Wykład 07
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
Wykład 07
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f b
,
edzie określona w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Funkcja
jest ci
,
agła w punkcie x
0
wtw, gdy jest jednocześnie ci
,
agła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f b
,
edzie określona w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
, ci
,
agła w
punkcie x
0
i niech f (x
0
) > 0 wtedy ∃O
1
(x
0
) ⊂ O(x
0
) otoczenie punktu
x
0
takie,że ∀x ∈ O
1
(x
0
)
f (x) > 0.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f b
,
edzie określona w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
. Funkcja
jest ci
,
agła w punkcie x
0
wtw, gdy jest jednocześnie ci
,
agła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f b
,
edzie określona w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
, ci
,
agła w
punkcie x
0
i niech f (x
0
) > 0 wtedy ∃O
1
(x
0
) ⊂ O(x
0
) otoczenie punktu
x
0
takie,że ∀x ∈ O
1
(x
0
)
f (x) > 0.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ci
,
agłych jest ci
,
agłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla x
n
−→ x
0
mamy f (x
n
) −→ f (x
0
)
więc g(f (x
n
)) −→ g(f (x
0
)).
Jeżeli x
n
−→ x
0
to (g ◦ f )(x
n
) −→ (g ◦ f )(x
0
).
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ci
,
agłych jest ci
,
agłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla x
n
−→ x
0
mamy f (x
n
) −→ f (x
0
)
więc g(f (x
n
)) −→ g(f (x
0
)).
Jeżeli x
n
−→ x
0
to (g ◦ f )(x
n
) −→ (g ◦ f )(x
0
).
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ci
,
agłych jest ci
,
agłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla x
n
−→ x
0
mamy f (x
n
) −→ f (x
0
)
więc g(f (x
n
)) −→ g(f (x
0
)).
Jeżeli x
n
−→ x
0
to (g ◦ f )(x
n
) −→ (g ◦ f )(x
0
).
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ci
,
agłych jest ci
,
agłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla x
n
−→ x
0
mamy f (x
n
) −→ f (x
0
)
więc g(f (x
n
)) −→ g(f (x
0
)).
Jeżeli x
n
−→ x
0
to (g ◦ f )(x
n
) −→ (g ◦ f )(x
0
).
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ci
,
agłych jest ci
,
agłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla x
n
−→ x
0
mamy f (x
n
) −→ f (x
0
)
więc g(f (x
n
)) −→ g(f (x
0
)).
Jeżeli x
n
−→ x
0
to (g ◦ f )(x
n
) −→ (g ◦ f )(x
0
).
TWIERDZENIA O CIĄGŁOŚCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g b
,
ed
,
a określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
i ci
,
agłe
w punkcie x
0
wtedy,f ± g, f · g s
,
a ci
,
agłe w punkcie x
0
. Jeżeli ponadto
g(x
0
) 6= 0 to
f
g
jest ci
,
agła w punkcie x
0
.
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
TWIERDZENIA O CIĄGŁOŚCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g b
,
ed
,
a określone w O(x
0
) otoczeniu punktu x
0
i ci
,
agłe
w punkcie x
0
wtedy,f ± g, f · g s
,
a ci
,
agłe w punkcie x
0
. Jeżeli ponadto
g(x
0
) 6= 0 to
f
g
jest ci
,
agła w punkcie x
0
.
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ci
,
agła na przedziale domkni
,
etym osi
,
aga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x
n
}
∞
n=1
⊂ [a, b] taki, że
f (x
n
) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.
Ciąg {x
n
}
∞
n=1
ma podciąg zbieżny {x
n
k
} do x
0
∈ [a, b].
Wówczas f (x
0
) = lim
n→∞
f (x
n
k
) = M
TWIERDZENIE 86
Funkcja ci
,
agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ci
,
agła na przedziale domkni
,
etym osi
,
aga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x
n
}
∞
n=1
⊂ [a, b] taki, że
f (x
n
) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.
Ciąg {x
n
}
∞
n=1
ma podciąg zbieżny {x
n
k
} do x
0
∈ [a, b].
Wówczas f (x
0
) = lim
n→∞
f (x
n
k
) = M
TWIERDZENIE 86
Funkcja ci
,
agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ci
,
agła na przedziale domkni
,
etym osi
,
aga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x
n
}
∞
n=1
⊂ [a, b] taki, że
f (x
n
) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.
Ciąg {x
n
}
∞
n=1
ma podciąg zbieżny {x
n
k
} do x
0
∈ [a, b].
Wówczas f (x
0
) = lim
n→∞
f (x
n
k
) = M
TWIERDZENIE 86
Funkcja ci
,
agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ci
,
agła na przedziale domkni
,
etym osi
,
aga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x
n
}
∞
n=1
⊂ [a, b] taki, że
f (x
n
) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.
Ciąg {x
n
}
∞
n=1
ma podciąg zbieżny {x
n
k
} do x
0
∈ [a, b].
Wówczas f (x
0
) = lim
n→∞
f (x
n
k
) = M
TWIERDZENIE 86
Funkcja ci
,
agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ci
,
agła na przedziale domkni
,
etym osi
,
aga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] −→ R będzie ciągła i niech {x
n
}
∞
n=1
⊂ [a, b] taki, że
f (x
n
) −→ M = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.
Ciąg {x
n
}
∞
n=1
ma podciąg zbieżny {x
n
k
} do x
0
∈ [a, b].
Wówczas f (x
0
) = lim
n→∞
f (x
n
k
) = M
TWIERDZENIE 86
Funkcja ci
,
agła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < 0 < f (b).
Niech γ = sup{x ∈ [a, b] : f ([a, x]) ⊂ (−∞, 0]} ≤ b.
Wówczas f (γ) = 0.
Gdyby f (γ) 6= 0 to w pewnym otoczeniu γ funkcja f nie przyjmowałaby
wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem γ.
Niech a < b,
f [a, b] −→ R jest ciągła i f (a) < c < f (b).
Wówczas dla g(x) = f (x) − c
g(a) < 0 < g(b) więc istnieje γ ∈ (a, b)
takie, że g(γ) = 0, czyli f (γ) = c.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x
1
, x
2
, x
3
∈ [a, b] takie, że x
1
< x
2
< x
3
i
f (x
1
) < f (x
2
) > f (x
3
).
Wówczas dla c ∈ (max{f (x
1
), f (x
3
)}, f (x
2
) istnieją u
1
∈ (x
1
, x
2
)
oraz
u
2
∈ (x
2
, x
3
) takie, że f (u
1
) = c = f (u
2
).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f
−1
jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x
1
, x
2
, x
3
∈ [a, b] takie, że x
1
< x
2
< x
3
i
f (x
1
) < f (x
2
) > f (x
3
).
Wówczas dla c ∈ (max{f (x
1
), f (x
3
)}, f (x
2
) istnieją u
1
∈ (x
1
, x
2
)
oraz
u
2
∈ (x
2
, x
3
) takie, że f (u
1
) = c = f (u
2
).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f
−1
jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x
1
, x
2
, x
3
∈ [a, b] takie, że x
1
< x
2
< x
3
i
f (x
1
) < f (x
2
) > f (x
3
).
Wówczas dla c ∈ (max{f (x
1
), f (x
3
)}, f (x
2
) istnieją u
1
∈ (x
1
, x
2
)
oraz
u
2
∈ (x
2
, x
3
) takie, że f (u
1
) = c = f (u
2
).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f
−1
jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotoniczną.
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x
1
, x
2
, x
3
∈ [a, b] takie, że x
1
< x
2
< x
3
i
f (x
1
) < f (x
2
) > f (x
3
).
Wówczas dla c ∈ (max{f (x
1
), f (x
3
)}, f (x
2
) istnieją u
1
∈ (x
1
, x
2
)
oraz
u
2
∈ (x
2
, x
3
) takie, że f (u
1
) = c = f (u
2
).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] −→ [c, d] jest ciągłą bijekcją to f
−1
jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech f będzie rosnąca i niech f (x
n
) = y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Przypuśćmy, że c = sup{x
n
: n ∈ N} < x
0
.
Wówczas ∀n y
n
≤ f (c) < y
0
sprzeczne z y
n
−→ y
−
0
= f (x
0
).
Zatem ∀ε > 0
∃n
0
takie, że ∀n > n
0
f (x
0
− ε) < y
n
< y
0
.
Dla n > n
0
mamy x
−
ε < x
n
< x
0
.
Czyli f
−1
jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x −→ sin x
x −→ cos x
x −→ a
x
x −→ x
α
x −→ log
a
x
x −→ tg x
x −→ ctg x
x −→ arctg x
x −→ arcctg x
x −→ arcsin x
x −→ arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
sin x − sin x
0
= 2 · sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
i
ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronną w zerze.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Dla x > 0 mamy 0 < sin x < x i z twierdzenia o granicy trzech funkcji
mamy lim
x→0
+
sin x = 0.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
cos x − cos x
0
= −2 · sin
x+x
0
2
· sin
x−x
0
2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
cos x − cos x
0
= −2 · sin
x+x
0
2
· sin
x−x
0
2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
cos x − cos x
0
= −2 · sin
x+x
0
2
· sin
x−x
0
2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
cos x − cos x
0
= −2 · sin
x+x
0
2
· sin
x−x
0
2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
cos x − cos x
0
= −2 · sin
x+x
0
2
· sin
x−x
0
2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine’go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
α
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.