31
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
9. Liniowe przekształcenie zmiennych stanu, niezmienniczość transmitancji.
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:
równanie stanu
d
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
dt
y( t ) Cx
równ
(
a
t )
ni
Du(
e wy ś
t )
j cia
=
+
=
+
x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
0
Pq( t ) x( t ), det P
=
≠
równanie stanu
d
Pq( t ) APq( t ) Bu( t )
nowe
dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )
now
równanie wyjś a
e
ci
=
+
=
+
32
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1
1
równanie st
d
q( t ) P APq( t ) P Bu( t )
nowe
dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )
anu
równanie wyjścia
nowe
−
−
=
+
=
+
1
1
d
q( t ) Aq( t ) Bu( t )
A P AP, B P B
dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )
C CP
−
−
=
+
=
=
=
+
=
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
Jaka będzie transmitancja:
33
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
G( s ) C sI
A
B D CP sI P AP
P B D
CP P
sI
A P
P B D CPP
sI
A
PP B D
C sI
A
B D G( s )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+ =
−
+ =
⎡
⎤
=
−
+ =
−
+ =
⎣
⎦
=
−
+ =
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
UKŁAD DYSKRETNY
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
x(kT) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
bo
(
)
1
1
1
MN
N M
−
−
−
=
34
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
y(kT) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
0
Pq( kT ) x( kT ), det P
=
≠
1
równanie stan
Pq(( k
)T ) APq( kT ) Bu( kT )
nowe
y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )
u
równanie wyjści
n we
a
o
+
=
+
=
+
1
1
1
równanie st
q(( k
)T ) P APq( kT ) P Bu( kT )
nowe
y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )
nowe
anu
równanie wyjścia
−
−
+
=
+
=
+
1
1
1
q(( k
)T ) Aq( kT ) Bu( kT )
A P AP, B P B
y( kT ) Cq( kT ) Du( kT )
C CP
−
−
+
=
+
=
=
=
+
=
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
35
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Jaka będzie transmitancja:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
G( z ) C zI
A
B D CP zI P AP
P B D
CP P
zI
A P
P B D CPP
zI
A
PP B D
C zI
A
B D G( z )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+ =
−
+ =
⎡
⎤
=
−
+ =
−
+ =
⎣
⎦
=
−
+ =
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
bo
(
)
1
1
1
MN
N M
−
−
−
=