
+ ~v
0
t +
~a
0
t
2
2
(dla t = 0 ~r = ~r
0
i ~v = ~v
0
)
2. Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywnego
a) równanie ruchu (rys. 3):
ϕ = ϕ(t)
[ϕ] = rad
b) prędkość kątowa:
ω =
dϕ
dt
[ω] = rad/s
c) przyspieszenie kątowe:
ε =
dω
dt
=
d
2
ϕ
dt
2
[ε] = rad/s
2
d) związki między ~v, ~a
t
i ~a
n
oraz ~ω i ~ε (rys. 4a,b):
~v = ~ω × ~r
5
~a
t
= ~ε × ~r
~a
n
= −ω
2
~r
e) ruch obrotowy jednostajny:
ω = ω
0
= const
ϕ = ϕ
0
+ ω
0
t
(dla t = 0 ϕ = ϕ
0
)
ω
0
=
2π
T
= 2πν
T — okres, [T ] = s, ν — częstotliwość, [ν] = s
−1
f) ruch obrotowy jednostajnie zmienny:
ε = ε
0
= const
ω = ω
0
+ ε
0
t
ϕ = ϕ
0
+ ω
0
t +
ε
0
t
2
2
(dla t = 0 ϕ = ϕ
0
i ω = ω
0
)
O
z
y
x
A'
A
t = 0
t
s
r
Rysunek 1:
Rysunek 2:
6
