1 

RUCH OBROTOWY BRYŁY 

SZTYWNEJ 

 

2 

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ 

•  Ciało Doskonale Sztywne (Bryła Sztywna) =  model ciała rzeczywistego = układ „n” 
oddziaływujących cząstek  których wzajemne odległości nie ulegają zmianie 

•  Ciało wykonuje ruch obrotowy względem osi obrotu, tj. układu punktów, które znajdują się w spoczynku 
•  Wektor prędkości kątowej  ω jest wektorem, którego  kierunek pokrywa się z kierunkiem osi obrotu 

•  Wielkości opisujące ruch układu cząstek: n

i

 = i - ta cząstka 

)

,

,

,

(

ω

i

i

i

v

r

m

r

r

 

wszystkie cząstki posiadają tę samą prędkość kątową 

 

 

 

 

3 

ŚRODEK MASY UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH (ŚRODEK MASY BRYŁY SZTYWNEJ) 

Rys. 22.    

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 23.

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Definicja CM (= Center Mass) 

∑

∑

=

=

=

n

1

i

i

n

1

i

i

i

CM

m

r

m

R

r

r

 

(CM)  

x 

y 

z 

ω 

m

r

i

 

układ n  punktów 

materialnych 

oś z  = oś obrotu 

0

v

i

 

Uwaga:  w dalszym zapisie wzorów sumowanie po liczbie 

cząstek  nie będzie  oznaczane wskaźnikami przy znaku 

sumy, tzn. 

∑

∑

=

=

i

n

1

i

i

x

x

 

R

CM

 

r

i

 

0

z 

y 

x

r

i

 -R

CM

 

m

i

0

′ 

0

′ - POCZĄTEK UKŁADU CM 

 

4 

UKŁAD DWÓCH PUNKTÓW MATERIALNYCH (DWÓCH CZĄSTEK), przykład 

Rys. 24. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 25. 
 
 

 

 

 

 

m

1

 

m

2

 

r

1

 

r

2

 

0

′ = CM 

R

CM

 

0 

z 

y 

m

1

 

m

2

 

CM 

0

′

r

1

 

r

2

 

x 

2

1

2

2

1

1

CM

m

m

r

m

r

m

R

+

+

=

r

r

r

 

Gdy początek układu odniesienia  

znajduje się w środku masy (O’=CM) 

1

2

2

1

2

2

1

1

CM

r

r

m

m

0

r

m

r

m

0

R

=

=

+

=

r

r

r

 

 

5 

PĘD, MOMENT PĘDU, MOMENT SIŁY 

Rys. 26.    

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 27. 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt materialny 

Układ punktów materialnych (bryła sztywna) 

Pęd 

i

i

i

v

m

p

r

r =

 

∑

∑

=

=

i

i

i

v

m

p

P

r

r

r

 

Moment pędu 

i

i

i

i

i

i

i

i

r

v

v

r

m

p

r

J

r

r

r

r

r

r

r

r

×

=

×

=

×

=

ϖ

 

∑

∑

∑

×

=

×

=

=

i

i

i

i

i

i

v

r

m

p

r

J

J

r

r

r

r

r

r

 

Moment siły 

i

i

i

F

r

N

r

r

r

×

=

 

∑

∑

×

=

=

i

i

i

p

r

N

N

r

r

r

r

 

 

0 

r

i

 

m

i

v

i

 

ω 

MOMENT PĘDU 

0

m

i

J

i

 

r

i

 

v

i   

 (P

i

) 

J

i

  

⊥  r

i

 oraz J

i

 

⊥ P

i

 

0

r

i

 

m

i

v

i

 

ω 

moment pędu 

 

6 

ROLA MOMENTU PĘDU I MOMENTU SIŁY W RUCHU OBROTOWYM BRYŁY SZTYWNEJ 

•  CM = środek masy bryły sztywnej 
•  R

CM

 = wektor położenia środka masy 

 

Rys. 28. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y 

r

i

R

CM

 

r

i

 - R

CM

 

0

m

i

0

′

z

 

P

R

J

J

v

R

m

v

)

R

r

(

m

v

r

m

J

CM

CM

i

CM

i

i

CM

i

i

i

i

i

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

×

+

=

×

+

×

−

=

×

=

∑

∑

∑

 

 

SPIN = moment pędu bryły sztywnej względem 

środka masy (własny moment pędu, nie zależy od 

układu odniesienia): 

∑

×

−

=

i

CM

i

i

CM

v

)

R

r

(

m

J

r

r

r

r

 

 

Moment pędu  środka masy względem początku 

układu (zależy od wyboru układu odniesienia): 

P

R

v

m

R

CM

i

i

CM

r

r

r

r

×

=

×

∑

 

 

7 

RÓWNANIE RUCHU OBROTOWEGO BRYŁY SZTYWNEJ 

•  Aby wprawić bryłę sztywną w ruch obrotowy należy zadziałać momentem siły 

N

r

. 

 

P

R

J

J

N

dt

J

d

CM

CM

r

r

r

r

r

r

×

+

=

=

 

 

const

J

0

dt

J

d

0

N

=

→

=

→

≡

r

r

r

 

 

•  Gdy początek układu odniesienia znajduje się w środku masy CM, całkowity moment pędu równy jest 

spinowi. Wówczas: 

N

dt

J

d

dt

J

d

0

P

R

CM

CM

r

r

r

r

r

=

=

=

×

 

oraz 

const

J

0

N

CM

=

→

=

r

r

 

 

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. 

Zmiana całkowitego momentu pędu przypadająca na jednostkę czasu jest 

równa wypadkowemu momentowi sił działającemu na bryłę sztywną.  

Prawo zachowania momentu pędu 

Gdy na bryłę sztywną nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił 

jest równy zeru, to moment pędu jest wielkością stałą w czasie.

 

 

8 

RUCH OBROTOWY BĄKA SYMETRYCZNEGO (ELEMENTARNA TEORIA ŻYROSKOPU) 

•  Bąk symetryczny = ciało o symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy,  

np. bąk – zabawka, krążek z bolcami umożliwiającymi przyłożenie momentu sił 

•  Ruch bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym. Bąk wirujący ze stałą prędkością  kątową wokół osi 

poziomej doznaje działania pary sił: siły ciężkości i reakcji w punkcie podparcia osi, co powoduje, że 

moment sił działający na bąka jest różny od zera. 

Rys. 29. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•  Własności żyroskopu posiada wiele ciał np: ciała niebieskie w tym Ziemia, pociski karabinowe, wirniki 

maszyn, koła. 

•  Żyroskop ma on postać metalowego krążka, który raz wprawiony w ruch obrotowy zachowuje swoje 

pierwotne położenie osi obrotu. Żyroskop został wynaleziony w 1852 przez Leona Foucaulta, jako 
demonstracja zasady zachowania momentu pędu. 

 

    

 

R - siła reakcji  

podłoża 

Q – moment siły  

ciężkości 

 

9 

Założenia: 

Duża wartość momentu pędu   

Moment siły prostopadły do momentu pędu  

oraz  

0

N

≠

r

,  

0

J

const

J

≠

=

r

r

∆

 , 

t

J

dt

J

d

N

∆

∆

r

r

r

=

=

 

Rys. 30.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

F

F 

y 

x 

z

J 

(0 = CM) 

punkt podparcia 

0

y 

z

x

Ω 

N 

J

∆ϕ 

∆J 

Rys. 31. 

Prędkość kątowa precesji: 

t

∆

ϕ

∆

Ω

=

  

w mierze łukowej kąta: 

J

J

∆

ϕ

∆

=

   

J

N

J

N

N

J

1

t

J

J

1

J

J

t

1

t

r

r

r

r

×

=

=

=

=

=

=

Ω

Ω

∆

∆

∆

∆

∆

ϕ

∆

Ω

 

 

10 

MOMENT BEZWŁADNOŚCI BRYŁY SZTYWNEJ 

•  Wirująca swobodnie kula jednorodna 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek 

Wzór na moment 

bezwładności 

Opis 

 

I = 0,4mR

2

 

Kula o promieniu R –  

oś obrotu przechodzi przez środek kuli 

 

J

ω 

wirująca swobodnie kula jednorodna 

zawsze 

J 

ω 

Rys. 32 

•  Zawsze J jest  równoległe do  ω. Wówczas moment pędu jest 

proporcjonalny do prędkości kątowej. 

ω

r

r

I

J

=

 

gdzie I jest współczynnikiem proporcjonalności. Współczynnik ten nosi 

nazwę  momentu bezwładności, w tym przypadku momentu 

bezwładności kuli. Określa on pewną charakterystyczna cechę ciała – 

rozkład masy ciała względem osi obrotu. 

•  Powyższa relacja pomiędzy J i 

ω

 jest również słuszna w przypadku ciał o 

symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy oraz ciał wykonujących 

ruch obrotowy względem jednej z tzw. osi głównych ciała. 

 

11 

• 

Moment bezwładności obręczy

 

Cienka obręcz kołowa o masie M i promieniu R wykonująca ruch obrotowy względem osi przechodzącej 

przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny obręczy.

 

Rys. 33  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek 

Wzór na moment 

bezwładności 

Opis 

 

I = mR

2

 

 

Pierścień o promieniu R  

(także cylinder i obręcz) 

 

R

v

n

r

n

 

J 

ω

oś obrotu 

cienka obręcz kołowa o masie M 

i promieniu R 

M 

Prędkość liniowa i kątowa wszystkich Punktów materialnych, z których 

składa się obręcz jest taka sama: 

ω

ω

2

i

i

i

i

i

MR

MRv

J

v

R

M

)

v

r

(

m

J

R

r

r

v

v

=

=

×

=

×

=

=

⋅

=

=

∑

r

r

r

r

v

r

r

r

 

Z definicji, moment bezwładności obręczy względem osi obrotu wynosi:  

2

MR

I

=

 

 

12 

• 

Ciało sztywne o dowolnym kształcie i dowolnym rozkładzie masy 

• 

ω

r

r

I

J

=

, gdy J równoległe do 

ω

 

•  Na ogół J nie jest równoległe do 

ω

. Jest tak w przypadku, gdy wypadkowy ruch obrotowy jest złożeniem 

wielu ruchów. 

Składowe wektora momentu pędu: 

)

J

,

J

,

J

(

J

z

y

x

r

r

r

r

=

 

Składowe wektora prędkości kątowej: 

)

,

,

(

z

y

x

ω

ω

ω

ω

r

r

r

r =

 

Związek między J i 

ω

 ma postać równania macierzowego:  









































=





















z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

y

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

Ix

I

J

J

J

ω

ω

ω

 

•  Moment bezwładności wyrażony jest za pomocą macierzy bezwładności (tensor bezwładności) o 

własnościach: 

Wyrazy poza przekątne są symetryczne, tzn. 

zy

yz

zx

xz

yx

xy

I

I

,

I

I

,

I

I

=

=

=

 

Suma wyrazów przekątnych wynosi: 

∑

=

+

+

2

i

i

zz

yy

xx

r

m

2

I

I

I

 

 

 

 

13 

•

 

Ogólne wzory na obliczanie wyrazów macierzy bezwładności mają postać całkową 

Rys. 34. 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gęstość materii bryły sztywnej w dowolnym punkcie  

wynosi:  

)

r

( r

ρ

 

Wektor położenia ma współrzędne 

)

z

,

y

,

x

(

rr

 

 

 

 

0 

x 

y 

z 

r 

ρ 

Wyrazy przekątne macierzy bezwładności: 

∫∫∫

−

=

dV

)

x

r

)(

r

(

I

2

2

xx

r

ρ

 

Podobna postać mają wzory na I

yy

 i I

zz

. 

 

Wyrazy poza przekątne tensora bezwładności: 

∫∫∫

∫∫∫

−

=

−

=

xzdV

)

r

(

I

xydV

)

r

(

I

xz

xy

r

r

ρ

ρ

 

podobna postać mają pozostałe wyrazy. 

 

Ponadto 

∫∫∫

=

+

+

dV

r

)

r

(

2

I

I

I

2

zz

yy

xx

r

ρ

  

oraz wyrazy poza przekątne są symetryczne. 

Obliczenia upraszczają się, gdy rozkład masy ciała 

posiada wysoka symetrię względem osi obrotu. 

 

14 

TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH (Twierdzenie Steinera) 

•  Osie obrotu x i x’ są równoległe i odległe o odcinek a 
•  Oś x przechodzi przez środek masy CM, M = masa ciała 
 

Rys. 35. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

x

2

 

a 

M 

CM

Jakob Steiner 

(1796 - 1863) 

Twierdzenie: 

Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu, równoległej do osi 

przechodzącej przez środek masy, jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej 

przez CM i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami obrotu. 

2

x

'

x

Ma

I

I

+

=

 

 

15 

ENERGIA ROTACJI = ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA DOSKONALE SZTYWNEGO W RUCHU 

OBROTOWYM 

•  Ciało doskonale sztywne wykonuje obrót wokół nieruchomego środka masy, 
•  Całkowita energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów 
materialnych, z których ciało się składa: 

∫∫∫

∑

∑

×

=

×

=

×

=

=

dV

)

r

)(

r

(

2

1

)

r

(

m

2

1

E

r

v

v

m

2

1

E

2

2

i

i

k

i

i

2

i

i

k

r

r

r

r

r

r

r

r

ω

ρ

ω

ω

 

•  Ciało o symetrii osiowej (stożek, walec, kula, itp.) 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ω 

Rys. 36.

 

16 

OSIE GŁÓWNE CIAŁA 

•  Wzór na energię kinetyczną ciała można zapisać w postaci: 

[

]

)

I

2

I

2

I

2

I

I

I

2

1

E

yz

z

y

yz

z

y

xy

y

x

zz

2

z

yy

2

y

xx

2

x

k

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

+

+

+

=

 

Wyrażenie powyższe upraszcza się dla ciał o regularnym kształcie w układzie tzw. osi głównych ciała. 

•  Definicja osi głównych: 
W układzie osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną przyjmuje postać: 

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

z

zz

2

y

yy

2

x

xx

k

I

2

1

I

2

1

I

2

1

I

2

1

I

2

1

I

2

1

E

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

=

 

Indeksy 1, 2, 3 numerują osie główne ciała: osie obrotu o największej, najmniejszej i pośredniej wartości momentu 

bezwładności 

•  W układzie osi głównych moment pędu posiada składowe 

(

)

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

2

1

I

J

I

J

I

J

J

.

J

.

J

J

ω

ω

ω

=

=

=

r

r

r

r

 

 

2

k

2

2

3

2

2

2

1

3

2

1

J

2

1

E

I

I

I

I

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

=

=

=

 

I

1

, I

2

, I

3

  - główne momenty bezwładności (maksymalny, minimalny, pośredni) 

•  Jeżeli ciało obraca się wokół którejś z osi głównych, to wektor momentu pędu ciała jest równoległy do 

wektora prędkości kątowej. 

 

17 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CM

(1)

(2) 

(3) 

CM 

ω

ω

ω

 

ω

 

Rys. 37. 

Rys. 38.

•  Walec jednorodny – oś podłużna i 

dwie osie do niej prostopadłe są 

osiami głównymi. 

•  Ciało sztywne wirujące swobodnie wokół osi o maksymalnym lub minimalnym momencie 

bezwładności zachowuje stały kierunek tej osi w przestrzeni (zasada działania stabilizatorów). 

•  Kula, powłoka kulista 

o jednorodnym rozkładzie masy – 

wszystkie osie przechodzące przez 

środek masy są osiami głównymi. 

 

18 

PRAWA ZACHOWANIA W MECHANICE (PĘDU, ENERGII, MOMENTU PĘDU) 

•

  PRAWO ZACHOWANIA PĘDU 

•  Całkowity pęd cząstek (ciał) tworzących układ zamknięty (izolowany) pozostaje stały w czasie 
UKŁAD IZOLOWANY = układ na który nie działają siły zewnętrzne 

[

]

i

i

i

i

i

n

n

3

3

2

2

1

1

v

m

p

)

t

,

t

(

const

v

m

v

m

...

v

m

v

m

v

m

P

r

r

r

r

r

r

r

r

=

+∞

=

−∞

=

=

=

+

+

+

+

=

∑

 

•  Klasycznie, masa i-tej cząstki   

 

m

i

=const 

 

•  Relatywistycznie, masa i-tej cząstki wynosi 

2

2

i

i

0

i

i

i

c

v

1

1

m

m

−

=

=

γ

γ

 

 

 

 

 

0

z

x

r

r

y 

v

1

     m

1

m

i

v

i

v

2

 
m

2

r

i

Układ izolowany 

Rys.39.

 

19 

•

  PRAWO ZACHOWANIA ENERGII 

•  Całkowita energia izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stała w czasie 
Układ izolowany = układ, który nie wymienia energii z otoczeniem 

)

,

(

)

(

+∞

=

−∞

=

=

=

t

t

const

r

E

E

p

k

r

   

∑

∑

=

=

pi

p

ki

k

E

E

E

E

 

•  Klasycznie, energia kinetyczna i-tej cząstki wynosi: 

2

i

i

ki

v

m

2

1

E

=

 

•  Relatywistycznie: 

2

i

0

i

ki

c

m

)

1

(

E

−

=

γ

 

•  Energia potencjalna E

p

(r) jest określona dla potencjalnego pola sił, tj. pola sił zachowawczych 

(grawitacyjnych, kulombowskich) 

•

  PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU 

•  Całkowity moment pędu izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stały w czasie 
Układ izolowany = układ, na który nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił jest 

równy zeru 

0

N

N

)

t,

t

(

p

r

v

r

m

J

J

i

i

i

i

i

i

i

=

=

+∞

=

−∞

=

×

=

×

=

=

∑

∑

∑

∑

r

r

r

r

r

r

r

r

 

 

 

20 

RUCH CIAŁ W POTENCJALNYM POLU SIŁ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 

m 

F 

N 

S

Pole centralne 

Pole niecentralne

linie sił pola 

M

Centralne pole sił - pole sił, w którym linie sił  są 

półprostymi zbiegającymi się w jednym punkcie, np. 

pole grawitacyjne masy punktowej, pole elektrostatyczne 

ładunku punktowego. Siła działająca między ciałami jest 

zawsze skierowana wzdłuż prostej łączącej ciała. 

Rys. 40. 

r

1

 

F

2

 

F

1

 

(1)

(2)
m

l

1

l

2

 

m

M

centrum sił 

punkt pola 

punkt pola 

r

2

 

Rys.41. 

 

21 

POLE GRAWITACYJNE MAS PUNKTOWYCH 

•  Siłę działającą między dwoma masami punktowymi można zapisać za pomocą wzoru, który wyraża 

matematyczna postać prawa powszechnego ciążenia (prawa grawitacji, prawa Newtona). 

 

2

2

11

2

/

10

67

.

6

)

(

kg

m

N

G

r

r

r

Mm

G

r

F

⋅

⋅

=

−

=

−

r

r

r

 

 

Rys. 42    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 

M 

m 

F 

- F

 

 

22 

NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO 

Rys. 43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M         r 

F

g

g 

M - masa  ciała wytwarzającego pole grawitacyjne, 

m – masa ciała „próbnego” 

Miarą natężenia pola grawitacyjnego jest siła działająca 

na ciało o masie jednostkowej, umieszczone w danym 

punkcie pola: 

m

F

g

r

r =

 

Gdy oddziaływają masy punktowe, wzór na 

 

g przybiera postać: 

r

r

r

M

G

g

2

r

r −

=

 

Wartość natężenia pola grawitacyjnego opisuje dynamiczne własności pola: zależy tylko od masy ciała 

wytwarzającego pole i położenia punktu pola w przestrzeni; nie zależy od własności ciała próbnego. 

 

23 

PRACA W POLU GRAWITACYJNYM 

•  Ciało o masie M wytwarza pole.  
W polu tym przemieszczamy masę próbną z punktu 1 do punktu 2. 

r

r

)

r

(

F

)

r

(

F

r

r

r

−

=

 

Praca wykonana podczas przemieszczenia ciała: 

)

(

1

1

)

(

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

rdr

r

d

r

r

r

GMm

r

GMm

r

dr

GMm

r

d

r

r

GMm

r

d

r

F

W

r

r

r

r

r

r

r

r

=

⋅













−

−

=









=

−

=

⋅

−

=

⋅

=

∫

∫

∫

r

r

r

r

r

r

r

 

•  Praca wykonana przez siły pola. Ciało o masie m znajduje się pod wpływem siły grawitacji i jego 

położenie końcowe znajduje się bliżej źródła pola M: 

0

W

r

r

1

2

>

⇒

<

 

•  Praca wykonana przez siły zewnętrzne. Ciało ulega przemieszczeniu pod wpływem siły zewnętrznej, 

powodującej oddalenie ciała od źródła pola : 

0

W

r

r

1

2

<

⇒

>

 

•  Siły grawitacyjne są siłami zachowawczymi ⇔ pole grawitacyjne jest polem zachowawczym 

∫

∫

∫

=

•

⇒

•

=

•

=

0

r

d

F

r

d

F

r

d

F

W

2

r

)

2

l

(

1

r

2

r

)

1

l

(

1

r

r

r

r

r

r

r

 

 

 

Rys. 44.

r

1

 

m 

l

2

l

1

M

r

2

 

24 

ENERGIA POTENCJALNA CIAŁA W POLU SIŁ GRAWITACYJNYCH 

•  Praca wykonana w polu grawitacyjnym jest równa różnicy energii potencjalnej ciała w położeniu 

początkowym i końcowym 

)

r

(

U

)

r

(

U

r

d

F

W

2

1

2

r

1

r

r

r

r

r

−

=

=

∫

 

•  Energia potencjalna ciała określona jest ujemnie 













−

−

−

=

−

2

1

2

1

)

(

)

(

r

GMm

r

GMm

r

U

r

U

r

r

 

r

GMm

r

U

−

=

)

(

 

•  Energia potencjalna ciała znajdującego się poza zasięgiem sił grawitacyjnych  (w nieskończoności) jest 

równa zeru 

r

GMm

dr

)

r

(

F

dr

)

r

(

F

)

r

(

U

0

)

(

U

r

r

−

=

=

−

=

=

∞

∫

∫

∞

∞

 

Energia potencjalna ciała w danym położeniu (w danym punkcie pola) jest równa pracy jaką trzeba 

wykonać, aby ciało przenieść do nieskończoności (poza zasięg sił grawitacji). 

 

 

 

 

25 

POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO 

•  Potencjał pola grawitacyjnego w odległości  r od centrum sił jest równy energii potencjalnej ciała 
próbnego o masie jednostkowej znajdującego się w danym punkcie pola 

r

GM

)

r

(

U

m

)

r

(

U

)

r

(

−

=

=

r

r

ϕ

 

 

 

 

Rys. 45. 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

g (r) 

r 

M 

- 

G

 

2

r

M

 

- G

 

r

M

 

natężenie pola 

r

ϕ

 (r) lub U(r) 

M 

potencjał pola 

(lub energia potencjalna) 

Powierzchnie ekwipotencjalne (powierzchnie 

jednakowego potencjału) stanowią zbiory geometryczne 

punktów w przestrzeni, w których potencjał pola posiada tę 

samą wartość, tzn. 

const

)

r

(

=

r

ϕ

 

Jeżeli pole grawitacyjne wytwarza masa punktowa, to 

powierzchnie ekwipotencjalne stanowią powierzchnie kul 

współśrodkowych, otaczających masę punktową. 

 

•  Potencjał pola opisuje własności statyczne pola: 
zasób energii potencjalnej, którą pole zawiera. 

M 

linie sił 

powierzchnia ekwipotencjalna = 

 powierzchnia kuli 

M - masa 
punktowa 

ϕ

 (r) = const. 

Rys. 46.

 

26 

PRAWO GAUSSA DLA POLA GRAWITACYJNEGO 

• 

Strumień wektora natężenia pola (strumień pola grawitacyjnego) przez dowolna powierzchnię 

zamkniętą jest równy iloczynowi masy znajdującej się w obszarze ograniczonym ta powierzchnią przez 

(-4

π

G), gdzie G oznacza stałą grawitacji. 

Rys. 47.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS = ds 

.

  n 

M

1

M

2

 

M

3

dS

S – 

powierzchnia zamknięta

 

S 

dS

n 

dS 

g

g

g

S 

gr

- wektor natężenia pola 

nr

 - wektor jednostkowy o kierunku normalnej do powierzchni 

dS

 - wektor kierunkowy elementu powierzchni 

n

dS

dS

r

⋅

=

 

•  Elementarny strumień pola grawitacyjnego 

)

,

cos( n

g

gdS

dS

g

d

r

r

r

=

⋅

=

Φ

 

Strumień pola przez powierzchnię zamkniętą S 

∫

∫∫

−

=

⋅

=

Φ

=

Φ

G

dS

g

d

π

4

r

 

•  Prawo Gaussa stosuje się do wyznaczania 

natężenia pola, zwłaszcza  w przypadkach 

pół wytwarzanych przez układ ciał. W 

przypadku pola wytwarzanego przez masę 

punktową. 

•  Prawo Gaussa ma wyjątkowo uproszczoną 

postać: 

2

2

4

4

r

GM

g

GM

r

g

−

=

−

=

⋅

π

π

 

 

27 

RUCH CIAŁ W POLU SIŁ CENTRALNYCH 

•  Rozważamy oddziaływanie dwóch ciał o porównywalnych masach w układzie laboratoryjnym i układzie 

środka masy 

 

Rys. 48. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

0

r

M

 

LAB

x 

y 

r

o

r

m

 

M

CM 

r

m

Dwa ciała o masie M i m, ich położenie względem początku układu 

laboratoryjnego określają wektory 

M

rr

 i   

m

rr

 

Położenie środka masy CM   wyznacza wektor 

0

rr

 

m

M

r

m

r

M

r

m

M

0

+

+

=

r

r

r

 

Ciała oddziałują ze sobą siłami centralnymi 

)

r

(

F

),

r

(

F

r

r

r

r

−

, gdzie 

m

M

r

r

r

r

r

r

−

=

 

•  Wskutek oddziaływania ciała wykonują ruch obrotowy wokół 

środka masy, którego opis jest skomplikowany w układzie 

laboratoryjnym (wymaga rozwiązania układu różniczkowych 

równań ruchu). 

 

28 

 
 
Rys.49. 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

M 

CM 

m

µ

r = r

m

- r

M

 

•  Jeżeli siła jest siłą centralną, to moment tej siły względem 

rozważanego środka masy jest równy zeru (ramię siły i jej 

kierunek pokrywają się). Z drugiej zasady dynamiki dla 

ruchu obrotowego wynika, że moment pędu układu ciał 

jest wielkością stałą. Oznacza to również,  że ruch jest 

płaski (tory ciał leżą w jednej płaszczyźnie). 

•  Opis ruchu ciał, ich energii, znacznie się upraszcza w układzie  środka masy, jeżeli wprowadzimy 

ciało o masie zastępczej, tzw. masie zredukowanej, i rozważać będziemy zachowanie się tego ciała. 

Sprowadzamy w ten sposób problem opisu ruchu dwóch ciał, oddziaływujących siłami centralnymi, 

do problemu opisu ruchu jednego ciała o masie równej masie zredukowanej: 

(

)

m

1

M

1

1

m

M

Mm

+

=

+

=

µ

µ

 

 

29 

ENERGIA CIAŁA W POLU SIŁ CENTRALNYCH 

•  Układ środka masy ciał, w którym opisujemy ruch masy zredukowanej, stanowić może biegunowy układ 

współrzędnych. Masa zredukowana 

µ

 porusza się po torze krzywoliniowym, a jej chwilowe położenie 

wyznacza wektor r i kąt 

ϕ

. 

Rys. 50. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 

tor 

r 

ϕ

v

r

 

v

ϕ

 

CM 

r

µ 

Chwilowe wartości prędkości 

całkowitej oraz jej składowych, tzw. 

radialnej i azymutalnej wynoszą 

odpowiednio

ϕ

v

v

v

r

r

r

r

,

,

 

•

  Całkowita energia układu 

⇔

 energia masy zredukowanej 

p

k

kr

E

E

E

E

+

+

=

ϕ

  

 

r

k

E

 - energia kinetyczna związana z prędkością radialną 

µ

µ

2

p

v

2

1

E

2

r

2

r

kr

=

=

 (1) 

r

r

v

p

µ

=

 jest 

składową radialną pędu masy zredukowanej 

 

ϕ

k

E

 - energia kinetyczna związana z prędkością azymutalną 

2

2

2

k

r

2

J

v

2

1

E

µ

µ

ϕ

ϕ

=

=

 (2) 

Moment pędu jest wielkością stałą w czasie:  

const

r

v

r

p

J

=

=

=

ϕ

ϕ

µ

  

r

J

v

µ

ϕ

=

 

p

E

 - energia potencjalna układu ciał w polu sił centralnych 

r

A

E

p

−

=

 (3) 

)

(

r

GMm

E

p

−

=

 

•

  Energia całkowita masy zredukowanej 

r

A

r

B

p

r

A

r

J

p

E

r

r

−

+

=

−

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

µ

µ

µ

 

µ

2

2

J

B

≡

 

•

  Energia całkowita masy zredukowanej jest funkcją położenia ciała  

const

)

r

(

U

2

p

)

r

(

E

2

r

=

+

=

µ

 

 

30 

Rys. 51. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•  Jeżeli jedno z ciał wytwarzających pole grawitacyjne posiada dużą masę tak, że  M >> m, to środek 

masy układu pokrywa się z położeniem ciała o masie M. Wówczas wartość masy zredukowanej układu 

ciał jest w przybliżeniu równa masie ciała mniejszego m, zaś r oznacza odległość ciała m od centrum sił 

(M). Warunki te są spełnione np. w naszym układzie planetarnym, modelu planetarnym atomu. 

 

U (r) 

E 

E

1

 

0 

E

2

 

r

1

  r

2

 

µ

2

2

p

r

r 

2

r

B

r

A

−

•  Całkowita energia masy zredukowanej 
może być dodatnia lub ujemna. I tak: 

 

Gdy E>0 (np. E

1

) ruch ciała po krzywej 

stożkowej otwartej (parabola, hiperbola). 

 

Gdy E<0 (np. E

2

) ruch ciała po 

krzywej stożkowej zamkniętej (elipsa, 

koło). 

Na rysunku r

1

 i r

2

 oznaczają odległości największego  

i najmniejszego oddalenia ciała od centrum sił. 

 

31 

SIŁY GRAWITACJI WE WSZECHŚWIECIE 

•  Kształt Galaktyki, model Hubble’a 

Gaz kosmiczny o masie M składający się z pojedynczych obiektów, z których jeden posiada masę np. M

1

.  

Masa posiada moment pędu J=const. 

 

 
Rys. 52. 

 

 

 

 

•  Obłok gazu kurczy się pod wpływem oddziaływania grawitacyjnego 
 

 

Kształt galaktyki (Model Hubble’a) 

 

J

o

M - masa galaktyki 
M

1

 – masa pojedynczej cząstki 

M

1

 

M 

 

Edwin Powell Hubble

 (1889 – 1953) 

 

32 

Rys. 53. 
 

 

 

 

 

 

r

r

v

v

vr

M

r

v

M

const

J

0

0

1

0

0

1

=

=

=

 

•  Zmiana energii kinetycznej cząstki M

1

 wskutek pracy sił grawitacyjnych jest równa zmianie jej energii 

potencjalnej i wynosi : 

Ep

Ek

r

r

v

M

v

M

v

M

E

k

∆

=

∆













−

=

−

=

∆

1

)

(

2

1

2

1

2

1

2

0

2

0

1

2

0

1

2

1

 

•  Energia potencjalna obiektu M

1

 wynosi: 

2

0

2

0

1

1

J

g

p

r

r

v

M

2

1

r

GMM

E

E

E













+

−

=

+

=

 

 

 

r 

r

o

v 

v

o

CM

M

1

gdzie indeks „0” określa wartość prędkości i położenia masy M

1

 w chwili t = 0,  

wielkości bez indeksu – w dowolnej chwili czasu t 

E

p 

0

r

τ

min

E

min

E

J  

∼ 1 / r

2

 

E

g

  

∼ - 1 / r

Rys. 54. 

 

33 

•  Kurcząc się grawitacyjnie, obłok gazu osiąga stan równowagi. W stanie równowagi cząstki obłoku 

posiadają najmniejsza wartość energii potencjalnej (energia potencjalna osiąga minimum). Minimum energii 

określa warunek: 

0

r

r

v

M

r

M

GM

0

dr

dE

3

2

0

2

0

1

2

1

p

=

−

=

 

dla r = r

min 

GM

r

v

r

2

0

2

0

min

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypuszczalny widok Drogi Mlecznej z boku i z góry z zaznaczonym 

położeniem Słońca. 

J

Słońce 

Słońce

Rys. 55.

•  Galaktyka „naprawdę” posiada kształt dysku 

•  W przypadku naszej Galaktyki  r

min

 ~ 10

20

 m 

 

34 

NIEKTÓRE PROBLEMY KOSMOLOGII 

 

•  rozszerzanie się 
Wszechświata 

•  gęstość krytyczna i los 
Wszechświata 

•  wiek Wszechświata 
•  wczesny Wszechświat, 
jego temperatura, czas 

trwania epoki leptonowej i 

hadronowej 

 

Kosmologia obejmuje:     

- teorię grawitacji, 

- fizykę jąder  i cząstek 

elementarnych, 

- termodynamikę, 

- fizykę statystyczną.