POLITECHNIKA  RZESZOWSKA

Sprawozdanie pobrano z http://www.studentsite.pl

Chcesz pobrać więcej sprawozdań? Wejdź na 

http://www.studentsite.pl/materialy_studenckie

LABORATORIUM Z FIZYKI

Ćwiczenie nr.16

Badanie anharmoniczności wahadła fizycznego 

Prowadzący:

 

Wykonał:

    

Rok akademicki 2007/2008

I.

Wstęp teoretyczny 

Ruch w którym punkt materialny porusza się ruchem okresowym, po tej samej drodze 

nazywamy ruchem drgającym. Szczególnym ruchem drgającym jest przypadek ruchu 

harmonicznego.

Jedyna siła działająca na ciało w ruchu harmonicznym jest siła, której wielkość jest 

proporcjonalna a zwrot przeciwny do wychylenia

F =−kx

Stosując druga zasadę Newtona (F=m*a) do ruchu przedstawionego wyżej. Na miejsce siły 

podstawiając „-kx” a na miejsce przyspieszenia druga pochodna przemieszczenia względem 

czasu d

2

x/dt

2 

. W ten sposób otrzymujemy 

-kx=m·(d

2

x/dt

2

)

Rozwiązaniem tego równania jest zależność wychylenia do czasu

x=A sin(ω

0

t+φ)

Wychylenie ciała z położenia równowagi w ruchu harmonicznym jest sinusoidalna funkcja czasu 

Z zależności x=A sin(ω

0

t+φ) możemy otrzymać prędkość i przyspieszenie ciała 

V

=dx/dt=A

ω

0

 cos(ω

0

t+φ)

a=dv/dt=d

2

x/dt

2

=-Aω

0

2

 sin(ω

0

t+φ)

W powyższych równaniach występują trzy stałe:

A - amplituda ruchu

ω

0

 - częstość drgań własnych

φ - faza początkowa 

Z ruchem harmonicznym wiąże się również okres i częstotliwość drgań 

T =

1

f

=

2⋅



0

=

2 



m

k

Ruch harmoniczny jest często dobrym przybliżeniem rzeczywistych drgań w zakresie małych 

wychyleń. Sytuacja taka ma miejsce w przypadku wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne – jest to dowolne ciało sztywne zawieszone tak, ze może się wahać dookoła 

pewnej osi przechodzącej przez to ciało. Polonezie ciała opisuje kat α który jest odpowiednikiem 

zmiennej „x” w ruchu harmonicznym. Moment siły ciężkości względem osi obrotu powoduje 

ruch bryły, moment ten wynosi 

M= -mgl sin

α

Znak „-” oznacza ze momet siły działa przeciwnie do wychylenia 

Równanie różniczkowe ruchu wahadła ma następująca postać 

I



d

2



dt

2

=−

mglsin

I - momet bezwładności bryły względem osi obrotu 

Równanie to nie posiada rozwiania analitycznego 

Ruch opisany tym równaniem nazywamy ruchem anharmonicznym. Rozwiązania równania 

poszukujemy w metodach przybliżonych.

  Okres wahań wahadła fizycznego w zakresie małych amplitud wynosi 

T

0

=

2 



0

=

2 



I

mgl

Zależność wychylenia od czasu ma postać 

=

max

sin

0



Dokładniejsze przybliżenie otrzymamy uwzględniając dwa kolejne wyrazy w rozwiązaniu 

funkcji sinus w szereg 

sin =−

1
6



3

Równanie ruchu wahadła przybierze wtedy postać 

  I



d

2



dt

2

=−

mgl −

1
6

mgl 

3

Ruch opisany tym równaniem jest ruchem anharmonicznym 

II. Wykonanie ćwiczenia

-Zmierzyć czas trwania 5 wahań wahadła dla danej amplitudy. Amplitudy zmieniać co  5

°

 w 

 zakresie od 3

°

 do maksymalnej możliwej.

-Wyniki pomiarów zapisać w tabeli:

i

1

3

0,052

25,74

5,148

1,220

1,490

0,00275

2

8

0,140

27,70

5,540

1,134

1,286

0,01949

3

13

0,227

28,30

5,660

1,110

1,232

0,05148

4

18

0,314

28,60

5,720

1,098

1,207

0,09872

5

23

0,401

28,84

5,768

1,089

1,187

0,16112

6

28

0,489

29,01

5,802

1,083

1,173

0,23883

7

33

0,576

29,22

5,844

1,075

1,156

0,33178

8

38

0,663

29,25

5,850

1,074

1,154

0,43983

9

43

0,751

29,29

5,858

1,073

1,150

0,56325

10

48

0,838

29,36

5,872

1,070

1,145

0,70191

11

53

0,925

29,95

5,990

1,049

1,100

0,85563

12

58

1,012

30,21

6,042

1,040

1,081

1,02475

13

63

1,100

30,47

6,094

1,031

1,063

1,20912

(

α

max

)

i

[

°

]

(

α

max

)

i

[rad]

ti

[s]

Ti= ti/5

[s]

ω

i=2

π

/Ti

[1/s]

y

i

=

ω

i

2

[1/s

2

]

x

i

=((

α

max

)

i

)

2

[(rad)

2

]

III. Obliczenia

1. Wielkości występujące w tabeli

a)

T

i

=

t

i

5

T

i

=

25,74

5

=

5,148[ s]

b)



i

=

2 

T

i

   



i

=

2 

5,148

=

1,221 [

1

s

]

c)

y

i

=

i

2

y

i

=

1,221

2

=

1,491[

1

s

2

]

d)

x

i

=

max



i



2

x

i

=

0,0524

2

=

0,00274[rad

2

]

2. Obliczenie o ile procent zwiększa się okres wahań wahadła przy maksymalnej 

amplitudzie w stosunku do amplitudy 3

o

a)

T

max

−

T

3

T

3

⋅

100 %

6,094−5,148

5,148

⋅

100 %=18 %

3. Niepewności 

a) kątowa 

u =

 



3

u =

1



3

=

0,577

0

b) czasu

u  s=



s



3

u  s=

0,4



3

=

0,231 s

3. Dopasowanie metoda najmniejszych kwadratów prosta y(x)

a) tabela regresji 

b) obliczenia 

y=ax b

x= x

i

y= y

i

y

i

=

ax

i



b



a=



n

∑

i=1

n

x

i

y

i

−

∑

i=1

n

x

i

∑

i=1

n

y

i



[

n

∑

i=1

n

x

i

2

−

∑

i=1

n

x

i



2

]



a=−0,2049

1

s

2



b=

1
n



∑

i=1

i=1

y

i

−

a

∑

i=1

n

x

i





b=1,2749

1

s

2

u a =





n

n

∑

i=1

n

x

i

2

−

∑

i=1

n

x

i



2



u b=





∑

i=1

n

x

i

2

n

∑

i =1

n

x

i

2

−

∑

i=1

n

x

i



2



L.P

1

0,00275

1,48956

0,00409 0,0000075

2,21878

2

0,01949

1,28622

0,02507 0,0003798

1,65436

3

0,05148

1,23226

0,06344 0,0026506

1,51846

4

0,09872

1,20654

0,11911 0,0097456

1,45574

5

0,16112

1,18654

0,19118 0,0259603

1,40789

6

0,23883

1,17268

0,28007 0,0570387

1,37517

7

0,33178

1,15588

0,38349 0,1100753

1,33606

8

0,43983

1,15351

0,50735 0,1934542

1,33059

9

0,56325

1,15036

0,64794 0,3172508

1,32334

10

0,70191

1,14489

0,80361 0,4926760

1,31076

11

0,85563

1,10022

0,94138 0,7320941

1,21049

12

1,02475

1,08137

1,10813 1,0501152

1,16935

13

1,20912

1,06299

1,28528 1,4619716

1,12995

sumy

5,6987

15,4230

6,3601

4,4534

18,4409

x

i

y

i

x

i

y

i

x

i

2

y

i

2

u a =0,0533

1

s

2

u b=0,135

1

s

2

c) postać równania regresji

y

i

=−

0,2049 x

i



1,2749

y

i

≡

2



2

=

i

2

⋅

1−



max



i

2

8



x

i

≡

max



i

2

y

i

=

i

2

⋅

1−

x

i

8



y

i

=

i

2

−



i

2

8

⋅

x

i

a=−



i

2

8

b=

i

2

4.wykresy

Zakres danych y(x)

Dane linii regresji

i

Zakres danych

1

3

0,052

25,74

5,148

1,220

1,490

0,00275

1,2743

0,0027

Linia regresji 

2

8

0,140

27,70

5,540

1,134

1,286

0,01949

1,2709

0,0195

3

13

0,227

28,30

5,660

1,110

1,232

0,05148

1,2644

0,0515

4

18

0,314

28,60

5,720

1,098

1,207

0,09872

1,2547

0,0987

5

23

0,401

28,84

5,768

1,089

1,187

0,16112

1,2419

0,1611

6

28

0,489

29,01

5,802

1,083

1,173

0,23883

1,2260

0,2388

7

33

0,576

29,22

5,844

1,075

1,156

0,33178

1,2069

0,3318

8

38

0,663

29,25

5,850

1,074

1,154

0,43983

1,1848

0,4398

9

43

0,751

29,29

5,858

1,073

1,150

0,56325

1,1595

0,5633

10

48

0,838

29,36

5,872

1,070

1,145

0,70191

1,1311

0,7019

11

53

0,925

29,95

5,990

1,049

1,100

0,85563

1,0996

0,8556

12

58

1,012

30,21

6,042

1,040

1,081

1,02475

1,0649

1,0248

13

63

1,100

30,47

6,094

1,031

1,063

1,20912

1,0272

1,2091

-0,2049

1,2749

(

α

max

)

i

[

°

]

(

α

max

)

i

[rad]

ti

[s]

Ti= ti/5

[s]

ω

i=2

π

/Ti

[1/s]

y

i

=

ω

i

2

[1/s

2

]

x

i

=((

α

max

)

i

)

2

[(rad)

2

]

y

i

          x

i

y

i

=−

0,2049 x

i



1,2749

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

Wykres zaleznosci y(x)

Zakres danych 
Linia regresji 

(α max)ᵢ

²

ωᵢ

²

3

5,148

Zależność okresu od amplitudy 

8

5,540

13

5,660

18

5,720

23

5,768

28

5,802

33

5,844

38

5,850

43

5,858

48

5,872

53

5,990

58

6,042

63

6,094

(

α

max

)

i

[

°

]

Ti= ti/5

[s]

0

10

20

30

40

50

60

70

5,200

5,300

5,400

5,500

5,600

5,700

5,800

5,900

6,000

6,100

6,200

Wykres zaleznosci okresu wahan wahadla od amplitudy

Zależność okresu od amplitudy 
  

Amplituda[ͦ

]

Okres[s]