ro12

Rozdział 12

Ruch własny gwiazd

12.1

Streszczenie

Ruchy własne gwiazd po raz pierwszy zauwa˙zył E. Halley w XVIII stuleciu. S ˛

a to niewielkie

przemieszczenia k ˛

atowe gwiazd na sferze niebieskiej, najcz˛e´sciej poni˙zej

/rok. O przestrzen-

nym ruchu gwiazd zakłada si˛e, ˙ze przebiega po prostej ze stał ˛

a szybko´sci ˛

a. Pr˛edko´s´c przestrzenn ˛

opisujemy z pomoc ˛

a składowej radialnej (wyznaczanej w oparciu o efekt Dopplera) oraz skład-

owej tangencjalnej (obserwowanej metodami astrometrycznymi). Roczny ruch własny gwiazdy

definiuje si˛e jako jej całkowite k ˛

atowe przemieszczenie na sferze niebieskiej, które miało miejsce

w interwale jednego roku. Zało˙zenie stało´sci przestrzennego wektora pr˛edko´sci gwiazdy nie
poci ˛

aga stało´sci w czasie składowych ruchu własnego

;

. Warto´sci te ulegaj ˛

a zmianie w miar˛e

przemieszczania si˛e gwiazdy na sferze niebieskiej, s ˛

a to tzw. zmiany wewn˛etrzne. Zmianom ulega

tak˙ze roczny ruch własny

, tempo tych zmian nosi nazw˛e przyspieszenia perspektywicznego.

Warto´sci

;

s ˛

a okre´slone wzgl˛edem konkretnego układu odniesienia, dlatego podczas zmiany

układu koniecznym jest uwzgl˛ednienie wpływu precesji L-S na te składowe.
Współcze´snie ruchy własne wyznaczane s ˛

a metodami astrometrii fotograficznej lub za pomoc ˛

ró˙znych wariantów astrometrii CDD. W katalogu Tycho 2 podane s ˛

a ruchy własne dla ponad

2:5

miliona gwiazd.
Słowa kluczowe: ruch własny, zmiany składowych

;

: wewn˛etrzne i precesyjne.

154

Ruch własny gwiazd

Rysunek 12.1: Fotografie gwiazdy podwójnej

61C

wykonane w ró˙znych epokach. Barycen-

trum układu dwóch orbituj ˛

acych gwiazd przemieszcza si˛e ruchem własnym około

rocznie.

Przemieszczenie to łatwo zauwa˙zy´c na tle gwiazd o niewielkim ruchu własnym.

12.2

Wst˛ep

Istniej ˛

a przekazy [17] ´swiadcz ˛

ace, ˙ze astronom chi´nski I. Sin ˙zyj ˛

acy w latach AD 683–727,

porównuj ˛

ac wykonane przez siebie obserwacje wzgl˛ednych poło˙ze´n gwiazd z gwiazdozbioru

Strzelca z obserwacjami swych poprzedników, sformułował hipotez˛e o zmianie z czasem k ˛

towych odległo´sci pomi˛edzy gwiazdami.

W Europie ruchy własne gwiazd po raz pierwszy zauwa˙zył E. Halley. W roku 1718 Halley

porównał współczesne mu poło˙zenia Syriusza, Procjona i Arktura z ich poło˙zeniami podanymi w
Almage´scie Ptolemeusza. W roku 1742 Bradley sformułował przypuszczenie, ˙ze ruchy gwiazd
odzwierciedlaj ˛

a ruch Sło ´nca w przestrzeni. Trzydzie´sci trzy lata pó´zniej Mayer opublikował pier-

wszy katalog zawieraj ˛

acy ruchy własne ponad stu gwiazd. Nast˛epne katalogi opracowane przez

Argelandera, Bessel’a pozwoliły na wyci ˛

agni˛ecie wniosku, ˙ze istniej ˛

a składowe ruchu własnego

gwiazd wynikaj ˛

ace wył ˛

acznie z ich ruchów w przestrzeni.

Ze wzrostem dokładno´sci pomiarów astrometrycznych okazało si˛e, ˙ze ruchy własne gwiazd

s ˛

a bardzo małe, ich wielko´s´c rzadko przekracza 0

1/rok. Np. najbli˙zsza Sło ´nca gwiazda

Cen-

taura ma ruch własny 3

682/rok,

Małej Nied´zwiedzicy ma ruch własny 1

242/rok, ruch ruczny

gwiazdy 61 Łab˛edzia wynosi 5

234/rok, natomiast gwiazdy

Liry osi ˛

aga 0

343/rok. Najwi˛ekszy

ruch własny wykazuje gwiazda Barnarda, wynosi on 10

27rok. Jest to słaba gwiazda o jasno´sci

9:7

Pocz ˛

atkowo ruchy własne wyznaczano w trakcie kompilacji (zestawiania) absolutnych wiz-

ualnych katalogów pozycyjnych w katalogi zbiorcze zwane fundamentalnymi. Na masowe wyz-
naczenie ruchów własnych trzeba było poczeka´c do momentu opanowania metod wzgl˛ednych
wyznaczania poło˙ze´n ciał niebieskich (fotografia, CCD). W czasach współczesnych znane s ˛

ruchy własne ponad

2:5

miliona gwiazd.

Znajomo´s´c ruchów własnych gwiazd wa˙zna jest z dwóch powodów:

astronomiczny układ odniesienia oparty jest na obserwacjach gwiazd, zatem istotn ˛

a jest

znajomo´s´c k ˛

atowych przesuni˛e´c w czasie tych reperów,

do badania kinematyki układów gwiazdowych w celu okre´slenia przestrzennych pr˛edko´sci
gwiazd, obok składowych pr˛edko´sci radialnych i paralaks, konieczn ˛

a jest znajomo´s´c abso-

lutnych ruchów własnych a tak˙ze składowych pr˛edko´sci Sło ´nca.

Tak ˛

a liczbe gwiazd zawiera katalog poło˙ze´ni ruchów własnych gwiazd Tycho 2.

12.3 Poj˛ecia podstawowe, definicje

155

Obok znajomo´sci tempa zmian współrz˛ednych, równie istotna jest informacja wzgl˛edem jakiego
układu odniesienia okre´slono ruchy własne gwiazd. Powi ˛

azanie systemu ruchów własnych z iner-

cjalnym układem odniesienia nazywane jest absolutyzacj ˛

a ruchów własnych.

12.3

Poj˛ecia podstawowe, definicje

Ruchami własnymi gwiazd nazywamy ich widome przemieszczenia na sferze niebieskiej, które
zaszły w trakcie roku. Wyznaczane s ˛

a poprzez porównanie poło˙ze´n danej gwiazdy pochodz ˛

acych

z ró˙znych epok obserwacji, po uwzgl˛ednieniu w poło˙zeniach zmian precesyjnych.

Przy wyznaczaniu ruchów własnych niemal zawsze zakłada si˛e, ˙ze w przestrzeni gwiazdy

poruszaj ˛

a si˛e prostoliniowo. Oznacza to, ˙ze rzuty gwiazd na sferze niebieskiej przemieszczaj ˛

si˛e po kołach wielkich. Odst˛epstwa od tego zało˙zenia s ˛

a rzadkim zjawiskiem, a to z powodu

ogromnych odległo´sci gwiazd od Układu Słonecznego. Dokładno´s´c pomiarów ruchów własnych
jest na tyle niska, ˙ze najcz˛e´sciej uniemo˙zliwia wykrycie odst˛epstw od prostoliniowo´sci. Jest tak
we wszystkich przypadkach poza tymi, w których mamy do czynienia z wyj ˛

atkowo du˙zymi zmi-

anami poło˙ze´n gwiazd.

Ruch własny nie jest rezultatem przemieszczania si˛e samej gwiazdy w

przestrzeni. Odzwierciedla on równie˙z ruch Układu Słonecznego objawiaj ˛

acy si˛e poprzez rozb-

ieganie i skupianie si˛e gwiazd w kierunku apeksu i antyapeksu ruchu Sło ´nca. Zmiany poło˙ze´n
gwiazdy okresowej natury, b˛ed ˛

ace efektem np. paralaksy rocznej nie s ˛

a wł ˛

aczane do jej ruchu

własnego.

Załó˙zmy, ˙ze dysponujemy układem odniesienia o pocz ˛

atku w centrum Sło ´nca. Wzgl˛edem

takiego układu b˛edziemy analizowali ruchy indywidualnych gwiazd. Niech gwiazda ma pr˛edko´s´c

a jej poło˙zenie okre´slone jest za pomoc ˛

a wersora

(kierunek

na rysunku 12.2). Pr˛edko´s´c

V mo˙zemy rozdzieli´c na składow ˛

a radialn ˛

i pr˛edko´s´c transwersaln ˛

(12.1)

Ze znanych zale˙zno´sci mamy (patrz [?])

(12.2)

Składowa radialna mo˙ze by´c zmierzona za po´srednictwem zjawiska przesuni˛ecia Dopplera w
widmie gwiazdy. Składowa transwersalna natomiast, nie mo˙ze by´c wyznaczona bezpo´srednio.
Kierunek tej składowej jest ustalony w oparciu o pomiary pozycyjnego przesuni˛ecia gwiazdy,
czyli jej ruchu własnego

. Natomiast jej długo´s´c mo˙zna wyznaczy´c tylko wówczas gdy znana

jest odległo´s´c gwiazdy od Sło ´nca.

Na rysunku 12.2 litera

oznacza poło˙zenie gwiazdy, z upływem czasu poło˙zenie to, wprawdzie

bardzo powoli ale ulega zmianie. Skala czasowa tych zmian jest rz˛edu okresu rotacji Galaktyki
(

lat). Dlatego w interwałach czasu wyra´znie krótszych, zupełnie uzasadnionym jest za-

ło˙zenie o stało´sci wektora pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca. Przy takim zało˙zeniu trajektoria
gwiazdy reprezentowana jest przez prost ˛

, a para zmiennych

;

pełni rol˛e współrz˛ednych

biegunowych gwiazdy wzgl˛edem bieguna (Sło ´nca) i linii pocz ˛

atkowej

Przyjmijmy, ˙ze odległo´s´c

mierzona jest w kilometrach, k ˛

w radianach natomiast czas

w latach. Pr˛edko´s´c tradycyjnie okre´slana jest w

m=s

. W takich jednostkach składowe pr˛edko´sci

maj ˛

a posta´c

sin

(12.3)

(12.4)

Odst˛epstwo od jednostajnego ruchu w przestrzeni odkryto jedynie u kilkudziesi˛eciu fundamentalnych gwiazd.

156

Ruch własny gwiazd

Rysunek 12.2: Ruch gwiazdy

wzgl˛edem Sło ´nca

. Gwiazda porusza si˛e po prostej

ze stała

pr˛edko´sci ˛

. Obserwator wyznacza składowe: radialn ˛

i tangencjaln ˛

tej pr˛edko´sci.

gdzie — skoro

ma by´c w latach zwrotnikowych, a pr˛edko´s´c w km/s — liczba sekund w roku

3600

365:2224

Roczny

ruch własny

gwiazdy definiuje si˛e jako całkowite k ˛

atowe przemieszczenie gwiazdy

na sferze niebieskiej odniesionej do nieruchomego równika i równonocy, które miało miejsce w
interwale jednego roku. Tradycyjnie

mierzone jest w sekundach łuku na rok i w tych jednostkach

ruch własny okre´slony jest formuł ˛

(12.5)

któr ˛

a łatwo otrzyma´c z jej odpowiednika w radianach.

za pomoc ˛

a paralaksy rocznej odległo´s´c

do gwiazdy mo˙zemy wyrazi´c jako

[p ℄

gdzie

wyst˛epuje w sekundach łuku. Przechodz ˛

ac do jednostek astronomicznych, a nast˛epnie do

kilometrów, b˛edziemy mieli

206265

[AU

℄

sin

1:496108

m℄

St ˛

w kilometrach b˛edzie

(12.6)

gdzie

jest jednostk ˛

a astronomiczn ˛

a w km (

1:496108

km).

Mamy wi˛ec now ˛

a posta´c równania (12.4)

(12.7)

a po podstawieniu warto´sci liczbowych

4:74

m=sek

℄

(12.8)

Roczny ruch własny gwiazdy

rozkładany jest na składowe

;

w rektascensji i deklinacji, od-

powiednio. Składowe te reprezentuj ˛

a roczne tempo zmiany rektascensji i deklinacji gwiazdy. Na

rysunku 12.3 zaznaczono dwa poło˙zenia

gwiazdy odpowiadaj ˛

ace momentom czasu ró˙zni ˛

cym si˛e o

. Czyli

. Je˙zeli

, b˛edzie północnym biegunem niebieskim, wówczas

k ˛

jest k ˛

atem pozycyjnym ruchu własnego. K ˛

at ten mierzony jest w kierunku ze-

garowym i przyjmuje warto´sci z przedziału

[0;

360

℄

. Małe koło o biegunie w

, przechodz ˛

ace

12.4 Zmiany składowych ruchu własnego

157

’

cos

90−

X’

Rysunek 12.3: Składowe ruchu własnego w rektascensji i deklinacji.

przez

przecina koło wielkie

w punkcie

. Je˙zeli (

;

) s ˛

a równikowymi współrz˛ednymi

gwiazdy

, natomiast (

dÆ

) s ˛

a współrz˛ednymi gwiazdy

, łatwo przekona´c si˛e, ˙ze

dÆ

Traktuj ˛

ac mały trójk ˛

jako płaski, w pierwszym przybli˙zeniu mo˙zna przyj ˛

a´c, ˙ze

sin

dÆ

Poniewa˙z z definicji, składowe ruchu własnego

s ˛

a pochodnymi

d=dt

oraz

dÆ

=dt

a zatem mo-

˙zemy je otrzyma´c dziel ˛

ac obie strony równania powy˙zej przez

. W praktyce składow ˛

poda-

jemy w sekundach czasu na rok, składow ˛

w sekundach łuku na rok

sin

(12.9)

Zało˙zenie o stało´sci wektora pr˛edko´sci gwiazdy jak dot ˛

ad nie było nam potrzebne. Skorzystamy z

niego w trakcie dedukcji tempa zmian składowych

. Jedn ˛

a z konsekwencji prostoliniowego

ruchu gwiazdy jest to, ˙ze projekcja centralna trajektorii gwiazdy na sfer˛e jest fragmentem koła
wielkiego. (Trajektoria ruchu gwiazdy wraz ze Sło ´ncem definiuj ˛

a płaszczyzn˛e, która przecina

sfer˛e wzdłu˙z koła wielkiego). Warto te˙z zapami˛eta´c, ˙ze stało´s´c w czasie wektora pr˛edko´sci

gwiazdy

nie

poci ˛

aga stało´sci składowych

;

Niech punkt

z rysunku 12.3 b˛edzie punktem na sferze wyznaczonym przez kierunek wektora

pr˛edko´sci gwiazdy. Punkt ten le˙zy oczywi´scie na kole wielkim

. Oznaczmy k ˛

przez

, jest to k ˛

at pozycyjny ruchu własnego gwiazdy w momencie

, mamy oczywisty zwi ˛

azek

(12.10)

12.4

Zmiany składowych ruchu własnego

Składowe (

;

) ruchu własnego s ˛

a pierwszymi pochodnymi współrz˛ednych równikowych gwiazd.

Je´sli jeste´smy zainteresowani zmianami współrz˛ednych poło˙zenia gwiazdy w interwale

okre´slonych

jako (

), to jest to rownowa˙zne rozwini˛eciu wyra˙ze´n

((t);

(t))

w szeregi Taylora i ob-

ci˛eciu szeregów na wyrazach pierwszego rz˛edu. Dla gwiazd bliskich o du˙zym ruchu własnym nie
jest to wystarczaj ˛

ace i dlatego nale˙zy doł ˛

aczy´c przynajmniej wyrazy rz˛edu drugiego. Te za´s okre´s-

lone s ˛

a poprzez pochodne z

. Wyprowadzimy wyra˙zenia na te pochodne przyjmuj ˛

ac, ˙ze

158

Ruch własny gwiazd

równik i punkt równonocy s ˛

a nieruchome (co oznacza, ˙ze chwilwo wył ˛

aczamy z rozwa˙za´n zmiany

precesyjne), czyli rozpatrujemy zmiany w

, które s ˛

a wył ˛

acznie efektem ruchu gwiazdy na

sferze niebieskiej. O zmianach tych mówimy jako o wewn˛etrznych zmianach składowych ruchu
własnego.

Obliczaj ˛

ac pochodne równa´n (12.9) dostaniemy

sin

tan

dÆ

sin

(12.11)

Pochodne z

s ˛

a wyra˙zone w mierze kołowej, o pozostałych wielko´sciach zakłada si˛e, ˙ze s ˛

a w

jednostkach praktycznych. Pami˛etaj ˛

ac o definicji

dÆ

sin

(12.12)

a tak˙ze dokonuj ˛

ac w równaniu (12.11) stosownych podstawie´n lewych stron równa´n (12.9) dostaniemy

sin

tan

sin

(12.13)

Aby móc wykorzysta´c te wzory, trzeba dysponowa´c tempem zmian k ˛

ata pozycyjnego

oraz

pochodnymi k ˛

atowego ruchu własnego

. Oznaczaj ˛

ac przez (

;

) współrz˛edne punktu

(patrz

12.3), mo˙zemy zidentyfikowa´c k ˛

aty trójk ˛

ata

jako:

;

180

A wówczas z twierdzenia sinusów mamy

sin

co oznacza, ˙ze w trakcie przemieszczania si˛e gwiazdy wzdłu˙z koła wielkiego

, wielko´s´c

sin

jest zachowana, czyli:

( os

sin

)

st ˛

ad, obliczaj ˛

ac t ˛

a pochodn ˛

a dostaniemy

tan

dÆ

za pomoc ˛

a równa´n (12.9)

sin

dÆ

i znowu wykorzystuj ˛

ac (??), bior ˛

ac jeszcze (??), ostatecznie mamy

sin

(12.14)

Tempo zmian

nazywane bywa

przyspieszeniem perspektywicznym

. Otrzymamy je

ró˙zniczkuj ˛

ac obie strony równania (12.4)

sin

12.5 Ruch własny, podej´scie wektorowe

159

Pochodne k ˛

ata

mo˙zna wyeliminowa´c za pomoc ˛

a równania (??) i jego pierwszej pochodnej,

mianowicie

sin

Dalszych uproszcze´n mo˙zna dokona´c za pomoc ˛

a równania (??), w efekcie otrzymamy

2nV

Podstawiaj ˛

ac za odległo´s´c

praw ˛

a stron˛e równania (??), przyspieszenie perspektywiczne b˛edzie

równe

sin

(12.15)

a po podstawieniu stałych liczbowych

0:422V

sin

(12.16)

Z pochodnymi k ˛

ata pozycyjnego i ruchu własnego mo˙zemy teraz powróci´c do równa´n (12.13)

0:422

sin

tan

sin

0:422V

sin

a robi ˛

ac u˙zytek z równa´n (12.9) wewn˛etrzne zmiany ruchu własnego otrzymaj ˛

a posta´c

0:422V

sin

tan

sin

0:422V

sin

225

sin

(12.17)

gdzie, składowa

wyra˙zona jest w

[sek

℄

, składowa

[

℄

, paralaksa

w sekundach

k ˛

atowych, a pr˛edko´s´c radialna

m=s℄

Pochodne (12.17) s ˛

a wymagane jedynie w przypadkach szczególnie du˙zego ruchu własnego.

Sytuacje takie maj ˛

a miejsce dla gwiazd bliskich i szybkich. W takich wypadkach wyra˙zenia

(12.17) umo˙zliwiaj ˛

a obliczenie przemieszczenia gwiazdy z du˙z ˛

a precyzj ˛

a. Przyjmijmy przykład-

owo, ˙ze gwiazda ma współrz˛edne (

;

) a składowe jej ruchu własnego (

;

) znane s ˛

a w pewnej

epoce pocz ˛

atkowej. Po czasie

lat pó´zniejszym, współrz˛edne gwiazdy wynosz ˛

a (

;

), i zgodnie

z naszymi wywodami obliczymy je za pomoc ˛

a formuł

(12.18)

Równanie (12.18) jest wystarczaj ˛

aco dokładne dla niemal wszystkich gwiazd w interwale czasu

rz˛edu 100 lat lub mniej. Drugie pochodne ruchu własnego potrzebne s ˛

a jedynie w przypadkach

"patologicznych".

12.5

Ruch własny, podej´scie wektorowe

Przedstawiona analiza wymagała zało˙zenia stało´sci pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca. Zało˙ze-
nie to ma wa˙zn ˛

a konsekwencj˛e gdy˙z pozwala na dokładne rozwi ˛

azanie problemu zmiany poło˙ze-

nia gwiazdy. Wykorzystamy je jeszcze raz poszukuj ˛

ac rozwi ˛

azania w formali´zmie wektorowym.

160

Ruch własny gwiazd

Przypu´s´cmy, ˙ze

(x;

;

)

jest wektorem jednostkowym kierunku gwiazdy, wówczas ruch

własny

(wektor!) mo˙zemy okre´sli´c jako zmiany tego kierunku, czyli

( os

;

sin

;

sin

)

(12.19)

Trzy składowe wektora

mo˙zemy łatwo wyrazi´c za pomoc ˛

. Pozostaj ˛

ac przy jednostkach

praktycznych, składowe te w sekundach łuku wynosz ˛

sin

(12.20)

Wektor pr˛edko´sci transwersalnej wi ˛

a˙ze si˛e z

poprzez wektorowy odpowiednik równania (12.7)

(12.21)

A zatem pełny wektor pr˛edko´sci przestrzennej gwiazdy ma posta´c

(12.22)

Pr˛edko´s´c (??) mo˙zemy wykorzysta´c do obliczenia bie˙z ˛

acego poło˙zenia gwiazdy. Je´sli

b˛edzie

pocz ˛

atkowym wektorem poło˙zenia gwiazdy, tj.

, natomiast

b˛edzie wektorem poło˙zenia

po upływie

lat, to poniewa˙z

jest wektorem stałym mo˙zemy napisa´c

V nt

gdzie

oznacza współczynnik zamany jednostek czasu. za pomoc ˛

a równa´n (12.6), (12.22) b˛edziemy

mieli

snt

po podstawieniach

sin

mamy w postaci skompresowanej

(12.23)

jest wektorem bliskim jednostkowemu, po podstawieniu warto´sci liczbowych za

mamy

4:74

sin

(12.24)

Po normalizacji wektora

do jedno´sci, b˛edziemy dysponowali jednostkowym wektorem kie-

runku gwiazdy na now ˛

a epok˛e.

12.6 Zmiany precesyjne ruchu własnego

161

12.6

Zmiany precesyjne ruchu własnego

Wewn˛etrzne zmiany składowych ruchu własnego powodowane s ˛

a przez dwie wzajemne powi ˛

azane

przyczyny:

zmiany

z powodu przy´spieszenia perspektywicznego,

zmiany zale˙zne od tego jak

rozkłada si˛e na składowe w miar˛e przemieszczania si˛e gwiazdy

po sferze.

Musimy jednak pami˛eta´c, ˙ze trakcie w˛edrówki gwiazdy po sferze układ odniesienia był trak-
towany jako nieruchomy. Czyli

;

wszystkie były okre´slone wzgl˛edem nieruchomego

równika i równonocy. Nie brali´smy w rachub˛e ˙zadnych wpływów precesyjnych.

Nadszedł wi˛ec moment by wreszcie i tym si˛e zaj ˛

a´c. Szcz˛e´sliwie problem jest analogiczny do

problemu wpływu precesji na współrz˛edne gwiazd, bowiem pytamy w jaki sposób przetransfor-
mowa´c składowe ruchu własnego z jednej epoki do drugiej.

Niech

b˛edzie wektorem ruchu własnego o składowych zdefiniowanych wzgl˛edem równika

i równonocy z epoki

. Wektor

jest tym samym wektorem ale o składowych okre´slonych

wzgl˛edem równika i równonocy z epoki

. W celu przej´scia od epoki

do epoki

, analogicznie

jak to było dla wersora poło˙zenia gwiazd, mo˙zemy stosowa´c znan ˛

a transformacj˛e obrotu

(12.25)

gdzie

jest precesyjn ˛

a macierz ˛

a obrotu wi ˛

a˙z ˛

ac ˛

a obie epoki. Wektory

;

maj ˛

a składowe okre´s-

lone za pomoc ˛

a równa´n (12.20), natomiast nowe warto´sci składowych

;

otrzymamy z rów-

na´n odwrotnych do (12.20)

)

1=2

)

(12.26)

gdzie

;

s ˛

a składowymi wersora poło˙zenia gwiazdy w epoce

Powy˙zsze podej´scie rozwi ˛

azuje postawiony problem w pełni. Ale gdyby´smy skusili si˛e na

rachunki r˛eczne warto mie´c na podor˛edziu formuły nie wymagaj ˛

ace a˙z tylu oblicze´n. Dlatego

rzu´cmy okiem

na równania (12.11). S ˛

a to pochodne z równa´n definiuj ˛

acych składowe ruchu

własnego. Pochodne te nic nie ”wiedz ˛

a” o przyczynie zmian składowych

;

. A zatem mo˙zna

je wykorzysta´c równie˙z wtedy gdy zmiany spowodowała precesja. Musimy jedynie podstawi´c
wła´sciwe wyra˙zenia na pochodne wyst˛epuj ˛

ace w prawych stronach równa´n (12.11). Np. gdy

interesuje nas precesja to pochodna

(12.27)

gdy˙z precesja nie mo˙ze wpłyn ˛

a´c na warto´s´c k ˛

atowego ruchu własnego

Deklinacja gwiazdy zmienia si˛e wskutek precesji dlatego pochodna deklinacji po czasie jest ró˙zna
od zera. I tu, szcz˛e´sliwie, mo˙zemy si˛egn ˛

a´c do wykładu, w którym była mowa o precesji L-S i

odszuka´c w nim tej oto formuły

dÆ

sin

(12.28)

gdzie precesyjna stała

sin

, natomiast

jest stał ˛

a precesji rocznej, obie stałe wyra˙zone

s ˛

a w sekundach łuku. Pozostaje do oszacowania tempo zmian precesyjnych k ˛

ata pozycyjnego

. Na rysunku 12.4, punkty

oznaczaj ˛

a dwa poło˙zenia biegunów ´swiata odpowiadaj ˛

ace

epokom odległym o interwał

. W momencie wyj´sciowym gwiazda znajdowała si˛e w miejscu

Posiadacze jednej lub dwóch szklanych protez ocznych niechaj zbyt dosłownie tej zach˛ety nie bior ˛

162

Ruch własny gwiazd

P’

Rysunek 12.4: Precesyjne zmiany k ˛

ata pozycyjnego

. Biegun

pod wpływem precesji

przemie´scił si˛e w poło˙zeniie

a jej ruch własny przebiegał wzdłu˙z koła wielkiego

. Na rysunku 12.4 widzimy, ˙ze przyrost

k ˛

ata pozycyjnego, spowodowany precesj ˛

a za okres

wynosi

. Niech

;

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi gwiazdy okre´slonymi wzgl˛edem biegunów

oraz odpowiadaj ˛

acych im

równonocy, odpowiednio. K ˛

, natomiast długo´s´c łuku

wynosi

sin

ndt

Jest to łuk koła małego, po którym przemieszcza si˛e biegun ´swiata w trakcie ruchu precesyjnego
wokół bieguna ekliptyki

. Dalej w trójk ˛

acie

mamy, ˙ze k ˛

, natomi-

est k ˛

at sferyczny

, czylijest to k ˛

at równy rektascensji gwiazdy w momencie epoki

pocz ˛

atkowej. Ignoruj ˛

ac ró˙znic˛e pomi˛edzy łukiem koła małego i koła wielkiego ł ˛

acz ˛

acego

ze wzoru sinusów dostaniemy:

sin

(ndt)

sin

Przechodz ˛

ac do granicy,

d ˛

a˙zy do zera, zatem mo˙zemy napisa´c:

sin

(12.29)

Podstawiaj ˛

ac prawe strony równa´n (??), (??) i (??) za pochodne w równaniach (12.11), szybko´sci

precesyjnych zmian składowych

;

okre´slone b˛ed ˛

a formułami

tan

sin

15n

sin

(12.30)

w których

poda´c nale˙zy w sekundach czasowych,

oraz

w sekundach k ˛

atowych.

Powy˙zsze wyprowadzenie dotyczyło jedynie precesji L-S. Jest ono w zupełno´sci wystarczaj ˛

ace,

bowiem precesja planetarna powoduje jedynie zmiany w poło˙zeniu bieguna ekliptyki K. Czyli
deklinacja gwiazdy oraz k ˛

at pozycyjny kierunku ruchu własnego nie zmieniaj ˛

a si˛e w rezultacie tej

precesji.

Gdy wymagana jest znajomo´s´c składowych ruchu własnego gwiazdy na pewn ˛

a epok˛e

koniecznym

jest uwzgl˛ednienie obu zmian: wewn˛etrznych i precesyjnych. Całkowite zmiany mo˙zemy zatem
policzy´c sumuj ˛

ac prawe strony równa´n (12.17) i (12.30).

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze stała precesyjna

wyst˛epuj ˛

aca w równaniach (12.30) wynosi około

, jest wi˛ec znacznie wi˛eksza od typowego ruchu własnego gwiazd. Oznacza to, ˙ze je´sli za-

chodzi konieczno´s´c uwzgl˛ednienia obu wpływów, wpływ precesji b˛edzie bardziej znacz ˛

acy. Dlat-

ego w przypadku długich interwałów czasu po˙z ˛

adanym jest ulepszenie dokładno´sci formuł 12.30,

co mo˙zna uzyska´c podstawiaj ˛

ac w nich warto´s´c stałej

na ´srodkowy moment wchodz ˛

acego w

gr˛e interwału czasu. Jednak w takich przypadkach wła´sciwszym jest zastosowanie podej´scia wek-
torowego.

12.7 Wyznaczanie ruchów własnych

163

12.7

Wyznaczanie ruchów własnych

Historycznie ruchy własne wyznaczano najpierw przez porównanie wizualnych poło˙ze´n gwiazdy
z dwóch ró˙znych epok

;

. Epoki te powinny by´c mo˙zliwie od siebie odległe, a to oznacza, ˙ze

najcz˛e´sciej ruch własny wyprowadzany był z obserwacji wykonanych na ró˙znych instrumentach,
czyli porównywano współrz˛edne gwiazd wzi˛ete z ró˙znych katalogów zestawionych w ró˙znych
obserwatoriach.

Przed porównaniem współrz˛edne gwiazd, poprzez uwzgl˛ednienie precesji, sprowadzono do

identycznego układu odniesienia. Je´sli było to mo˙zliwe uwzgl˛edniano systematyczne ró˙znice
mi˛edzy katalogami. Po czym, dla ka˙zdej gwiazdy, jej składowe rocznego ruchu własnego obliczano
za pomoc ˛

a równa´n:

Otrzymane tak ˛

a drog ˛

a ruchy własne miały charakter przybli˙zony i okre´slone były w systemie

katalogu, do którego sprowadzono wszystkie obserwacje.

Dokładne wyznaczenie ruchów własnych

W tzw. dokładnych sposobach wyznaczania ruchów własnych gwiazd wyprowadza si˛e je za po-
moc ˛

a wielu katalogów o epokach obserwacyjnych oddalonych o mo˙zliwie długi interwał czasu.

Podej´scie to zmniejsza wpływ na rezultaty zarówno niepewno´sci przypadkowych jak i systematy-
cznych.

Niech zatem na epoki obserwacyjne

;

dane b˛ed ˛

a współrz˛edne gwiazd w formie

katalogów

;

zestawionych na równonoce

;

. Przed przyst ˛

apieniem

do wła´sciwego zadania, poszczególne katalogi, uwzgl˛edniaj ˛

ac precesj˛e za interwał

sprowadzi´c trzeba do wspólnej równonocy odpowiadaj ˛

acej momentowi

. Ponadto wszystkim

katalogom nale˙zy przypisa´c stosowne wagi.

Chcemy wyznnaczy´c na epok˛e

nieznane waro´sci współrz˛ednej

gwiazdy i składow ˛

a jej

ruchu własnego

Dla ka˙zdej gwiazdy b˛edziemy mieli do dyspozycji

uzyskanych z obserwacji warto´sci rektas-

censji

;

, odpowiadaj ˛

acych epokom obserwacyjnym

;

. Wszystkie współrz˛edne

s ˛

a ju˙z okre´slone w tym samym układzie odniesienia z epoki

. Współrz˛edne

;

ró˙zni ˛

si˛e o niewielkie warto´sci, przyczyn ˛

a ró˙znic s ˛

a ruch własny i niepewno´sci pomiarowe.

Zatem dla ka˙zdej gwiazdy mo˙zemy napisa´c nast˛epuj ˛

acy zestaw równa´n warunkowych, w zasadzie

identyczny z wyra˙zeniami (12.18)

)

Rozwi ˛

azanie dwóch takich układów równa´n metod ˛

a najmniejszych kwadratów (jeden dla rektas-

censji, drugi dla deklinacji, dla ka˙zdej gwiazdy osobno), daje wszystkie niewiadome

;

=dt;

=dt

– czyli współrz˛edne gwiazdy, składowe ruchu własnego oraz wewn˛etrzne zmiany składowych
ruchu własnego.

Przedstawiona metoda daje dobre rezultaty dla wszystkich gwiazd oprócz tych, które znajduj ˛

si˛e w okolicach podbiegunowych. W takich przypadkach w równaniach obserwacyjnych musimy
wprowadzi´c wyrazy wy˙zszych rz˛edów.

Fotograficzna metoda wyznaczenia ruchów własnych

Współcze´snie ruchy własne niemal wył ˛

acznie wyznacza si˛e metodami astrometrii fotograficznej

lub ró˙znych wariantów astrometrii CDD. Mamy tu na my´sli masowe wyznaczanie ruchów włas-
nych gwiazd słabych. Sposób fotograficzny z natury rzeczy pozwala na bezpo´srednie wyznaczenie

164

Ruch własny gwiazd

jedynie wzgl˛ednych ruchów gwiazd, tzn. badamy ruchy pewnej wybranej grupy gwiazd wzgl˛edem
innej grupy gwiazd, równie˙z b˛ed ˛

acych w ruchu, tyle ˙ze niewielkim, co pozwala na traktowanie ich

jako nieruchomych. Obie grupy gwiazd powinny zajmowa´c niewielki obszar sfery ograniczony
do pola widzenia pojedynczej lub kilku cz˛e´sciowo pokrywaj ˛

acych si˛e klisz.

Przy takim podej´sciu naturalnym jest pytanie o standaryzacj˛e rezultatów tj. o sprowadzenie

obliczonych wzgl˛ednych ruchów gwiazd do okre´slonego układu odniesienia np. do systemu kat-
alogu fundamentalnego. Jest to zadanie trudniejsze od samego wyznaczania wzgl˛ednych ruchów
własnych. Mo˙zna je rozpatrywa´c za pomoc ˛

a tzw. gwiazd kontrolnych, czyli takich, których ruchy

własne s ˛

a znane w dwóch systemach, obserwowanym i drugim przyj˛etym jako standardowy.

Niech dane b˛ed ˛

a dwie klisze P1 , P2 , na których w dwóch ró˙znych epokach

t1;

sfo-

tografowano ten sam fragment sfery niebieskiej. Na obu kliszach identyfikujemy i mierzymy
poło˙zenie wielu gwiazd a w´sród nich wybieramy te, których ruchy własne chcemy wyznaczy´c.
Oznaczmy je jako

, gdzie

;

. Dalej wbieramy

gwiazd odniesienia

, gdzie

;

oraz

tzw. gwiazd kontrolnych

:::K

. Dla wygody nazwijmy

gwiazdy typu

gwiazdami badanymi, natomiast gwiazdy odniesienia b˛edziemy traktowali jako

nieruchome. Gwiazdy kontrolne

s ˛

a to takie obiekty, o których ruchach własnych posiadamy

dodatkowe informacje, ich ruchy znamy w jakim´s systemie — układzie odniesienia. W charak-
terze obiektów badanych, oporowych i kontrolnych mog ˛

a wyst˛epowa´c tak˙ze galaktyki.

Oznaczmy przez

(x;

)

współrz˛edne mierzone gwiazd na kliszy P1 , oznaczmy przez

;

)

współrz˛edne mierzone z kliszy P2 . Umówimy si˛e jeszcze, ˙ze na obu kliszach współrz˛edne zostały
sprowadzone do centroidu systemu gwiazd oporowych, tzn. ich warto´sci podane s ˛

a wzgl˛edem

punktów o współrz˛ednych:

;

(12.31)

Natomiast ró˙znic˛e

(t2

t1)

wyrazimy w latach i oznaczymy przez

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ruchów własnych gwiazd

przy danym wyborze gwiazd

. Rozwi ˛

azanie problemu opiera si˛e o ogólne zasady astrometrycznej redukcji fotografii pola

gwiazdowego, z t ˛

a ró˙znic ˛

a, ˙ze zamiast współrz˛ednych tangencjalnych

;

, do których normalnie

dopasowujemy współrz˛edne mierzone, tym razem bierzemy współrz˛edne mierzone np. z kliszy
P1.

Model dopasowania dobierany jest w zale˙zno´sci od konkretnej sytuacji obserwacyjnej. Je´sli

płyty P1 i P2 otrzymano na tym samym narz˛edziu, w tym samym miejscu, w podobnych warunk-
ach, ponadto centra optyczne obu płyt s ˛

a sobie bliskie, wówczas w pełni wystarczaj ˛

acym okazuje

si˛e by´c model liniowy. W takim przypadku stałe kliszy wyznaczamy metod ˛

a najmniejszych

kwadratów z równa´n obserwacyjnych postaci:

(12.32)

Za pomoc ˛

a wyznaczonych współczynników

;

mo˙zemy obliczy´c współrz˛edne gwiazd

badanych

na epok˛e

, w systemie współrz˛ednych kliszy P1, mianowicie:

(2)

(12.33)

Porównuj ˛

ac współrz˛edne zmierzone badanych gwiazd – dla symetrii oznaczymy je jako

(1)

;

(1)

– z obliczonymi z równania (12.33) znajdujemy przemieszczenie obrazów gwiazd na kliszy P1 w
interwale

. St ˛

ad, poszukiwany ruch własny gwiazd obliczymy jako:

(2)

(1)

(2)

(1)

(12.34)

Cz˛esto gwiazdy te nazywane s ˛

a gwiazdami oporowymi.

12.8 Zadanka na ´cwiczenia

165

gdzie

;

s ˛

a skalami odwzorowania na kliszy P1 w kierunkach osi X i Y. Obliczone z formuł

(12.34)

;

powinny by´c w sekundach na rok.

Je˙zeli osie układów współrz˛ednych mierzonych na płycie P1 zorientowano w sposób standar-

dowy, tzn. tak jak zorientowane s ˛

a osie układu

(

;

)

wówczas przej´scia od pary

;

do pary

;

mo˙zemy dokona´c za pomoc ˛

a wzorów

tan

(12.35)

gdzie

jest współrz˛edn ˛

a mierzon ˛

a centrum optycznego. Wyra˙zenie

)=f

jest odległo´sci ˛

badanej gwizady od centralnego południka płyty, wyra˙zon ˛

a w jednostkach ogniskowej teleskopu

Przedstawiona metodyka wyznaczania ruchów własnych nie jest jedyn ˛

a jak ˛

a mamy do dys-

pozycji. Np. zamiast równa´n obserwacyjnych postaci (12.32) mo˙zna było wzi ˛

a´c równania:

(2)

(1)

(12.36)

w których po prawej stronie mamy ró˙znic˛e współrz˛ednych gwiazd z płyty P2 i P1, natomiast
po lewej mamy współrz˛edne mierzone gwiazd z płyty P2 b ˛

ad´z P1. Podej´scie to bywa cz˛esto

stosowane gdy obie płyty umieszczane s ˛

a w płytomierzu jednocze´snie, tak by stykały si˛e emul-

sjami co oznnacza, ˙ze jedn ˛

a z klisz eksponowano przez podło˙ze szklane. W przypadku równa´n

(12.36) nie bardzo jest jednak wiadomym w jakim systemie kliszy (P1 czy P2) wyznaczane s ˛

residua gwiazd oporowych, a w konsekwencji i poszukiwane ruchy własne.

12.8

Zadanka na ´cwiczenia

1. Poka˙z, ˙ze zało˙zenie o stało´sci pr˛edko´sci gwiazdy wzgl˛edem Sło ´nca, poci ˛

aga by pr˛edko´s´c

radialna, w sensie algebraicznym zawsze wzrastała Poka˙z tak˙ze, ˙ze w jednostkach prakty-
cznych szybko´s´c zmiany pr˛edko´sci radialnej dana jest formuł ˛

4:74

sin

2. Oto nast˛epuj ˛

ace dane dla gwiazdy Barnard’a, na epok˛e 1950.0:

:25

356

108[k

m==sek

℄

:546

Wyznacz epok˛e, dla której pr˛edko´s´c radialna gwiazdy b˛edzie równała si˛e zeru. Dla tej epoki
policz poło˙zenie gwiazdy (wzgl˛edem układu 1950.0), jej ruch własny oraz paralaks˛e.

3. Poło˙zenie gwiazdy okre´sla wektor (

;

), w układzie odniesienia z epoki standard-

owej. Poka˙z, ˙ze po zaniedbaniu przyspieszenia perspektywicznego, w epoce o

pó´zniejszej,

składowe wektora poło˙zenia tej gwiazdy dane s ˛

a formułami

(t)

O´s

wzdłu˙z równole˙znika w kierunku narastania rektascensji, o´s

wzdłu˙z koła deklinacyjnego ku biegunowi północ-

nemu sfery.