Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
39
Model von Neumanna c.d.
Ćwiczenia + uwagi o modelu dynamicznym.
Rozważamy m procesów technologicznych nazywanych
bazowymi. Procesy numerujemy liczbami: 1,2,...,m.
j-
ty bazowy proces technologiczny jest opisany parą n -
wymiarowych wektorów.
a
j
= (a
j1
,a
j2
,...,a
jn
)----
wektor nakładów, a
ji
0
b
j
= (b
j1
,b
j2
,...,b
jn
)----
wektor wyników b
ji
0.
Przy intensywności x= (0,0,...,0,1,0,...,0) - jedynka na j-tym
miejscu -
zużycie opisane jest wektorem (a
j1
,a
j2
,...,a
jn
) a
produkcja wektorem (b
j1
,b
j2
,...,b
jn
).
Wygodnie jest opisać wszystkie procesy bazowe za pomocą pary
macierzy:
mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
m
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
macierz nakładów
mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
m
2
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
macierz wyników (produkcji)
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
40
W macierzach może występować wiele zer.
Zakłada się, że:
Każdy wiersz macierzy nakładów (A) zawiera element dodatni
Każda kolumna macierzy wyników (B) zawiera element dodatni.
Przypuśćmy teraz, że poszczególne bazowe technologie
zostały użyte z intensywnościami odpowiednio x
1
,x
2
,...x
m
.
Wektor x = (x
1
,x
2
,...,x
m
) jest wektorem -
wierszem opisującym
intensywności. Przy intensywnościach wyrażonych przez x
mamy następujące łączne nakłady czynników:
(*) (x
1
a
11
+...+ x
m
a
m1,
x
1
a
12
+...+ x
m
a
m2
,..., x
1
a
1n
+...+ x
m
a
mn
)= x A,
nakład 1 czynnika,
nakład 2 czynnika,
,
nakład n-tego czynnika
inny zapis
natomiast łączne wyniki produkcji wynoszą:
(**) (x
1
b
11
+...+ x
m
b
m1,
x
1
b
12
+...+ x
m
b
m2
,..., x
1
b
1n
+...+ x
m
b
mn
)= x B
1 produkt,
2 produkt,
n-ty produkt,
inny zapis
Przykład 1.
A=
5
1
2
1
75
0
.
.
, B=
2
2
1
1
.
xA=(0.75x
1
+2x
2
, x
1
+1.5x
2
) = wektor nakładów,
xB=(x
1
+2x
2
, x
1
+2x
2
) = wektor produkcji.
Przypominamy.
Wskaźnikiem technologicznej efektywności
wytwarzania i-tego
towaru
przy intensywności produkcji x=(x
1
,x
2
,...,x
m
) nazywamy liczbę
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
41
0
xB
xA
gdy
na
nieokre
śie
0
xB
0
xA
gdy
0
xA
gdy
xA
xB
x
i
i
i
i
i
i
i
i
)
(
)
(
,
,
)
(
,
)
(
,
,
)
(
,
)
(
)
(
)
(
W Przykładzie 1 przy wektorze intensywności x 0, x
mamy:
2
1
2
1
1
1
1
x
2
x
75
0
x
2
x
xA
xB
x
.
)
(
)
(
)
(
,
2
1
2
1
2
2
2
x
5
1
x
x
2
x
xA
xB
x
.
)
(
)
(
)
(
(II) Wska
źnikiem technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopą produkcji) przy intensywności
produkcji x=(x
1
,x
2
,...,x
m
) nazywamy liczbę
)
(
min
)
(
x
x
i
i
Innymi słowy przy
x
0
}
:
max{
)
(
xB
xA
x
W Przykładzie 1 przy x 0, x mamy:
)
(
min
)
(
x
x
i
i
=
)
.
,
.
(
min
2
1
2
1
2
1
2
1
x
5
1
x
x
2
x
x
2
x
75
0
x
2
x
;
Niech x=(2,0)
1
2
2
5
1
2
0
2
0
2
i
i
)
,
.
min(
)
,
(
min
)
,
(
Zauważmy, że
2
2
2
5
1
1
0
2
.
:
max
)
,
(
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
42
(III)
Optymalnym
wskaźnikiem
technologicznej
efektywności w modelu (optymalną stopą produkcji)
nazywamy liczbę
)
(
max
x
0
x
opt
.
Wektor intensywności
x
dla którego
)
(x
opt
nazywa się
optymalnym wektorem intensywności w modelu. Optymalny wektor
intensywności jest określony z dokładnością do struktury ( z
dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią).
Zauważmy, że w Przykładzie 1,
opt
5
3
4
1
2
.
)
,
(
Efektywność ekonomiczna.
Niech p
i
oznacza ce
nę rynkową i-tego towaru.
(x B)
1
p
1
+ (x B)
2
p
2
+...+(x B)
n
p
n
=
wartość produkcji przy intensywności
x=
(x
1
,x
2
,...,x
m
). W zapisie macierzowym przy traktowaniu
wektora cen jako kolumnę wartość tę wyraża się krótko: xBp.
(xA)
1
p
1
+ (xA)
2
p
2
+...+(x A)
n
p
n
=
wartość nakładu przy intensywności
x=
(x
1
,x
2
,...,x
m
). W zapisie macierzowym przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę wartość tę wyraża się krótko: xAp.
Powrót do Przykładu 1.
xA=(0.75x
1
+2x
2
, x
1
+1.5x
2
) = wektor nakładów,
xB=(x
1
+2x
2
, x
1
+2x
2
) = wektor produkcji.
Zatem
(x B)
1
p
1
+ (x B)
2
p
2
=
(x
1
+2x
2
)p
1
+ (x
1
+2x
2
)p
2
=
wartość produkcji
przy intensywności x=
(x
1
,x
2
); xBp = (x
1
+2x
2
)p
1
+ (x
1
+2x
2
)p
2
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
43
(xA)
1
p
1
+ (xA)
2
p
2
=
(0.75x
1
+2x
2
)p
1
+ (x
1
+1.5x
2
)p
2
wartość
nakładu przy intensywności x=
(x
1
,x
2
); xAp = (0.75x
1
+2x
2
)p
1
+
(x
1
+1.5x
2
)p
2
Wskaźnikiem ekonomicznej efektywności (stopą dochodu )
przy intensywnościach x i cenach p nazywamy liczbę
.
,
.
,
,
,
)
,
(
0
xBp
0
xAp
gdy
nieokr
0
xBp
0
xAp
gdy
0
xAp
gdy
xAp
xBp
p
x
W
Przykładzie 1 wskaźnik efektywności ekonomicznej dla x= (2,1) i
p
T
=(1,1) wynosi :
7
8
5
3
5
3
4
4
1
1
1
2
.
.
))
,
(
),
,
((
Warunki równowagi w modelu von Neumanna.
Definicja.
O wektorze intensywności x~ 0, x~ , i wektorze
cen
p
~
0,
p
~
oraz liczbie
0
mówimy, że charakteryzuje
gospodarkę w równowadze von Neumanna, jeżeli spełniają
następujące warunki:
(I)
,
~
~
B
x
A
x
(II)
dla każdego x
0
,
p
xA
p
xB
~
~
,
(III)
0
p
B
x
~
~
.
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
44
Wektor
x
~
nazywamy
wektorem
intensywności
procesów
technologicznych w równowadze, wektor cen
p
~
nazywa się wektorem
cen w równowadze. Warunek (II) jest równoważny (II)’
p
A
p
B
~
~
W Przykładzie 1. warunki równowagi opisane są układem
nierówności:
2
1
2
1
2
1
2
1
x
2
x
x
5
1
x
x
2
x
x
2
x
75
0
)
.
(
)
.
(
)
.
(
)
.
(
2
1
2
1
2
1
2
1
p
5
1
p
2
p
2
p
2
p
p
75
0
p
p
xBp = (x
1
+2x
2
)p
1
+ (x
1
+2x
2
)p
2
> 0.
Zauważmy, że :
1
p
x
1
p
2
x
5
3
4
2
2
1
1
~
~
,
~
,
~
,
.
-
spełniają
ten układ. Zauważmy także, iż - zgodnie z wnioskami
wynikającymi z definicji równowagi - w stanie równowagi
)
,
( 1
2
7
8
5
3
4
1
1
1
2
.
))
,
(
),
,
((
.
tzn. wskaźnik technicznej efektywności = wskaźnikowi
ekonomicznej efektywności = poziomowi równowagi.
Model dynamiczny
Załóżmy, że w kolejnych okresach t=0,1,2, ,t
1
produkcja
odbywa się z intensywnościami opisanymi ciągiem wektorów
x(t)=(x
1
(t),x
2
(t),...,x
n
(t)). W poszczególnych okresach ceny
opisane są ciągiem wektorów kolumnowych p(t)= (p
1
(t),...,p
n
(t))
T
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
45
Zakładamy, że w żadnym okresie wektor nakładów nie może
być większy od wektora wyników z poprzedniego okresu.
Oznacza to, że
a) x(t+1)A
B
t
x
)
(
, t=0,1,...,t
1
-1
a ponadto zakładamy, że
b) x(t)
0
, t=0,1,...,t
1
c) x(0)=x
0
0, x
0
- stan początkowy
Ciąg intensywności {x(t)
1
t
0
t
}
spełniający warunki a) – c) nazywa
się dopuszczalną trajektorią intensywności a odpowiednie ciągi
{x(t)A} i {x(t)B} dopuszczalnymi ciągami nakładów i wyników.
Trajektorie równomiernego wzrostu (stacjonarne)
Dopuszczalną trajektorię intensywności {x(t)
1
t
0
t
}
nazywamy
stacjonarną jeśli ma następującą postać:
x(t) =
1
0
t
t
2
1
0
t
x
,...,
,
,
,
. gdzie
.
0
Współczynnik
nazywa się współczynnikiem wzrostu
gospodarczego.
Wniosek z warunku a)
. Stacjonarna trajektoria intensywności z
tempem wzrostu
istnieje wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest
warunek:
B
x
A
x
0
0
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
46
Trajektorie nakładów i wyników odpowiadające stacjonarnej
trajektorii x(t) =
1
0
t
t
2
1
0
t
x
,...,
,
,
,
mają postać
,
A
x
0
t
1
t
2
1
0
t
,...,
,
,
.
,
B
x
0
t
1
t
,...,
2
,
1
,
0
t
1
.
Zauważmy, że
=1 charakteryzuje stagnację,
1
równomierny wzrost gospodarczy a
1
zamieranie
działalności gospodarczej.
Pytanie. Czy istnieje stacjonarna trajektoria z maksymalnym
tempem wzrostu?
Twierdzenie.
W modelu von Neumana istnieją stacjonarne
trajektorie z tempem wzrostu
opt
, które jest najwyższym
możliwym wzrostem tej gospodarki.
Stacjonarną trajektorię intensywności z tempem
opt
nazywamy optymalną stacjonarną trajektorią
intensywności.
Ważna uwaga. Jeżeli x~ (t)=
0
t
opt
x
~
)
(
jest optymalna to dla
każdego
0
, trajektoria
)
(
~
~
)
(
~
)
(
)
(
~
~
t
x
x
x
t
x
0
t
opt
o
t
opt
jest także optymalna.
Półprostą
N = {
0
x
:
~
}
gdzie x
~ jest dowolnym wektorem intensywności w optymalnym
stacjonarnym procesie wzrostu , nazywamy magistralą
intensywności w modelu von Neumanna.