AUTORKA: EL
Ż
BIETA SZUMI
Ń
SKA
NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ
OGÓLNOKSZTAŁC
Ą
CYCH
„SCHOLASTICUS” W ŁODZI
ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ
NA PŁASZCZY
Ź
NIE I W PRZESTRZENI
AUTORKA: EL
Ż
BIETA SZUMI
Ń
SKA
NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ
OGÓLNOKSZTAŁC
Ą
CYCH
„SCHOLASTICUS” W ŁODZI
ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ
NA PŁASZCZY
Ź
NIE I W PRZESTRZENI
2
SPIS TRE
Ś
CI:
PROSTA NA PŁASZCZY
Ż
NIE
Str
1
.
Równanie
kierunkowe
prostej
3
2.
Równanie
ogólne
prostej.
5
3.
Równanie
odcinkowe
prostej.
7
4. Równanie prostej przechodz
ą
cej przez dwa punkty na płaszczy
ź
nie.
7
5. Przedstawienie parametryczne prostej na płaszczy
ź
nie.
10
6.Posta
ć
normalna równania prostej.
11
PROSTA W PRZESTRZENI
7. Prosta okre
ś
lona
przez
jej
rzuty.
14
8. Prosta jako cz
ęść
wspólna płaszczyzn, podanych w postaci ogólnej.
15
9. Równanie prostej przechodz
ą
cej przez dwa punkty w przestrzeni.
15
10.Przedstawienie parametryczne prostej w przestrzeni.
16
3
PROSTA NA PŁASZCZY
Ź
NIE
1. Równanie kierunkowe prostej
Niech
b
ę
dzie dany na płaszczy
ź
nie układ prostok
ą
tny współrz
ę
dnych 0xy oraz dowolna
prosta l. Opisuj
ą
c prost
ą
mo
ż
na posłu
ż
y
ć
si
ę
wzorem y=ax+b, który okre
ś
la funkcj
ę
liniow
ą
, ale
jednocze
ś
nie jest równaniem stopnia pierwszego o dwóch niewiadomych x i y. Równanie to
spełniaj
ą
współrz
ę
dne punktów (x, y) prostej l wyznaczonej przez punkty (0, b) oraz (1, a+b) i
dlatego wzór y=ax+b nazywamy równaniem prostej l.
Ka
ż
dy wektor równoległy do prostej l to wektor kierunkowy tej prostej. Na przykład wektor
AB,
gdzie A(0, b) za
ś
B(1, a+b) jest wektorem równoległym do prostej. Ma on współrz
ę
dne AB=[1, a].
Ka
ż
dy z wektorów kierunkowych tej prostej jest postaci k [1, a], gdy k
≠
0.
Liczb
ę
a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l,
liczb
ę
b nazywamy rz
ę
dn
ą
punktu przeci
ę
cia prostej l z osi
ą
0y
równanie y = ax + b (1.1.) RÓWNANIEM KIERUNKOWYM PROSTEJ.
Równanie (1.1.). ma szerokie zastosowanie:
proste dane równaniami: y=ax+b
y= a
1
x+b s
ą
równoległe wtedy i tylko wtedy gdy a = a
1
proste dane równaniami: y=ax+b
y= a
1
x+ b s
ą
prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
a
a
= −
1
1
4
Interpretacja współczynnika kierunkowego
Niech dowolna prosta l b
ę
dzie nachylona do osi 0x pod k
ą
tem
α
, gdzie:
π
≤
α
≤
0 a = tg
α
α
≠
0,5
π
α
- k
ą
t o jaki nale
ż
y obróci
ć
o
ś
0x w kierunku dodatnim, aby stała si
ę
równolegla do
prostej l, nazywamy go k
ą
tem nachylenia prostej l do osi 0x,
a - współczynnik kierunkowy (k
ą
towy) prostej l.
Warto
ś
ci współczynnika kierunkowego
a > 0 gdy k
ą
t
α
jest ostry
a = 0 gdy prosta jest równoległa do osi 0x (y=b)
a < 0 gdy k
ą
t
α
jest rozwarty
a nie jest okre
ś
lony gdy
α
= 0,5
π
Gdy mamy prost
ą
równoległ
ą
do osi 0y - prosta ta nie jest wykresem funkcji, nie ma
wektora kierunkowego postaci [1, a], ani nie jest okre
ś
lony współczynnik a.
Je
ś
li prosta przecina o
ś
odci
ę
tych w punkcie x
o
,jej równanie to: x= x
o
, gdzie x
o
jest dowoln
ą
liczb
ą
rzeczywist
ą
.
5
WNIOSEK
Ka
ż
d
ą
prost
ą
zawart
ą
w płaszczy
ź
nie układu współrz
ę
dnych mo
ż
na przedstawi
ć
-równaniem kierunkowym y=ax+b lub
-równaniem x= x
o
(1.2.), gdzie x
o
jest dowoln
ą
liczb
ą
rzeczywist
ą
ZADANIE 1
Rozstrzygnij, czy punkty K(-1, -2), L(1, 3), M(2, 5) s
ą
współliniowe.
Rozwi
ą
zanie: KL=[1-(-1); 3-(-2)]=[2; 5]=2[1; 2,5]
LM=[2-1;
5-3]=[1,
2]
współrz
ę
dne wektorów kierunkowych nie s
ą
proporcjonalne, zatem punkty K, L, M nie s
ą
współliniowe.
ZADANIE 2
Wyznacz równanie prostej przechodz
ą
cej przez punkt P(2, -1) i równoległej do prostej AB, gdzie A
(0, 1); B (1, 3).
Rozwi
ą
zanie: AB = [1, 2], zatem a = 2, prosta jest postaci y=2x+b
-1=2x2+b
b=-5
szukana prosta ma wi
ę
c posta
ć
y = 2x - 5.
2. Równanie ogólne prostej.
Ka
ż
d
ą
prost
ą
na płaszczy
ź
nie mo
ż
na przedstawi
ć
równaniem postaci Ax+By+C=0,
gdzie [A, B] s
ą
współrz
ę
dnymi dowolnego niezerowego wektora prostopadłego do naszej prostej
oraz A
2
+ B
2
> 0 (A i B nie s
ą
jednocze
ś
nie zerami).
6
We
ź
my punkt (x, y).Ten punkt nale
ż
y do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor o współrz
ę
dnych
[x - x
o
, y - y
o
] jest prostopadły do wektora [A, B]. Wówczas mamy:
A(x - x
o
) + B(y - y
o
) = 0
Ax + By + (-A x
o
- B y
o
) = 0
podstawiaj
ą
c -A x
o
- B y
o
= C otrzymujemy równanie, w którym A
2
+ B
2
> 0
Ax + By + C = 0 (2.1.) nazywane OGÓLNYM RÓWNANIEM PROSTEJ
Przekształ
ć
my równanie Ax+By+C=0 i tak:
gdy
B
≠
0
By = - Ax - C / :B
y
A
B
x
C
B
= −
−
równanie ma posta
ć
równania y=ax+b (1.1.)
gdy B = 0
Ax = - C
x
C
A
= −
równanie ma posta
ć
równania x = x
o
(1.2.)
co jest zgodne z wnioskiem z poprzedniego rozdziału.
We
ź
my równanie Ax + By + C = 0:
gdy A = B = C = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez współrz
ę
dne dowolnego
punktu płaszczyzny. Zbiór okre
ś
lony tym równaniem stanowi cał
ą
płaszczyzn
ę
.
gdy A = B = 0 lecz C
≠
0 równanie (2.1.) nie jest spełnione przez współrz
ę
dne
ż
adnego punktu na płaszczy
ź
nie. Równanie przedstawia wi
ę
c zbiór pusty.
gdy A = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej
y
C
B
= −
b
ę
d
ą
cej
prost
ą
równoległ
ą
do osi 0x, gdy
ż
współczynnik kierunkowy równania 1. 1.
a
A
B
= −
= 0.
gdy B = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej x = -
C
A
b
ę
d
ą
cej
prost
ą
równoległ
ą
do 0si 0y.
gdy C = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej y =
−
A
B
x
przechodz
ą
cej przez punkt (0, 0)
7
3. Równanie odcinkowe prostej
Je
ż
eli wszystkie współczynniki A, B, C równania (2.1.) s
ą
liczbami ró
ż
nymi od zera to
przekształcaj
ą
c je otrzymujemy kolejno:
Ax + By = - C / :(-C)
−
−
=
Ax
C
By
C
1
oznaczaj
ą
c a = -
C
A
oraz b = -
C
B
otrzymujemy równanie:
x
a
y
b
+ =
1
(3.1.)
Równanie to nazywamy RÓWNANIEM ODCINKOWYM PROSTEJ
Równanie (3.1.) ma praktyczne zastosowanie, gdy
ż
przedstawia prost
ą
przecinaj
ą
c
ą
:
-o
ś
odci
ę
tych w punkcie x = a
-o
ś
rz
ę
dnych w punkcie y = b
4. Równanie prostej przechodz
ą
cej przez dwa punkty na płaszczy
ź
nie.
Niech prosta y=ax+b przechodzi przez punkt A(x
1
, y
1
).
wówczas
y
1
= a x
1
+ b
odejmuj
ą
c stronami otrzymujemy równanie y - y
1
= a (x - x
1
) (4.1.)
Równanie (4.1.) przedstawia dowoln
ą
prost
ą
, która nie jest prostopadła do osi 0x i przechodz
ą
c
ą
przez punkt A (x
1
, y
1
).
Zauwa
ż
my,
ż
e jest niesko
ń
czenie wiele prostych przechodz
ą
cych przez punkt A.
8
Niech prosta (4.1.) przechodz
ą
ca przez punkt A ( x
1
, y
1
), przechodzi przez drugi punkt
B (x
2
, y
2
), gdzie x
2
≠
x
1
.Współrz
ę
dne x
2
, y
2
spełniaj
ą
wówczas równanie (4.1.):
y
2
- y
1
= a (x
2
- x
1
)
sk
ą
d mamy
a
y
y
x
x
=
−
−
2
1
2
1
co podstawiaj
ą
c do (4.1.) daje
y
y
y
y
x
x
x
x
− =
−
−
−
1
2
1
2
1
1
(
)
(4.2.)
Równanie (4.2.) przedstawia PROST
Ą
PRZECHODZ
Ą
C
Ą
PRZEZ DWA PUNKTY.
Prosta ta przechodzi przez punkty A (x
1
, y
1
) oraz B (x
2
, y
2
).
Prosta AB jest nieprostopadła do osi 0x, bo zało
ż
yli
ś
my x
1
≠
x
2
.
9
Przekształcaj
ą
c równanie (4.2.) mo
ż
na przedstawi
ć
je w postaci
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
= −
−
1
2
1
1
2
1
(4.3.)
kiedy prosta AB jest nierównoległa do osi układu współrz
ę
dnych.
Je
ś
li x
1
= x
2
, ale y
1
≠
y
2
prosta AB jest prostopadła do osi 0x i przecina o
ś
odci
ę
tych
w punkcie x = x
1
, a jej równanie ma wówczas posta
ć
równania (1.2.) x = x
o
.
Je
ś
li y
1
= y
2
, ale x
1
≠
x
2
prosta AB jest równoległa do osi 0x i przecina o
ś
rz
ę
dnych
w punkcie y = y
1
, a jej równanie ma wówczas posta
ć
y = b (współczynnik kierunkowy
równania (1.1.) a=0)
ZADANIE 3.
Podaj równanie prostej przechodz
ą
cej przez punkty P(1, 4) i R(-1, 0)
Rozwi
ą
zanie: podstawiaj
ą
c współrz
ę
dne punktów P i R do równania (4.2.) otrzymujemy
y
y
y
y
x
x
x
x
− =
−
−
−
1
2
1
2
1
1
(
)
y
x
− = −
− −
−
4
0 4
1 1
1
(
)
y-4 = 2 (x-1)
y = 2x -2 +4
równanie prostej: y=2x+2.
10
5. Przedstawienie parametryczne prostej na płaszczy
ź
nie.
Na to by punkt P (x, y) le
ż
ał na prostej p przechodz
ą
cej przez punkt P
o
(x
o
, y
o
) i równoległej
do niezerowego wektora [m, n] ( punkty P i P
o
maj
ą
ró
ż
n
ą
co najmniej jedn
ą
współrz
ę
dn
ą
)
potrzeba i wystarcza,
ż
eby jego współrz
ę
dne dały si
ę
napisa
ć
w postaci równa
ń
:
x= x
o
+ms
y= y
o
+ns
(5.1.)
gdzie m i n s
ą
współczynnikami kierunkowymi prostej p, s
ą
tak
ż
e współrz
ę
dnymi dowolnego
wektora równoległego do prostej p, co zapisujemy
[ , ]
m n p
, s
∈
R
.
([m, n]=[ x
2
- x
1
, y
2
- y
1
]), liczby m i n nie s
ą
jednocze
ś
nie zerami.
s jest parametrem, czyli liczb
ą
ró
ż
n
ą
od zera, której istnienie umo
ż
liwia warunki (5.1.)
je
ż
eli s = 0 otrzymujemy punkt P
o
(x
o
, y
o
)
Układ równa
ń
(5.1.) stanowi PARAMETRYCZNE RÓWNANIA PROSTEJ.
Równania te spełnione s
ą
przez wszystkie punkty prostej p i tylko przez jej punkty.
Za pomoc
ą
tej postaci dadz
ą
si
ę
przedstawi
ć
wszystkie proste płaszczyzny, podobnie jak za
pomoc
ą
równania ogólnego prostej (2.1.)
Równania parametryczne prostej p mo
ż
na przedstawi
ć
w postaci
x= x
o
+( x
2
- x
1
) s
y= y
o
+( y
2
- y
1
) s (5.2.)
Prosta p spełniaj
ą
ca warunki (5.2.) przechodzi przez dwa punkty o współrz
ę
dnych (x
1
, y
1
) oraz
(x
2
, y
2
).
Gdy m
≠
0 oraz n
≠
0 ruguj
ą
c s z równa
ń
(5.1.) otrzymujemy równanie
x
x
m
y
y
n
o
o
−
= −
(5.3.)
wówczas prosta p nie jest równoległa ani do osi 0x ani do osi 0y.
11
6. Posta
ć
normalna równania prostej
Niech prosta q le
ż
y w płaszczy
ź
nie prostok
ą
tnego układu współrz
ę
dnych. Wykre
ś
lmy do
niej, z pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych, o
ś
normaln
ą
(prostopadł
ą
) n.
Oznaczmy: p - odległo
ść
prostej q od pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych
α
- k
ą
t jaki tworzy dodatni kierunek osi 0x z osi
ą
n (0
≤
α
< 2
π
)
Przekształ
ć
my równanie (2.1.) Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
> 0) dziel
ą
c je przez
2
2
B
A
+
±
Wówczas otrzymujemy
Ax
By
C
A
B
+
+
+
=
2
2
0
lub -
Ax
By
C
A
B
+
+
+
=
2
2
0
, czyli
A
A
B
x
B
A
B
y
C
A
B
2
2
2
2
2
2
0
+
+
+
+
+
=
lub
0
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
−
+
+
−
B
A
C
y
B
A
B
x
B
A
A
przyjmujemy: cos
α
=
B
A
A
+
±
2
(*)
sin
α
=
B
A
B
+
±
2
(**) p =
B
A
C
+
2
Uwaga: znak przy
A
B
2
2
+
w (*) i (**) nale
ż
y przyj
ąć
przeciwny ni
ż
znak wyrazu C.
otrzymujemy równanie xcos
α
+ ysin
α
- p = 0 (6.1.)
Równanie (6.1.) nosi nazw
ę
RÓWNANIA NORMALNEGO PROSTEJ
Ka
ż
d
ą
prost
ą
na płaszczy
ź
nie mo
ż
na przedstawi
ć
za pomoc
ą
równania (6.1.)
Rozpatrzmy kilka skrajnych przypadków:
12
i ) gdy prosta q jest równoległa do osi 0x:
α
=
π
/ 2 sin
π
/ 2=1
p>0 cos
π
/ 2=0
x cos
π
/ 2 + y sin
π
/ 2 - p=0
x 0 + y 1 - p = 0
y = p
( ii ) gdy prosta q pokrywa si
ę
z osi
ą
0x (szczególny przypadek równoległo
ś
ci do 0x)
p =0 y =0
( iii ) gdy prosta q jest prostopadła do osi 0x:
α
= 0 sin0 = 0
p>0 cos 0 = 1
x cos 0 +y sin 0 - p = 0
x 1 + y 0 - p = 0
x = p
( iiii ) gdy prosta q pokrywa si
ę
z osi
ą
0y (szczególny przypadek prostopadło
ś
ci do 0x)
p = 0 x = 0
13
ZADANIE 4.
Zapisz równanie kierunkowe prostej y=x w postaci normalnej. Przedstaw pomocniczy rysunek.
Rozwi
ą
zanie: zapiszmy równanie y=x w postaci ogólnej Ax+By+C=0
-x+y=0 A = -1, B = 1, C = 0
A
B
2
2
+
=
2
cos
α
=
−
= −
1
2
2
2
sin
α
=
1
2
2
2
=
zatem
α
= 0, 75
π
p = 0
x cos 0, 75
π
+ y sin 0, 75
π
= 0
14
PROSTA W PRZESTRZENI
Prost
ą
w przestrzeni okre
ś
la si
ę
jako lini
ę
przeci
ę
cia dwóch płaszczyzn i wyznacza
si
ę
j
ą
analitycznie za pomoc
ą
układu równa
ń
liniowych. Zakładamy tu nierównoległo
ść
tych
płaszczyzn. Jest oczywiste,
ż
e ka
ż
da prosta da si
ę
przedstawi
ć
niesko
ń
czenie wieloma
sposobami, poniewa
ż
istnieje niesko
ń
czenie wiele par płaszczyzn przechodz
ą
cych
przez nasz
ą
prost
ą
.
7. Prosta okre
ś
lona przez jej rzuty.
Przedstawienie prostej w przestrzeni mo
ż
e nast
ą
pi
ć
przez okre
ś
lenie jej rzutów
równoległych do osi układu współrz
ę
dnych, przy czym wybieramy dwie spo
ś
ród płaszczyzn
tego układu np. 0xy i 0xz.
Je
ś
li rzuty prostej (nazwijmy j
ą
p) na płaszczyzny 0xy i 0xz maj
ą
w tych płaszczyznach równania:
y = ax + b
z = cx + d (7.1.)
to równania te wyznaczaj
ą
jednoznacznie prost
ą
p.
Równania (7.1.) traktujemy jako równania dwóch płaszczyzn przechodz
ą
cych przez prost
ą
p,
z których pierwsza płaszczyzna jest równoległa do osi 0z, za
ś
druga jest równoległa do osi 0y.
15
8. Prosta jako cz
ęść
wspólna płaszczyzn, podanych w postaci ogólnej.
Je
ż
eli dwie nierównoległe płaszczyzny przestrzeni zapiszemy w postaci ogólnej:
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 (8.1.)
to układ równa
ń
(8.1.) b
ę
dzie spełniony przez punkty dokładnie jednej prostej.
Na to, by punkt le
ż
ał na tej prostej, potrzeba i wystarcza,
ż
eby jego współrz
ę
dne spełniały
jednocze
ś
nie obydwa równania (8.1.)
Układ równa
ń
(8.1.) wyznacza kraw
ę
d
ź
przeci
ę
cia dwóch płaszczyzn, przy czym:
A
1
, B
1
, C
1
nie s
ą
jednocze
ś
nie zerami
podobnie A
2
, B
2
, C
2
nie s
ą
jednocze
ś
nie zerami
oraz wektory [A
1
, B
1
, C
1
] i [A
2
, B
2
, C
2
] nie s
ą
równoległe
9. Równanie prostej przechodz
ą
cej przez dwa punkty w przestrzeni.
Niech prosta przechodzi przez punkty A (x
1
, y
1
, z
1
) i B (x
2
, y
2
, z
2
).
,
Analogicznie do równania (4.3.) zapiszemy równania prostej przechodz
ą
cej przez dwa ró
ż
ne
punkty przestrzeni:
x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
−
−
= −
−
= −
−
1
2
1
1
2
1
1
2
1
(9.1.)
Równania (9.1.) s
ą
w rzeczywisto
ś
ci układem trzech równa
ń
, które zostan
ą
spełnione przez takie
punkty A i B,
ż
e prosta AB nie jest równoległa do
ż
adnej z płaszczyzn prostok
ą
tnego układu
współrz
ę
dnych.
16
10. Przedstawienie parametryczne prostej w przestrzeni.
Prosta w przestrzeni mo
ż
e by
ć
przedstawiona równie
ż
w postaci parametrycznej.
Analogicznie jak na płaszczy
ź
nie we
ź
my dowolny niezerowy wektor równoległy do prostej p.
Niech współrz
ę
dne tego wektora b
ę
d
ą
oznaczone [m, n, l ]. We
ź
my dwa ró
ż
ne punkty prostej:
P
o
( x
o
, y
o
, z
o
) i P (x, y, z).
Wówczas, je
ś
li prosta p nie jest równoległa do
ż
adnej z płaszczyzn układu współrz
ę
dnych
( m
≠
0, n
≠
0, l
≠
0 ), mo
ż
na j
ą
przedstawi
ć
nast
ę
puj
ą
co:
x
x
m
y
y
n
z
z
l
o
o
o
−
= −
= −
(10.1.)
za
ś
ogólnie, analogicznie jak dla prostej na płaszczy
ź
nie (równanie (5.1.) ), równanie prostej
przechodz
ą
cej przez dwa ró
ż
ne punkty P i P
o
daje si
ę
przedstawi
ć
układem równa
ń
:
x = x
o
+ ms
y = y
o
+ ns
z = z
o
+ ls (10.2.)
Z układu równa
ń
(10.1.) wynika,
ż
e gdy parametr s = 0, punkt P pokrywa si
ę
z punktem P
o
.
17
LITERATURA
1. Stanisław Ziele
ń
- Matematyka dla klasy I szkoły
ś
redniej
2. Stanisław Ziele
ń
- Matematyka dla klasy III szkoły
ś
redniej
3. Franciszek Leja - Geometria analityczna
4. Marceli Stark - Geometria analityczna
5. Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz - Matematyka - geometria
analityczna