MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
1
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
2.1. Zasady dynamiki Newtona
Siłą nazywamy wektorową wielkość, która jest miarą mechanicznego oddziaływania na ciało ze
strony innych ciał. W dalszej części będziemy rozpatrywać tylko oddziaływanie pomiędzy ciałami będącymi
w bezpośrednim kontakcie. Siły, tak jak wielkości wektorowe, będziemy oznaczać czcionką pogrubioną
natomiast wartości sił czcionką normalną.
Siła, podobnie jak wektor, jest określona jednoznacznie przez swoją wartość bezwzględną (długość),
kierunek w przestrzeni, zwrot i punkt przyłożenia. Dla obliczeń nie będzie jednak miało znaczenia to, że siła
może się poruszać na prostej pokrywającej się się z kierunkiem jej działania.
Pierwsza zasada Newtona mówi, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub jeżeli siły się równoważą
(ich suma wektorowa wynosi zero) to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
Druga zasada dynamiki Newtona jest podstawowym prawem dynamiki. Orzeka ona jak zmienia się
ruch ciała pod wpływem przyłożonych do niego sił. W sensie matematycznym możemy je zapisać w postaci
a
=
F
m
,
(2.1)
w którym F oznacza siłę działającą na ciało, m oznacza masę ciała natomiast a oznacza przyśpieszenie ciała.
Przyśpieszenie ciała możemy zapisać jako
a
=
d v
dt
,
(2.2)
w którym v oznacza prędkość ciała natomiast t oznacza czas. Warto zauważyć, że prędkość oraz
przyśpieszenie ciała są wielkościami wektorowymi. Jeżeli siła działająca na ciało jest wektorem zerowym to
i przyśpieszenie tego ciała wynosi zero. Jak widać jest to treść pierwszej zasady dynamiki.
Trzecia zasada dynamiki Newtona mówi, że dwa ciała oddziaływują ze sobą siłami, które są sobie
równe co do wartości i działające na tej samej prostej, lecz mają przeciwne zwroty. Jeżeli F
12
jest siłą
wywieraną na pierwsze ciało ze strony drugiego ciała, a F
21
jest siłą wywieraną na drugie ciało ze strony
pierwszego ciała to trzecią zasadę dynamiki możemy zapisać w postaci wektorowej
F
12
=−
F
21
.
(2.3)
której graficzną interpretację przedstawia rysunek 2.1
2.2. Wykreślne składanie i rozkładanie sił na płaszczyźnie
W dalszej części naszego kursu Mechaniki ogólnej będziemy rozpatrywali siły, które działają na
jednej płaszczyźnie.
Dwie dowolne nierównoległe siły P
1
i P
2
możemy sprowadzić do siły wypadkowej, która jest ich
sumą wektorową
W
=
P
1
P
2
.
(2.4)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
2
1
2
F
12
F
21
Rys. 2.1. Graficzna interpretacja trzeciej zasady dynamiki Newtona
Kierunek działania siły wypadkowej W przechodzi przez punkt przecięcia się kierunków sił P
1
i P
2
natomiast jej długość jest równa przekątnej równoległoboku zbudowanego na siłach P
1
i P
2
. Położenie,
kierunek, wartość i zwrot siły wypadkowej W przedstawia rysunek 2.2.
P
1
P
2
P
2
P
1
W
W
Rys. 2.2. Siła wypadkowa z dwóch nierównoległych sił
Jeżeli mielibyśmy układ nierównoległych trzech sił P
1
, P
2
i P
3
. To najpierw możemy znaleźć
wypadkową W
1
z sił P
1
i P
2
w sposób opisany powyżej a następnie znaleźć siłę wypadkową z sił W
1
i P
3
.
Możemy więc zapisać wektorowo
W
1
=P
1
P
2
,
(2.5)
W
=P
1
P
2
P
2
=W
1
P
3
.
(2.6)
Graficzną interpretację siły wypadkowej z układu trzech nierównoległych sił P
1
, P
2
i P
3
przedstawia
rysunek 2.3.
Jeżeli układ sił składałby się z więcej niż trzech nierównoległych sił aby znaleźć siłę wypadkową
najpierw składamy dwie dowolne siły a następnie ich wypadkową składamy z trzecią siłą i tak dalej.
Jeżeli mamy dwie siły równoległe to siły wypadkowej nie znajdziemy w sposób opisany powyżej,
ponieważ będziemy znali tylko jej wartość, kierunek i zwrot ale nie będziemy znali położenia. Aby znaleźć
siłę wypadkową z dwóch sił równoległych zastosujemy wielobok sznurowy.
Zakładamy, że mamy dwie siły równoległe P
1
i P
2
o tych samych zwrotach. Na płaszczyźnie obieramy
dowolny punkt O nazywany biegunem. Przedstawia to rysunek 2.4. Następnie znajdujemy wartość,
kierunek oraz zwrot siły wypadkowej, która spełnia warunek (2.4). Przedstawia to rysunek 2.5. Łączymy
teraz początki i końce wszystkich sił z biegunem promieniami 1, 2 i 3. Przedstawia to rysunek 2.6. Siła P
1
leży pomiędzy promieniami 1 i 2 więc muszą się one przeciąć na kierunku tej siły. Przedstawia to rysunek
2.7. Przedłużamy promień 2 do przecięcia się z kierunkiem siły P
2
i otrzymujemy punkt B. W punkcie tym
odkładamy promień 3. Przedstawia to rysunek 2.8. Na kierunku siły P
2
przecinają się promienie 2 i 3,
ponieważ siła ta znajduje się pomiędzy nimi (rysunek 2.6).
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
3
W
P
1
P
2
P
2
P
1
W
1
W
1
W
1
P
3
W
P
3
Rys. 2.3. Siła wypadkowa z układu trzech nierównoległych sił
P
1
P
2
O
Rys. 2.4. Biegun wieloboku sznurowego
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
Rys. 2.5. Siła wypadkowa
Na rysunku 2.6 siła wypadkowa W znajduje się pomiędzy promieniami 1 i 3. Więc będzie ona
przechodzić przez punkt przecięcia się promieni 1 i 3. Ostateczne położenie siły wypadkowej przedstawia
rysunek 2.9.
Na podstawie rysunku 2.9 możemy stwierdzić, że siła wypadkowa dwóch sił równoległych
mających te same zwroty znajduje się pomiędzy nimi, bliżej siły o większej wartości.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
4
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
Rys. 2.6. Promienie wieloboku sznurowego
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
2
A
Rys. 2.7. Promienie na kierunku siły P
1
3
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
2
A
B
Rys. 2.8. Promienie na kierunku siły P
2
Zakładamy, że mamy dwie siły równoległe P
1
i P
2
o przeciwnych zwrotach. Na płaszczyźnie obieramy
biegun O. Przedstawia to rysunek 2.10. Następnie znajdujemy wartość, kierunek oraz zwrot siły
wypadkowej, która spełnia warunek (2.4). Przedstawia to rysunek 2.11. Łączymy teraz początki i końce
wszystkich sił z biegunem promieniami 1, 2 i 3. Przedstawia to rysunek 2.12. Siła P
1
leży pomiędzy
promieniami 1 i 3 więc muszą się one przeciąć na kierunku tej siły. Przedstawia to rysunek 2.13.
Przedłużamy promień 3 do przecięcia się z kierunkiem siły P
2
i otrzymujemy punkt B. W punkcie tym
przecinają się promienie 2 i 3, ponieważ siła ta znajduje się pomiędzy nimi (rysunek 2.6). Przedstawia to
rysunek 2.14.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
5
3
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
2
A
B
C
W
Rys. 2.9. Położenie wypadkowej dwóch sił równoległych o tych samych zwrotach
P
1
P
2
O
Rys. 2.10. Biegun wieloboku sznurowego
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
Rys. 2.11. Siła wypadkowa
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
Rys. 2.12. Promienie wieloboku sznurowego
Na rysunku 2.12 siła wypadkowa W znajduje się pomiędzy promieniami 1 i 2. Więc będzie ona
przechodzić przez punkt przecięcia się promieni 1 i 2. Ostateczne położenie siły wypadkowej przedstawia
rysunek 2.15.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
6
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
3
A
Rys. 2.13. Promienie na kierunku siły P
1
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
3
A
2
B
Rys. 2.14. Promienie na kierunku siły P
2
P
1
P
2
O
P
1
P
2
W
1
2
3
1
3
A
2
B
C
W
Rys. 2.15. Położenie wypadkowej dwóch sił równoległych o przeciwnych zwrotach
Na podstawie rysunku 2.15 możemy stwierdzić, że siła wypadkowa dwóch sił równoległych
mających przeciwne zwroty znajduje się poza nimi, po stronie siły o większej wartości.
Na płaszczyźnie działa siła P, którą chcemy rozłożyć na dwie składowe, których kierunki są
równoległe do dwóch prostych a i b przedstawionych na rysunku 2.16. Siła P, zapisana wektorowo,
wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
7
P
a
b
Rys. 2.16. Siła P i dwa kierunki a i b
P
a
P
b
=
P
.
(2.7)
Aby znaleźć wartości i zwroty sił P
a
oraz P
b
przenosimy równolegle kierunki a i b do początku
wektora siły P. Będą one bokami równoległoboku, którego przekątną jest siła P. Położenie sił P
a
oraz P
b
będzie takie, aby kierunki działania tych sił przecinały sią na kierunku siły P. Przedstawia to rysunek 2.17.
P
P
a
P
b
P
P
a
P
b
Rys. 2.17. Rozkład siły P na dwie składowe
P
a
b
c
Rys. 2.18. Siła P i trzy kierunki a, b i c
Na płaszczyźnie działa siła P, którą chcemy rozłożyć na trzy składowe, których kierunki stanowią
trzy proste a, b i c. Proste te są przedstawione na rysunku 2.18. Nie będziemy mieli tutaj możliwości
przesunięcia równoległego którejkolwiek składowej. Siła P, zapisana wektorowo, wynosi więc
P
a
P
b
P
c
=P
.
(2.8)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
8
P
a
b
c
A
B
Rys. 2.19. Punkty przecięcia kierunków a i b oraz siły P i kierunku c
Aby rozłożyć siłę P na trzy kierunki dwa z nich doprowadzamy do przecięcia. Będą to na przykład
kierunki a i b. Otrzymamy punkt A przedstawiony na rysunku 2.19. Pozostały kierunek c doprowadzamy do
przecięcia z kierunkiem siły P. Otrzymamy punkt B na rysunku 2.19. Łącząc punkty A i B otrzymamy
zastępczy kierunek ab przedstawiony na rysunku 2.20.
P
a
b
c
A
B
ab
Rys. 2.20. Zastępczy kierunek ab
Następnie siłę P rozkładamy na kierunki ab i c. Rozkład ten przedstawia rysunek 2.21. Możemy go
zapisać wektorowo
P
ab
P
c
=P
.
(2.9)
P
a
b
c
A
B
ab
P
P
c
P
ab
P
c
P
ab
Rys. 2.21. Rozkład siły P na składowe P
c
oraz P
ab
Na koniec należy zastępczą siłę P
ab
rozłożyć na dwie składowe po kierunkach a i b. Przedstawia to
rysunek 2.22. Ostatecznie wszystkie trzy składowe siły P po kierunkach a, b i c są przedstawione na
rysunku 2.23.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
9
P
a
b
c
A
B
ab
P
ab
P
c
P
ab
P
a
P
b
Rys. 2.22. Rozkład zastępczej siły P
ab
na składowe po kierunkach a i b
Rys. .2.23. Trzy składowe siły P
Aby rozłożyć siłę P na dwa kierunki a i b, które są równoległe do tej siły należy wykorzystać
wielobok sznurowy. Rysunek 2.24 przedstawia siłę P oraz dwie proste równoległe do niej a i b. Siła P
znajduje się pomiędzy kierunkami a i b. Na płaszczyźnie obieramy biegun O.
O
a
b
P
Rys. 2.24. Siła P i dwie proste równoległe do niej a i b
Przenosimy równolegle siłę P i łączymy jej końce z biegunem O promieniami 1 i 2. Przedstawia to
rysunek 2.25. Siła P znajduje się pomiędzy promieniami 1 i 2. Promienie te muszą się więc przeciąć w
punkcie A znajdującym się na kierunku siły P. Przedstawia to rysunek 2.26. Promień 1 przecina kierunek a
w punkcie B a promień 2 przecina kierunek b w punkcie C. Punkty te są przedstawione na rysunku 2.27.
Łącząc punkty B i C otrzymujemy promień 3. Promień ten przenosimy równolegle do bieguna. Przedstawia
to rysunek 2.28. Promień numer 3 określa nam wartości składowych siły P. Składowe te przedstawia
rysunek 2.29. Spełniają one warunek (2.7).
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
P
a
b
c
P
c
P
b
P
a
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
10
O
P
1
2
P
a
b
Rys. 2.25. Promienie numer 1 i 2
2
O
1
2
1
A
a
b
P
P
Rys. 2.26. Promienie 1 i 2 przecinające się na kierunku siły P
2
O
1
2
1
B
C
A
a
b
P
P
Rys. 2.27. Punkty B i C na kierunkach a i b
Aby rozłożyć siłę P na dwa kierunki a i b, które są równoległe do tej siły należy wykorzystać
wielobok sznurowy. Rysunek 2.30 przedstawia siłę P oraz dwie proste równoległe do niej a i b. Siła P
znajduje się poza kierunkami a i b. Na płaszczyźnie obieramy biegun O.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
11
2
O
1
3
2
1
3
B
C
A
a
b
P
P
Rys. 2.28. Promień numer 3
2
P
a
P
b
O
P
a
P
b
P
1
3
2
1
3
B
C
A
P
a
b
Rys. 2.29. Składowe siły P
O
P
a
b
Rys. 2.30. Siła P i dwie proste równoległe do niej a i b
Przenosimy równolegle siłę P i łączymy jej końce z biegunem O promieniami 1 i 2. Przedstawia to
rysunek 2.31. Siła P znajduje się pomiędzy promieniami 1 i 2. Promienie te muszą się więc przeciąć w
punkcie A znajdującym się na kierunku siły P. Przedstawia to rysunek 2.32. Promień 1 przecina kierunek a
w punkcie B a promień 2 przecina kierunek b w punkcie C. Punkty te są przedstawione na rysunku 2.33.
Łącząc punkty B i C otrzymujemy promień 3. Promień ten przenosimy równolegle do bieguna. Przedstawia
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
12
to rysunek 2.34. Promień numer 3 określa nam wartości składowych siły P. Składowe te przedstawia
rysunek 2.35. Spełniają one warunek (2.7).
O
P
1
2
P
a
b
Rys. 2.31. Promienie numer 1 i 2
O
P
1
2
1
2
A
P
a
b
Rys. 2.32. Promienie 1 i 2 przecinające się na kierunku siły P
O
P
1
2
1
B
2
C
A
P
a
b
Rys. 2.33. Punkty B i C na kierunkach a i b
Jeżeli rozkładamy siłę P na dwa kierunki równoległe i siła znajduje się wewnątrz tych kierunków to
obie składowe mają zwroty zgodne ze zwrotem siły P.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
13
O
P
1
2
3
1
3
B
2
C
A
P
a
b
Rys. 2.34. Promień numer 3
P
a
P
b
O
P
a
P
b
P
1
2
3
1
3
B
2
C
A
P
a
b
Rys. 2.35. Składowe siły P
Jeżeli rozkładamy siłę P na dwa kierunki równoległe i siła znajduje się na zewnątrz tych kierunków to
obie składowe mają zwroty przeciwne do siebie. Zwrot zgodny ze zwrotem siły P ma składowa znajdująca
się bliżej siły P.
2.3. Analityczne rozkładanie sił
Najczęściej będziemy rozkładali siły na dwa kierunki, które są wzajemnie do siebie prostopadłe.
Rysunek 2.36 przedstawia siłę P, którą rozkładamy na dwie składowe po kierunkach a i b. Wartości
składowych wynoszą
P
a
=
P
⋅
cos
,
(2.10)
P
b
=P⋅sin
.
(2.11)
Jako dodatnią składową określimy tą siłę, której zwrot jest zgodny z przyjętym dodatnim kierunkiem.
Rysunek 2.37 przedstawia najczęściej występujący rozkład siły na kierunek poziomy zgodny ze zwrotem osi
X oraz kierunek pionowy zgodny ze zwrotem osi Y. Wartości składowych wyznaczymy ze wzorów
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
14
P
a
b
α
P
b
P
a
Rys. 2.36. Składowe siły P
P
X
Y
P
X
P
Y
α
Rys. 2.37. Rozkład siły P na składową poziomą i pionową
P
X
=P⋅cos
,
(2.12)
P
Y
=P⋅sin
.
(2.13)
Ponieważ obie składowe mają zwroty zgodne ze zwrotami osi X i Y więc obie będą dodatnie.
2.4. Moment siły względem punktu
Zakładamy, że siła P działa na płaszczyźnie
Π
przedstawionej na rysunku 2.38. Na płaszczyźnie tej
znajduje się punkt O nie leżący na prostej działania siły P. Statycznym momentem siły P względem
punktu O nazywamy iloczyn wektorowy
M
O
=
r
×
P
,
(2.14)
w którym wektor r jest wektorem wodzącym siły P. Jak widać na rysunku 2.38 a) wektor M
O
jest
prostopadły do płaszczyzny
Π
a jego zwrot jest zgodny z kierunkiem wkręcania się śruby prawoskrętnej
kręcącej się od wektora wodzącego r do wektora siły P. Rysunek 2.38 b) przedstawia widok z góry na
płaszczyznę
Π
. Wektor momentu siły M
O
został zastąpiony strzałką. Wartość momentu siły względem
punktu O wynosi
M
O
=
r
⋅
P
⋅
sin
180 °
−
=
r
⋅
P
⋅
sin
,
(2.15)
którą możemy zapisać jako
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
15
P
r
M
O
Π
O
P
r
O
M
O
α
180
O
-
α
a
Π
a)
b)
Rys. 2.38. Moment siły P względem punktu O
M
O
=
P
⋅
a
,
(2.16)
w którym a oznacza odległość siły P od punktu O na płaszczyźnie natomiast P oznacza wartość siły. O tym
czy jest to moment dodatni czy ujemny decyduje kierunek obrotu siły względem punktu. Jeżeli obrót
następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara to będziemy taki moment przyjmować jako dodatni.
Jeżeli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara będziemy taki moment przyjmować jako moment
ujemny.
O
P
1
P
2
P
3
a
1
a
2
a
3
Rys. 2.39. Moment układu trzech sił
Moment kilku sił względem punktu jest sumą momentów od poszczególnych sił. Na rysunku 2.39
przedstawione są trzy siły, których moment względem punktu O ma wartość
M
O
=P
1
⋅a
1
−P
2
⋅a
2
P
3
⋅a
3
.
(2.17)
Siła P
2
obraca się przeciwnie do ruch wskazówek zegara względem punktu O więc jej moment jest ujemny.
Parą sił nazywamy układ dwóch sił o takich samych wartościach, kierunkach równoległych do siebie
lecz przeciwnych zwrotach. Wartość momentu pary sił względem dowolnego punktu O wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
16
M
O
=P⋅a
,
(2.18)
w którym a jest odległością sił od siebie. Jak widać moment pary sił nie zależy od położenia punktu O.
Rysunek 2.40 przedstawia parę sił. Moment M
O
jest dodatni.
P
P
O
a
M
O
Rys. 2.40. Moment pary sił
2.5. Reakcje w więzach
Rysunek 2.41 przedstawia geometrycznie niezmienną i statycznie wyznaczalną tarczę sztywną, na
którą działa siła P. Siła ta może być wypadkową wielu sił działających na daną tarczę. Siły działające na
tarczę, których wypadkową może być siła P nazywamy siłami czynnymi.
P
R
1
2
3
I
Rys. 2.41. Siły działające na tarczę sztywną
Tarcza sztywna jest geometrycznie niezmienna, czyli nie porusza się więc zgodnie z pierwszą zasadą
dynamiki siły działające na tarczę muszą się równoważyć czyli ich wypadkowa musi się równać zero.
Wynika z tego, że na tarczę sztywną musi działać jeszcze jedna siła. Wynika to także z trzeciej zasady
dynamiki. Jeżeli tarcza sztywna działa na tarczę podporową siłą P to tarcza podporowa musi działać na
tarczę sztywną siłą działającą na tej samej prostej, o tej samej wartości lecz przeciwnym zwrocie. Siły,
którymi tarcza podporowa działa na tarczę sztywną nazywamy siłami biernymi lub reakcjami. Reakcja R
musi więc spełniać warunek wektorowy
R
=−
P
.
(2.19)
Reakcje przekazują się z tarczy podporowej poprzez więzy. Reakcja R jest więc wypadkową z reakcji
działających we wszystkich więzach tarczy sztywnej.
W pręcie podporowym będzie działała jedna reakcja, przedstawiona na rysunku 2.42, której kierunek
pokrywa się z prętem podporowym. Jedyną niewiadomą jest w tym przypadku wartość reakcji w tym więzie.
Ma to związek z tym, że pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopnień swobody.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
17
1
R
1
Rys. 2.42. Reakcja w pręcie podporowym
W przegubie rzeczywistym działa także jedna reakcja, której kierunek przechodzi przez ten przegub
jednak w przeciwieństwie do pręta podporowego nie znamy jego kąta nachylenia. Możemy więc stwierdzić,
że w przegubie rzeczywistym będziemy mieli dwie niewiadome: wartość reakcji oraz kąta nachylenia
kierunku tej reakcji. Ma to związek z tym, że przegub odbiera tarczy sztywnej dwa stopnie swobody.
Przedstawia to rysunek 2.43 a). Ze względów obliczeniowych korzystniej jest rozłożyć reakcję w przegubie
rzeczywistym na dwie składowe H
A
oraz V
A
i wyznaczenie wartości i zwrotów obu składowych. Przedstawia
to rysunek 2.43 b).
A
R
A
α
A
V
A
H
A
a)
b)
Rys. 2.43. Reakcja w przegubie rzeczywistym
A
I
II
P
1
P
2
A
V
A
(I)
V
A
(II)
H
A
(I)
H
A
(II)
Rys. 2.44. Reakcje w przegubie rzeczywistym łączącym dwie tarcze sztywne nie będące podporowymi
Jeżeli przegub rzeczywisty łączy dwie tarcze sztywne, z których żadna nie jest tarczą podporową to w
przegubie na każdą z tarcz sztywnych działają dwie składowe reakcji mające parami te same wartości i
kierunek ale przeciwne zwroty. Przedstawia je rysunek 2.44. Ich suma wektorowa wynosi oczywiście zero.
Czyli jeżeli rozpatrujemy obie tarcze razem to w przegubie nie działa żadna reakcja, jeżeli rozdzielimy
tarcze sztywne to w przegubie mamy po dwie składowe reakcji. Spełniają one warunki wektorowe
{
H
A
I
=−H
A
II
V
A
I
=−V
A
II
.
(2.20)
Na podporze przegubowo-przesuwnej, która odpowiada prętowi podporowemu, działa jedna reakcja.
Kierunek tej reakcji pokrywa się z kierunkiem pręta podporowego. Reakcje w pręcie podporowym oraz w
podporze przegubowo-przesuwnej przedstawia rysunek 2.45.
Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera prętowi dwa stopnie swobody więc na tej podporze
wystąpią dwie reakcje. Najczęściej przyjmuje się, że jedna z nich jest pionowa a druga pozioma. Rysunek
2.46 przedstawia reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej.
Podpora ślizgowa odbiera także dwa stopnie swobody więc na tej podporze muszą wystąpić dwie
reakcje. Na rysunku 2.47 a) w każdym z prętów tej podpory występuje pojedyncza reakcja. Wartości tych
reakcji można zapisać w sposób przedstawiony na rysunku 2.47 b) jako
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
18
R
R
R
R
R
R
Rys. 2.45. Reakcja na podporze przegubowo-przesuwnej
H
V
H
V
Rys. 2.46. Reakcja na podporze przegubowo-nieprzesuwnej
R
1
=
V
2
R
R
2
=
V
2
−R
.
(2.21)
Reakcje V/2 razem dają nam reakcję pionową V. Natomiast reakcje R stanowią parę sił, którą można
zastąpić odpowiednim momentem M. Ostatecznie na podporze ślizgowej występują dwie reakcje
zaznaczone na rysunku 2.47 c).
Utwierdzenie odbiera prętowi trzy stopnie swobody. Na podporze tej wystąpią więc trzy reakcje.
Rysunek 2.48 a) przedstawia wszystkie trzy reakcje. Reakcje R
1
oraz R
2
zapisujemy zgodnie ze wzorem
(2.21) natomiast reakcję R
3
oznaczamy jako reakcję poziomą H. W wyniku tych działań otrzymamy reakcje
przedstawione na rysunku 2.49.
Porównując rysunki 2.45, 2.46, 2.47 c) oraz 2.49 widać, że na każdej z tych podpór występują reakcje
o kierunkach, które blokuje dana podpora. Podpora przegubowo-przesuwna nie pozwala na przesuw w
pewnym kierunku i ten sam kierunek ma reakcja na tej podporze. Podpora przegubowo-przesuwna blokuje
przesuw w poziomie i pionie i takie kierunki mają obie reakcje. Podpora ślizgowa blokuje przesuw w pionie
oraz obrót. Reakcje na tej podporze to reakcja pionowa oraz moment. Wreszcie utwierdzenie blokuje
przesuw w poziomie i w pionie oraz obrót. Stąd na tej podporze mamy reakcję poziomą, pionową i moment.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
19
R
1
R
2
R
R
V
M
a)
b)
c)
V
2
V
2
Rys. 2.47. Reakcje na podporze ślizgowej
R
1
R
2
R
R
R
3
R
3
a)
b)
V
2
V
2
Rys. 2.48. Reakcje w utwierdzeniu
M
V
H
Rys. 2.49. Reakcje w utwierdzeniu
Wyznaczanie reakcji w więzach nazywamy analizą statyczną. Rysunek 2.50 przedstawia
geometrycznie niezmienną tarczę sztywną na którą działa siła czynna P. Wypadkowa reakcja R leży na
prostej działania siły czynnej P i ma ona tą samą wartość ale przeciwny zwrot. Reakcja ta jest wypadkową z
reakcji w pręcie podporowym R
1
oraz w przegubie R
A
. Wektorowo możemy to zapisać jako
R
=
R
1
R
A
.
(2.22)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
20
P
1
A
I
O
R
R
1
R
A
R
Rys. 2.50. Wypadkowa reakcja działająca na tarczę sztywną
Kierunek wypadkowej reakcji R musi przejść przez punkt przecięcia się kierunków reakcji
składowych R
1
oraz R
A
. Jednak na razie nie znamy drugiego punktu na prostej działania reakcji w przegubie
A, znamy natomiast punkt przecięcia kierunków siły czynnej P oraz reakcji R
1
, którym jest punkt O.
Kierunek reakcji w przegubie A musi więc przechodzić przez ten punkt. W ten sposób znamy kierunek
reakcji R
A
. Na koniec możemy wyznaczyć reakcje R
1
i R
A
. Na rysunku 2.51 przedstawione są wszystkie siły
działające na tarczę sztywną. Jeżeli wykonamy ich sumę wektorową to otrzymamy trójkąt przedstawiony na
tym rysunku. Trójąt ten nazywa się wielobokiem sił. Jak widać wypadkowa w wieloboku sił jest
wektorem zerowym. Taki układ sił nazywamy układem w równowadze.
P
R
1
1
A
I
O
R
A
P
R
1
R
A
Rys. 2.51. Siły działające na tarczę sztywną
Siły działające na tarczę sztywną: wypadkowa siła czynna oraz reakcje w więzach, będą w
równowadze, jeżeli ich kierunki będą się przecinać w jednym punkcie oraz siła wypadkowa w
wieloboku sił będzie zerowa. Innymi słowy siły w wieloboku sił muszą się „gonić”.
R
1
R
2
Rys. 2.52. Dwie siły w równowadze działające na tarczę sztywną
Rysunek 2.52 przedstawia tarczę sztywną obciążoną dwiema siłami. Jeżeli na tarczę sztywną działają
dwie siły R
1
i R
2
to aby tarcza była w równowadze siły te muszą działać na tej samej prostej, mieć te
same wartości ale przeciwne zwroty czyli muszą spełniać warunek wektorowy
R
1
=−
R
2
.
(2.23)
Przedstawione powyżej dwie zasady, kiedy siły działające na tarczę sztywną znajdują się w
równowadze mają zastosowanie przy metodzie wykreślnej wyznaczania reakcji. Metodę tę omówimy na
konkretnych przykładach załączonych do niniejszego opracowania.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
21
P
R
1
1
A
I
R
A
X
Y
Rys. 2.53. Siły działające na tarczę sztywną
Jednak wykreślne metody nie są dzisiaj wykorzystywane w praktyce. W dalszej części skupimy się na
metodzie analitycznej wyznaczania reakcji podporowych, którą zastosujemy do płaskich układów
prętowych.
W metodzie tej zerowanie się sił w wieloboku sił zastępujemy dwoma warunkami sumy rzutów
wszystkich działających na tarczę sztywną na dwa nierównoległe kierunki. Zgodnie z rysunkiem 2.53 mogą
to być sumy rzutów wszystkich sił działających na tarczę sztywną na oś poziomą X oraz pionową Y. Sumy
tych rzutów muszą wynosić zero. Są to najczęściej wykorzystywane kierunki.
W metodzie analitycznej warunek przecinania się kierunków wszystkich sił działających na tarczę
sztywną w jednym punkcie zastępujemy warunkiem sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę
sztywną względem dowolnego punktu na płaszczyźnie. Suma momentów musi wynosić zero.
Sumy rzutów oraz sumę momentów nazywamy równaniami równowagi. Zapisujemy je w
następującej postaci
{
X
=
0
Y
=
0
M
=
0
,
(2.24)
w którym dwa pierwsze równania to sumy rzutów, trzecie to suma momentów.
Możemy także wykorzystywać jedno równanie sumy rzutów oraz dwa równania sumy momentów
względem dwóch dowolnych punktów na płaszczyźnie. Będą one miały postać
{
X =0
M
1
=0
M
2
=0
(2.25)
lub
{
X =0
M
1
=0
M
2
=0
(2.26)
Równania równowagi (2.25) lub (2.26) są najczęściej wykorzystywanymi równaniami przy obliczaniu
reakcji podporowych w układach prętowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
22
Istnieje także trzecia postać równań równowagi. Będą to trzy sumy momentów względem trzech
dowolnych punktów. Jednak punkty te nie mogą leżeć na jednej prostej. Równania te będą miały postać
{
M
1
=0
M
2
=0
M
3
=0
.
(2.27)
Płaski układ prętowy zastępujemy płaskim układem tarcz sztywnych. Dla każdej tarczy sztywnej
określamy kierunki reakcji w więzach oraz zakładamy ich zwroty. W dalszej kolejności dla każdej tarczy
sztywnej zapisujemy trzy równania równowagi. Jeżeli mamy t tarcz sztywnych to otrzymujemy w ten sposób
układ 3t równań z 3t niewiadomymi, którymi są reakcje w więzach. Układ ten ma postać
{
X
1
=0
Y
1
=0
M
1
=0
⋮
X
t
=0
Y
t
=0
M
t
=0
.
(2.28)
Aby układ równań (2.28) miał rozwiązania wyznacznik główny tego układu musi być różny od zera.
Płaski układ prętowy, dla którego wyznacznik główny układu (2.28) jest różny od zera jest układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. Stanowi to więc warunek konieczny i
dostateczny geometrycznej niezmienności.
Po rozwiązaniu układu równań (2.28) otrzymamy wartości i zwroty reakcji we wszystkich więzach.
Jeżeli dana reakcja jest dodatnia to ma ona zwrot zgodny z przyjętym na początku obliczeń. Jeżeli
dana reakcja jest ujemna to ma ona zwrot przeciwny do przyjętego na początku obliczeń.
W praktyce najczęściej nie trzeba rozwiązywać całego układu równań (2.28), ponieważ da się tak
zapisać równania równowagi aby z pojedynczego równania wyznaczyć jedną reakcję.
1
2
3
A
B
X
Y
R
2
R
1
R
3
Rys. 2.54. Tarcza sztywna
Rysunek 2.54 przedstawia przykładową tarczę sztywną. Zakładamy zwroty reakcji w prętach
podporowych. Punkt A jest punktem przecięcia kierunków reakcji w prętach numer 1 i 2 natomiast punkt B
jest punktem przecięcia kierunków reakcji w prętach numer 1 i 3. Wartości reakcji wyznaczymy z
następujących warunków równowagi.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
23
{
X =0
M
B
=0
M
A
=0
.
(2.29)
Z pierwszego równania wyznaczymy wartość reakcji R
1
. Z drugiego równania wyznaczymy wartość reakcji
R
2
, ponieważ momenty pozostałych reakcji względem punktu B wynoszą zero. Z trzeciego równania
wyznaczymy wartość reakcji R
3
, ponieważ momenty pozostałych reakcji względem punktu A wynoszą zero.
Równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tarczę sztywną na oś pionową Y posłuży nam do
sprawdzenia poprawności obliczeń wartości reakcji R
2
i R
3
.
A
B
C
V
A
H
A
V
C
H
C
A
B
C
V
A
H
A
V
C
H
C
B
H
B
(I)
V
B
(I)
V
B
(II)
H
B
(II)
I
II
I
II
X
Y
Rys. 2.55. Układ trójprzegubowy z przegubami A i C na jednym poziomie
Rysunek 2.55 przedstawia układ trójprzegubowy z przegubami A i C na jednym poziomie. Zakładamy
zwroty reakcji we wszystkich przegubach. Należy pamiętać o tym, że w przegubie B na każdą z tarcz
sztywnych będą działały dwie reakcje, które wartości spełniają warunek
{
H
B
I
=H
B
II
V
B
I
=V
B
II
.
(2.30)
Wartości pionowych reakcji w przegubach A i C wyznaczymy z następujących równań równowagi dla
całego układu trójprzegubowego (tarcze sztywne I+II)
{
M
C
I
II
=0
M
A
I
II
=0
.
(2.31)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
24
Z pierwszego równania otrzymamy wartość reakcji V
A
, ponieważ momenty pozostałych trzech reakcji,
działających na cały układ trójprzegubowy, względem punktu C wynoszą zero. Z drugiego równania
otrzymamy wartość reakcji V
C
, ponieważ momenty pozostałych trzech reakcji, działających na cały układ
trójprzegubowy, względem punktu A wynoszą zero. Następnie wykorzystamy sumę rzutów wszystkich sił
działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y w celu sprawdzenia poprawności obliczenia
wartości reakcji V
A
i V
C
.
Wartość poziomej reakcji w przegubie A wyznaczymy z warunku sumy momentów wszystkich sił
działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B czyli
M
B
I
=0
.
(2.32)
Wartość poziomej reakcji w przegubie C wyznaczymy z warunku sumy momentów wszystkich sił
działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B czyli
M
B
II
=0
.
(2.33)
Następnie wykorzystamy sumę rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na
oś poziomą X w celu sprawdzenia poprawności obliczenia wartości reakcji H
A
i H
C
.
Wartość reakcji w przegubie B działających na tarczę sztywną numer I wyznaczymy z następujących
równań równowagi
{
X
I
=0
Y
I
=0
.
(2.34)
Z pierwszego równania wyznaczymy wartość reakcji H
B
(I)
natomiast z drugiego wartość reakcji V
B
(I)
.
Wartość reakcji w przegubie B działających na tarczę sztywną numer II wyznaczymy z następujących
równań równowagi
{
X
II
=0
Y
II
=0
.
(2.35)
Z pierwszego równania wyznaczymy wartość reakcji H
B
(II)
natomiast z drugiego wartość reakcji V
B
(II)
.
Wartości reakcji H
B
(I)
i H
B
(II)
oraz V
B
(I)
i V
B
(II)
muszą spełniać zależność (2.30). Stanowi to
sprawdzenie poprawności obliczenia wartości tych reakcji.
Rysunek 2.56 przedstawia układ trójprzegubowy z przegubami A i C na różnych poziomach.
Zakładamy zwroty reakcji we wszystkich przegubach. Należy pamiętać o tym, że w przegubie B na każdą z
tarcz sztywnych będą działały dwie reakcje, które wartości spełniają warunek (2.30).
Wartości reakcji w przegubie A wyznaczymy z następujących równań równowagi
{
M
C
I
II
=0
M
B
I
=0
.
(2.36)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
25
A
B
C
V
A
H
A
V
C
H
C
A
B
C
V
A
H
A
V
C
H
C
B
H
B
(I)
V
B
(I)
V
B
(II)
H
B
(II)
I
II
I
II
X
Y
Rys. 2.56. Układ trójprzegubowy z przegubami A i C na różnych poziomach
Pierwsze z tych równań dotyczy całego układu trójprzegubowego natomiast drugie dotyczy tylko
tarczy sztywnej numer I. Równania (2.36) stanowią układ równań, z którego możemy wyznaczyć wartości
reakcji V
A
i H
A
.
Wartości reakcji w przegubie C wyznaczymy z następujących równań równowagi
{
M
A
I
II
=0
M
B
II
=0
.
(2.37)
Pierwsze z tych równań dotyczy całego układu trójprzegubowego natomiast drugie dotyczy tylko
tarczy sztywnej numer II. Równania (2.37) stanowią układ równań, z którego możemy wyznaczyć wartości
reakcji V
C
i H
C
.
W celu sprawdzenia poprawności obliczenia wartości reakcji w przegubach A i C zastosujemy
równania dotyczące całego układu trójprzegubowego
{
X
I
II
=0
Y
I
II
=0
.
(2.38)
Wartość reakcji w przegubie B działających na tarczę sztywną numer I wyznaczymy z następujących
równań równowagi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
26
{
X
I
=0
Y
I
=0
.
(2.39)
Z pierwszego równania wyznaczymy wartość reakcji H
B
(I)
natomiast z drugiego wartość reakcji V
B
(I)
.
Wartość reakcji w przegubie B działających na tarczę sztywną numer II wyznaczymy z następujących
równań równowagi
{
X
II
=0
Y
II
=0
.
(2.40)
Z pierwszego równania wyznaczymy wartość reakcji H
B
(II)
natomiast z drugiego wartość reakcji V
B
(II)
.
Wartości reakcji H
B
(I)
i H
B
(II)
oraz V
B
(I)
i V
B
(II)
muszą spełniać zależność (2.30). Stanowi to
sprawdzenie poprawności obliczenia wartości tych reakcji.
Zastosowanie metody analitycznej do wyznaczania reakcji w więzach płaskiego układu tarcz
sztywnych omówimy na konkretnych przykładach załączonych do niniejszego opracowania.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline