1.Postulaty   statyki 

1)Zasada 

równoległoboku 

 

R=P

1

+P

2

       

2)Dwie   siły   przyłożone   do   ciała 
sztywnego równoważą się tylko wtedy, 
gdy działają wzdłuż tej samej prostej, 
są   przeciwnie   skierowane   i   mają   te 
same   wartości   liczbowe  3)Działanie 
układu sił przyłożonych do ciał sztyw. 
nie   ulegnie   zmianie,   gdy   do   układu 
dodamy   lub   odejm.   dowolny   układ 
równoważących   się   sił   tzw.   układ 
zerowy  4)Zasada   zesztywnienia  – 
równowaga   sił   działających   na   ciało 
odkształcalne   nie   zostanie   naruszona 
przez   zesztywnienie   tego   ciała 
5)Każdemu   działaniu   towarzyszy 
równe   co   do   wartości   i   przeciwnie 
skierowane   wzdłuż   tej   samej   prostej 
przeciwdziałanie

 6)Każde   ciało 

nieswobodne   można   myślowo 
oswobodzić   od   więzów,   zastępując 
przy   tym   ich   działanie   odpowiednimi 
reakcjami.
2. Twierdzenie o trzech siłach- Aby 3 
nierównoległe do siebie siły działające 
na   ciało   sztyw.   były   w   równowadze, 
linie   działania   tych   sił   muszą   się 
przecinać w jednym punkcie, a same 
siły   tworzyć   trójkąt   zamknięty.

3.   Varignon 

  Moment   względem 

dowolnego   punktu   O  wypadkowej 
dwóch sił równy jest sumie momentów 
sił   wypadkowych  względem   tego 
punktu. 

4.   Para   sił   -  Układ   dwóch   sił 
równoległych   nie   leżących   na   jednej 
prostej. Aby pary sił działające w jednej 
płaszczyźnie   znajdowały   się   w 
równowadze,   suma   momentów   tych 
par musi być równa zeru.

5.Moment   siły   –  Aby   siły   zbieżne 
leżące   w   jednej   płaszczyźnie   były   w 
równowadze, sumy rzutów tych sił na 
osie   układu   muszą   być   równe   zero. 
M

o

=rFsin(r,F)  ∑M

i

=0

6.  Kratownica  – jest to układ złożony 
z   prętów   połączonych   przegubowo, 
mający

 

niezmienną

 

postać 

geometryczną.   Warunek   sztywności 
p=2w-3; rozciaganie, sciskaniue

7. Redukcja płaskiego układu sił

P’=P 
a’=-a      

8. Redukcja przestrzennego ukł. Sił 
–  dowolny   układ   sił   przyłożonych   do 
jednego   punktu   zastąpić   możemy 
jedną   siłą   wypadkową   przyłożoną   w 
tym   punkcie   i   równą   sumie 
geometrycznej sił.

9.Tarcie  –   zjawisko   powstawania   sił 
stycznych do powierzchni styku dwóch 

ciał.   Siły   te   nazywamy 
siłami   tarcia.   Możemy   je 
opisać   jako   siły   oporu 
zapobiegające   ruchowi, 
który   by   powstał   gdyby 
tarcia nie było

10.

 

Kinematyczne 

równania   ruchu   –  x=f

1

(t), 

y=f

2

(t),   z=f

3

(t)   –   równania 

parametryczne   toru   punktu 

lub 

11. Definicja prędkości – 

Prędkość   punktu   jest 
wektorem

 

określonym 

przez   pierwszą   pochodną 
wektora

 

położenia 

względem czasu.

12. Definicja 
przyspieszenia – 

Wektor dany przez 
pierwszą pochodną wektora 
prędkości lub dugą 
pochodną wektora 
położenia względem czasu 

13.

 

Przyspieszenie 

styczne;   p.   normalne   – 
przysp. styczne - 

; przysp. 

normalne - 

, 

gdzie p- promień krzywizny

14. Droga – s=∫vdt

18. Rodzaje ruchów bryły

Ruch   postępowy-   jeżeli 
bryła porusza się tak że jej 
chwilowe   położenia   są 
równoległe   do   położenia 
początkowego.
Ruch   obrotowy-  Jeżeli 
dwa   punkty   bryły   są  stałe, 
tworzą   wtedy   oś   obrotu 
bryły
Ruch   płaski-  traktujemy 
jako   chwilowy   ruch 
obrotowy wokół chwilowego 
środka obrotu

19.

 

Prędkość

 

i 

przyspieszenie
Punktu   bryły   w   ruchu 
postępowym
Prędkość:

Prędkości

 

wszystkich 

punktów bryły poruszającej 
się ruchem
postępowym   są   w   danej 
chwili

 

wektorami 

równoległymi.
Przyspieszenie: 

Przyspieszenia   wszystkich 
punktów   bryły   w   ruchu 
postępowym są w danej
chwili

 

wektorami 

równoległymi.

20.

 

Prędkość

 

i 

przyspieszenie   punktu 
bryły w ruchu obrotowym
Prędkość: 

Prędkość

 

liniowa 

dowolnego   punktu   bryły   w 
ruchu obrotowym

jest   równa   iloczynowi 
wektorowemu

 

wektora 

prędkości
kątowej   przez   wektor 
położenia punktu (początek 
układu na
osi obrotu).
Przyspieszenie:

Całkowite   przyspieszenie 
dowolnego   punktu   bryły   w 
ruchu obrotowym jest sumą 
geometryczną 
przyspieszeń:
Obrotowego i doosiowego

21. Prędkość kątowa

22.

 

Przyspieszenie 

kątowe
jest   wektorem   leżącym   na 
osi   obrotu   i   skierowanym 
zgodnie   z   regułą   śruby 
prawoskrętnej.

 

Jeśli 

współrzędną   kątową   ciała 
określa   kąt  α,   a   wartość 
prędkości

 

kątowej 

oznaczymy   jako  ω,   to 
wartość   przyspieszenia 
kątowego ε wynosi:

23.Prędkość liniowa 
punktu, a prędkość 
kątowa bryły- Każdy punkt 
obracającej się bryły ma inną 
prędkość liniową, natomiast 
prędkość kątowa wszystkich 
punktów bryły jest taka sama. 
Punkt odległy od osi obrotu o 
r ma prędkość liniową v taką, 
że 

24.

 

Prędkość

 

i 

przyspieszenie   bryły   w 
ruchu płaskim
Prędkość

 

(sum. 

Geo.V.pot+V.obrot) :

Przyspieszenie(   sum.geo.a 
post+a.obrot+a.doosiowego
)

26.Chwilowy

 

środek 

obrotu
Punkt, którego prędkość w 
danej   chwili   jest   równa 
zeru.
Wyznaczenie środka obrotu
W układzie ruchomym

r

c

'

=

H

w

ﾉ n

o'

L

w

2

W układzie nie ruchomym

r

c

= n

o'

+

r

c

'

29. Układ Eulera
Prędkość 

31.   Przyspieszeni   kątowe   w 
przypadku precesji regularnej

33. ruch złożony punktu
Ruch   punktu   względem   układu 
nieruchomego   nazywamy

 ruchem 

bezwzględnym,   a   względem   układu 
ruchomego  ruchem względnym.  Ruch 
układu   ruchomego   względem   układu 
nieruchomego   nazywamy

 ruchem 

unoszenia

34. Prędkość bezwzględna
 Jest wypadkową prędkości unoszenia 
i prędkości względnej

35. Przyspieszenie bezwz.
Jest   sumą   wektorową   przyspieszenia 
unoszenia,

 

względnego

 

i 

przyspieszenia Coriolisa

36.Przyspieszenie

 

Coriolisa, 

dodatkowe   przyspieszenie   liniowe, 
które   ma   w   ruchomym   układzie 
odniesienia   (np.   związanym   z 
obracającą się Ziemią) poruszające się 
względem   niego   ciało   dzięki   ruchowi 
obrotowemu tego układu.
37. Prawa ruchu Newtona    
Prawo pierwsze.  Każde ciało trwa  w 
stanie   spoczynku   lub   w   stanie   ruchu 
jednostajnego   prostoliniowego   dopóty, 
dopóki  siły  nań  działające   tego  stanu 
nie zmienią. 
Prawo   drugie.  Zmiana   ilości   ruchu 
(czyli   pędu   lub   impulsu)   jest 
proporcjonalna do siły działającej i ma 
kierunek  prostej,  wzdłuż  której ta   siła 
działa.   Oznaczając   przez  P  siłę 
działającą na punkt materialny, a przez 
mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), 
treść   drugiego   prawa   Newtona 
możemy   wyrazić   następującym 
równaniem wektorowym F=m*a

Prawo   trzecie.  Każdemu   działaniu 
towarzyszy   równe   i   przeciwne 
zwrócone   oddziaływanie,   czyli 
wzajemne   działania   dwóch   ciał   są 
zawsze   równe   i   skierowane 
przeciwnie. 
Prawo   czwarte.  Jeżeli   na   punkt 
materialny   o   masie

 m 

działa 

jednocześni  kilka   sił,  to   każda  z  nich 
działa   niezależnie   od   pozostałych,   a 
wszystkie razem działają tak, jak jedna 
tylko   siła   równa   wektorowej   sumie 
wektorów

 

danych

 

sił. 

d

dt

=

H

m

n

1

+

m

n

2

...

+

m

n

n

L

=

P

1

+

P

2

+

...

+

P

n

 

Prawo piąte (grawitacji).  Każde dwa 
punkty   materialne   przyciągają   się 
wzajemnie

 

z

 

siłą

 

wprost 

proporcjonalną   do   iloczynu   ich   mas 
(m

1

, m

2

) i odwrotnie proporcjonalną do 

kwadratu   odległości  r    między   nimi. 
Kierunek   siły  leży  na  prostej  łączącej 
te punkty.

P

=

k

 

m

1

 

m

2

r

2

38. Zasada d’Alemberta 
W ruchu punktu materialnego układ sił 
czynnych i reakcji więzów równoważy 
się   z   pomyślaną   siłą   bezwładności. 

39.Zasada zachowania pędu:

Równanie: 
Wyraża   zasadę   pędu   dla   punktu 
materialnego.   Pochodna   pędu   punktu 
materialnego   jest   równa   sumie   sił 
działających na dany punkt. Powyższe 
równanie

 

jest

 

ogólniejszym 

sformułowaniem   drugiej   zasady 
dynamiki.

 

Jeżeli

 

teraz:

Jest   to   zasada   zachowania   pędu   dla 
punktu.

40.Zasada   pędu   i   popędu.
Zasada   pędu   i   popędu  (lub   inaczej, 
prawo zmienności pędu)
Przyrost  pędu   układu  materialnego  w 
skończonym   przedziale   czasu   jest 
równy popędowi wektora głównego sił 
zewnętrznych   działających   na   ten 
układ.

∫

=

−

t

dt

W

p

t

p

0

)

0

(

)

(

41.Zasada zachowania krętu.
Pochodna   względem  czasu  krętu  ukł. 
Obliczonego względem pkt. nieruchom 
S   lub   wzg.   Srodka   masy   rowna   jest 
sumie   momentow   sil   zewn. 
Działających   na   układ   obliczonych 
względem pkt S Lub środka masy
Ks_=sum(n;i=1) pi_x(mi*vi_) 

42.Zasada krętu i pokrętu.
Zasada krętu i pokrętu
Przyrost   krętu   układu   materialnego 
względem   dowolnego   nieruchomego 
punktu jest równy pokrętowi momentu 
głównego   sił   zewnętrznych   względem 
tego samego punktu.

∫

=

−

t

O

O

O

dt

M

k

t

k

0

)

0

(

)

(

43.Dynamiczne   równania   ruchu 
punktu   materialnego.  Powstaja   z 
podwojnego całkowania

44.Definicja pracy.
Jeśli   na   jakis   pkt.   działa   siła   P_   i 
przesuwa się o s_, to mowimy, ze P_ 
wykonała   prace:   L=P_*S_=P*s*cosa 
[J=(kg*m^2)/s^2]

45.Moc mechaniczna.
Mocą siły nazywamy pracą wykonaną 
w   jednostce   czasu.   Jeśli   praca   siły 
zmienia się z czasem to wówczas moc 
jest pochodna pracy względem czasu: 
M=dL/dt=P_*dr_/dt=P_*V_ 
M=P_*v_=P*v*cosa [W=J/s]
46.Zasada   równoważności   pracy   i 
energii kinetycznej.
Jeżeli   na   poruszający   się   punkt 
materialny   o   masie   m   działa   siła 
czynna   P   to   przyrost   en.   kinetycznej 
tego   punktu   jest   równy   pracy 
wykonanej przez siłę działającą na ten 
punkt: L=1/2mV

2

k 

- 1/2mV

2

p

49.Twierdzenie o ruchu środka masy 
układu punktów materialnych.

, gdzie 

∑

F

-R, 

∑

W

=0

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

mr

dt

d

∑

=

; Mr

0

’’=R

Ruch   układów   punktów   materialnych 
odbywa się tak jakby cała masa układu 
skupiona była w jego środku masy i na 
który   to   punkt   działają   wszystkie   siły 
zewnętrzne.

                               →   →  
                                M ro =  
R

50.Pęd   układu   punktów 
materialnych.

R

MV

dt

d

=

0

; 

Q=MV

0

=

∑

mV

  -   pęd 

ukł.   punktów_materialnych; 

R

dt

dQ

=

 - zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła 
zew, a nie wew.
R=0 >> Q=const
Jeżeli   jedno   ciało   zyskuje 
pęd   to   drugie   też   go 
zyskuje  lecz  z   przeciwnym 
znakiem.
Pęd   dotyczy   tylko   ruchu 
postępowego,

 

nie 

obrotowego,   bo   nie   ma 
masy,

 

bezwładności, 

prędkości kątowej.
Zasada zachowania pędu:
Jeżeli na układ nie działają 
siły   lub   działające   siły   się 
znoszą   to   pęd   jest   stały, 
czyli   zachowany   R=0   to 
Q=const.   Określa   się   go 
tylko

 

przy

 

ruchu 

postępowym,   przy   ruchu 
obrotowym nie istnieje.

51.Kręt   układu   punktów 
materialnych.

K

s

=

∑

ρ

i

*mV

i

 – kręt

c

c

M

dt

dK

=

Zmiana   krętu   ukł.   punktów 
mat.   W   czasie   wywołana 
jest   przez   moment   główny 
działający   na   układ   brany 
względem   nieruchomego 
punktu lub środka masy.
M

c

=0 >> K

c

=const

52.Energia   kinetyczna 
układu

 

punktów 

materialnych.
Energia   kinetyczna   układu 
punktów   materialnych   jest 
równa   sumie   energii 
poszczególnych pkt.
T=sum (mi*vi^2)/2 

53.Twierdzenie Koeniga.
Energia   kinetyczna   układu 
punktów

 

materialnych 

równa   jest   sumie   energii 
kinetycznej, jaką miałby pkt 
materialny   o   masie   całego 
układu,   poruszający   się   z 
prędkością   środka   masy 
oraz   energii   kinetycznej 
tegoż   układu   względem 
środka masy.

54.  Zasada   zachowania 
energii  mechanicznej  - w 
układzie   izolowanym   suma 
składników

 

wszystkich 

rodzajów   energii   całości 
(suma   energii   wszystkich 
jego   części)   układu   jest 
stała   (nie   zmienia   się   w 
czasie).

55.

 

Wahadło 

matematyczne

0

sin

"

0

sin

"

sin

"

sin

2

2

=

+

=

+

−

=

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

l

g

g

ml

ml

mgl

ml

mgl

M

z

56. Wahadło fizyczne
Wahadłem

 

fizycznym 

nazywamy

 

swobodnie 

obracające   się   ciało 
materialne

 

względem 

stałego punktu.

0

sin

"

sin

"

sin

=

+

−

=

−

=

⋅

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

g

I

ms

mgs

I

mgs

M

y

F

M

z

z

z

z

Porównując   to   równanie   z 
wahadłem   matematycznym 
otrzymujemy

ms

I

l

z

red

=

długość 

zredukowana
Okres wahadła

mgs

I

g

l

g

l

T

z

red

π

π

π

2

2

2

=

=

→

=

Rozwiązanie:

)

cos(

0

ϕ

ω

ϕ

+

=

t

A

57. Drgania swobodne
Aby   wystąpiły   drgania, 
punkt   musi   poruszać   się 
ruchem prostoliniowym pod 
wpływem

 

siły

 

F



przyciągającej ten punkt do 
stałego punktu O zwanego 
środkiem drgań.
Siła   sprężystości   jest 
proporcjonalna

 

do 

wychylenia punktu
F   =   -kx,   k-stała 
sprężystości.
Równanie   będzie   miało 
postać
mx” = F
mx” =  -kx   lub

ω

=

=

m

k

x

m

k

x

0

"

Otrzymujemy   równanie 
różniczkowe

 

drgań 

swobodnych

−

=

=

ω

ω

,

0

"

2

x

x

częstość 

ruchu.
Otrzymane   równanie   jest 
równaniem

 

liniowym, 

jednorodnym

 

drugiego 

rzędu. Rozwiązanie:

)

sin(

ϕ

ω

+

=

t

a

x

(a-
amplituda(max.wychylenie),

ϕ

- faza początkowa ruchu 

drgań 

 

)

(

ϕ

ω

+

t

-faza 

drgań)
Ruch określony powyższym 
wzorem   jest   okresowy   o 
okresie

k

m

T

m

k

T

π

ω

ω

π

2

,

2

=

=

=

58. Drgania tłumione
Drgania tłumione występują 
w   ośrodku   stawiającym 
opór.   Siły   oporu   są 
proporcjonalne

 

do 

prędkości

'

*

x

R

x

β

β ν

−

=

−

=

-siła 

tłumiąca.
Równania ruchu:

m

n

m

k

x

nx

x

x

kx

mx

β

ω

ω

β

=

=

=

+

+

−

−

=

2

,

0

'

2

"

'

"

2

Ponieważ równanie charakterystyczne

0

2

2

2

=

+

+

ω

α

α

n

  jest   kwadratowe,   to   mogą   zajść   3 
przypadki(delta   większa,   mniejsza, 
równa 0)
1.Małe   tłumienie

 

0

<

∆

⇒

>

n

ω

Rozwiązanie:

)

sin(

2

2

ϕ

ω

+

−

=

−

t

n

ae

x

nt

Jeżeli

 

0

,

→

∞

→

tox

t

-drgania 

zanikają.

 

Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

−

=

−

=

ω

ω

ω

ω

2.Duże   tłumienie.  

0

>

∆

⇒

<

n

ω

 

Mamy   rozw.   rzeczywiste   nie   będzie 
drgań. Rozwiązanie

)

sinh(

2

2

ϕ

ω

+

−

=

−

t

n

ae

x

nt

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, 
nie ma drgań.
3.Tłumienie krytyczne

0

=

∆

⇒

=

n

ω

Rozwiązanie:

)

(

2

1

t

C

C

e

x

nt

+

=

−

Brak okresowości, brak drgań.

60. Drgania wymuszone
Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła 
wymuszająca   okresowa   to   występują 
drgania wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt), 
p-czestość siły wymuszającej.
Równanie ruchu tych drgań

m

H

h

m

k

pt

h

nx

x

pt

H

kx

mx

=

=

=

+

−

−

=

,

)

sin(

'

2

"

)

sin(

"

ω

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

)

sin(

)

sin(

2

2

pt

p

h

t

a

x

−

+

+

=

ω

ϕ

ω

Jest   to 

złożenie   dwóch   drgań:   własnych   i 
wymuszonych. Widzimy, że amplituda 
drgań wymuszonych

2

2

p

h

B

−

=

ω

zależy   od   częstości   drgań 
wymuszonych.
Jeżeli

∞

→

→

toB

p

,

ω

i   występuje 

rezonans.   W   przypadku   rezonansu 
rozwiązanie   drgań   będzie   miało 
postać.

)

cos(

2

)

sin(

t

t

h

t

a

x

ω

ω

ϕ

ω

+

+

=

61.   Rezonans-  zjawisko   fizyczne 
zachodzące   dla   drgań   wymuszonych, 
objawiające się pochłanianiem energii 
poprzez   wykonywanie   drgań   o   dużej 
amplitudzie   przez   układ   drgający   dla 
określonych częstotliwości drgań.

62.   Amplituda-  nieujemna   wartość 
określająca wielkość przebiegu funkcji 
okresowej.

63. Okres drgań-

dla ruchu periodycznego czas, 
po jakim układ drgający 
znajduje się ponownie w 

takiej samej 

fazie

. 

gdzie: f - 

częstotliwość

,

gdzie: ω - 

pulsacja (częstość kołowa).

gdzie:λ - 

długość fali

,v - 

prędkość 

rozchodzenia się fali.

64. Częstotliwość określa liczbę cykli 

zjawiska

 okresowego występujących w 

jednostce 

czasu

. W 

układzie SI

 jednostką 

częstotliwości jest 

herc

 (Hz). 

Częstotliwość 1 herca odpowiada 
występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w 
ciągu 1 

sekundy

. Najczęściej rozważa się 

częstotliwość w 

ruchu obrotowym

, 

częstotliwość 

drgań

, 

napięcia

, 

fali

.W 

fizyce

 częstotliwość oznacza się literą f lub 

grecką literą 

ν

. Z definicji wynika wzór:

Gdzief – częstotliwość,n – liczba drgań,t – 
czas, w którym te drgania zostały 
wykonane.Z innymi wielkościami wiążą ją 
następujące zależności:

,

65. ω

o

 – częstość własna drgań oscylatora 

– określa liczbę pełnych drgnięć w 
jednostce czasu. Jak widać z powyższego 
wzoru na ω

o

, spada ona ze wzrostem masy 

m i rośnie ze wzrostem współczynnika k, 
będącego miarą sprężystości sprężyny. 

66. Faza – w 

fizyce

 wielkość 

bezwymiarowa opisująca procesy 
okresowe przedstawiająca, w której części 
okresu znajduje się ciało (zjawisko). Dla 
drgań harmonicznych opisanych 
równaniem

fazą 

drgań określa się 
argument funkcji 

sinus, czyli

67. Kąt φ nazywa się fazą początkową 
drgań, czyli fazą w chwili początkowej 
t = 0.

71. Reakcje dynamiczne

dynamiczne

reakcje

R

R

const

B

A

_

,

.

−

=

ω

Korzystamy z zasady d’Alemberta
Siły   odśrodkowe   muszą   się 
równoważyć z siłami reakcji. Równania 
będą

0

0

0

0

_

2

2

2

2

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

∫

∫

∫

∫

xzdm

l

R

yzdm

l

R

momenty

ydm

R

R

xdm

R

R

sił

równania

Bx

By

By

Ay

Bx

Ax

ω

ω

ω

ω

Oznaczając

∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

xz

yz

c

c

D

xzdm

D

yzdm

my

ydm

mx

xdm

,

,

mamy

0

0

0

0

2

2

2

2

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

xz

Bx

yz

By

c

By

Ay

c

Bx

Ax

D

l

R

D

l

R

my

R

R

mx

R

R

ω

ω

ω

ω

2

2

2

2

By

Bx

B

Ay

Ax

A

R

R

R

R

R

R

+

=

+

=

Reakcje   znikają   tylko 
wtedy, gdy

0

,

0

,

0

,

0

=

=

=

=

yz

xz

c

c

D

D

y

x

Aby   reakcje   dynamiczne 
były   równe   zeru   oś   obrotu 
musi być centralną główną 
osią bezwładności

72. Długość zredukowana 
wahadła fizycznego
Wahadłem

 

fizycznym 

nazywamy

 

swobodnie 

obracające   się   ciało 
materialne

 

względem 

stałego punktu.

73.   Kręt   bryły   w   ruchu 
obrotowym

74.   Energia   kinetyczna 
bryły w ruchu obrotowym

75.   Energia   kinetyczna 
bryły w ruchu płaskim

76 Środek masy bryły

77.   Środek   masy   układu 
punktów materialnych
Środek masy określony jest 
następująco:

Zgodnie   z   III   zasadą 
dynamiki   Newtona  

 

ponieważ

 

występują 

parami.

Pi - siły zewnętrzne;
Wi - siły wewnętrzne;
78.   Definicja   momentu 
bezwładności
Momentem   bezwładności 
punktu

 

materialnego 

względem płaszczyzny,
osi  lub  bieguna   nazywamy 
iloczyn   masy   tego   punktu 
przez   kwadrat   odległości 
tego

 

punktu

 

od 

płaszczyzny,   osi   lub 
bieguna.
I = mr

2

79.   Główny   moment 
bezwładności
Momenty   bezwładności 

względem punktu

I 

xx

 =

∫

 x

2

 dm

I 

yy

 =

∫

 y

2

 dm

I 

zz

 =

∫

 z

2

 dm

Momenty   bezwładności 

względem osi

I 

x

 =

∫

 (y

2

 + z

2

 ) dm = I 

yy

 + I 

zz

I 

y

 =

∫

 (x

2

 + z

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

zz

I 

z

 =

∫

 (x

2

 + y

2

 ) dm = I 

xx

 + I 

yy

Momentem

 

dewiacji 

(zboczenia)

80.   Dewiacyjne   momenty 
bezwładności

Momentem

 

dewiacji 

(zboczenia)  w płaszczyźnie 
dwóch

 

osi

 

układu 

współrzędnych 
karteziańskich   jest   całka 
iloczynów   mas   i   ich 
odległości   od   płaszczyzn. 
Jest on zależny od rozkładu 
mas i kierunku osi trzeciej.
I 

xy 

= I 

yx

 =  

∫

 xy dm

I 

yz 

= I 

zy

 =  

∫

 yz dm

I 

zx 

= I 

xz

 =  

∫

 zx dm

81. Tw. Steinera
Moment

 

bezwładności 

względem dowolnej osi jest 
równy

 

momentowi 

względem   osi   równoległej 
przechodzącej

 

przez 

środek

 

masy 

powiększonemu   o   iloczyn 
masy całkowitej
układu   przez   kwadrat 
odległości obu osi.
I

 l

= I 

s 

+ md

2

83.

 

Główna

 

oś 

bezwładności
Można   przyjąć   układ 
współrzędnych taki, ze Dαβ 
=0. I

1

x

2

+ I

2

y

2

+ I

3

z

2

= k

2

gdzie   I

1

,

2

,

3

 

-główne 

momenty bezwładności
Takimi osiami są: każda oś 
symetrii,     każda   prosta  ⊥ 
do   płaszczyzny   symetrii, 
każda prosta, na której leżą 
środki   mas   warstw 
elementarnych, 
otrzymanych   przez   podział 
ciała

 

płaszczyznami 

prostopadłymi do
tej prostej.
84. Centralna oś 
bezwładności-Centralnym 
momentem bezwładności 
bryły nazywamy moment 
względem osi
przechodzącej przez środek 
masy bryły sztywnej. Każda 
bryła ma taką centralną oś
obrotu, względem której 
moment bezwładności ma 
największą wartość oraz oś do 
niej
prostopadłą, względem której 
moment bezwładności jest 
najmniejszy. Osie te nazywają
się głównymi osiami 
momentu bezwładności. 
Trzecią osią główną jest oś do 
nich
prostopadła, moment 
bezwładności ma względem 
niej pośrednią wartość.

85.   Główna   centralna   oś 
bezwładności
Są   to   osie   główne 
przechodzące przez środek 
masy

87. Środek uderzenia,
Wybrany   punkt   ciała 
posiadającego stałą oś obrotu, 
mający   tę   własność,   że   przy 
prostopadłym uderzeniu w ten 
punkt   nie   pojawia   się   siła 
reakcji   na   osi   obrotu. 
Położenie   środka   uderzenia 
określone jest wzorem:

h=I/md

h-odległość   środka   uderzenia 
od   osi   obrotu,  I-moment 
bezwładności   ciała   względem 
osi obrotu, d-odległość środka 
masy ciała od osi obrotu.
Długość   trzonków   prostych 
narzędzi   (młotek,   siekiera, 
kilof, itp.) dobiera się tak, by 
środek   części   roboczej   był 

środkiem   uderzenia   dla   osi   obrotu 
przechodzącej przez miejsce trzymania.

88. Współczynnik restytucji
S``=kS`
S`-impuls   odpowiadający   pierwszemu 
okresowi uderzenia
S``-impuls   odpowiadający   drugiemu 
okresowi uderzenia
k-wartość   współczynnika   zależy   od 
materiału,   z   którego   wykonane   są 
zderzające się ciała. W przypadku gdy przy 
uderzeniu   występują   tylko   odkształcenia 
idealnie   sprężyste   to   S`=S``   stąd   k=1 
(uderzenie   idealnie   sprężyste).   Drugi 
krańcowy przypadek to uderzenie idealnie 
plastyczne- S``=0 stąd k=0
podsumowując 0<=k<=1