4. Lokalny i Globalny Dyfeomorfizm 

Definicja Dyfeomorfizmu 

    

 

   

 

 wzajemnie jednoznaczna klasy  

 

 z  

  

 klasy  

 

 nazywa się dyfeomorfizmem.  

Lokalny Dyfeomorfizm 

Jeśli funkcja odwrotna istnieje lokalnie to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem. Tw. o funkcji 
odwrotnej podaje warunek bycia lokalnym dyfeomorfizmem. Jeśli jesteśmy w stanie udowodnid 
istnienie funkcji odwrotnej  w otoczeniu lokalnym to to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem. 

Globalny Dyfeomorfizm 

Nie są znane warunki konieczne i wystarczające na dyfeomorfizm globalny. Jeśli jesteśmy w stanie 
wyznaczyd funkcję odwrotną to taki dyfeomorfizm istnieje. 

Twierdzenie Hadamarda-Levy’ego 

Niech     

 

   

 

 będzie lokalnym dyfeomorfizmem. Jeżeli          

  

     dla pewnego M>0, 

to f jest dyfeomorfizmem globalnym (                              

Przyklad 

    

 

   

 

           

 

   

 

   

 

      

 

  

 

 

    

         

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

       

 

     

 

 

 

 

 

 

      

           

 

            

Z faktu, że detDf(0) nie równe 0 wynika, że Df(0) jest rzędu n, Korzystając z tw. o f. Odwrotnej wiemy, 
że w pewnym otoczeniu punktu zerowego istnieje funkcja odwrotna do f(x). Skoro funkcja odwrotna 
istnieje to f(x) nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem. 

Korzystamy z twierdzenie Hadamarda –Levy’ego aby udowodnid sprawdzid czy f(x) jest globalnym 
dyfeomorfizmem. 

        

  

   

      

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Norma Frobeniusa:         

  

 

 

 

     

 

 

 

               

  

 

 

    

M = 2, więc mamy wystarczający warunek na istnienie globalnego dyfeomorfizmu.