1

PLANOWANIE I ANALIZA 

EKSPERYMENTU

©2007 Paweł Możejko

Politechnika Gdańska, semestr zimowy, rok akademicki 2012/2013 

Aparatura Millikana do wyznaczenia ładunku elektronu

Wykład 3: Analiza statystyczna niepewności przypadkowych 
albo czy warto wykonywać pomiary wielokrotne

Co zrobić gdy mamy serię pomiarów ?

Analiza statystyczna niepewności przypadkowych albo 

czy warto wykonywać pomiary wielokrotne

2

Jeszcze raz błędy przypadkowe i 

systematyczne

Błędy przypadkowe mogą być ujawnione poprzez wielokrotne 

powtarzanie pomiaru
Błędy systematyczne nie mogą być w ten sposób ujawnione

Dwa użyteczne aksjomaty:

(i)

Wartość precyzyjnie zmierzonej wielkości może być niedokładna

(ii)

Wartość nieprecyzyjnie zmierzonej wielkości może być dokładna 

(x=-x

np

)

W praktyce błędy przypadkowe i systematyczne mogą pojawiać się tak:

Przykład z pracowni fizycznej

3

Przykład z pracowni fizycznej

Problem z błędami systematycznymi

4

Średnia i odchylenie standardowe

Najlepszym  przybliżeniem  wielkości 

x

, 

zmierzonej 

N

–

razy  tym  samym 

urządzeniem i w identyczny sposób jest 
średnia wartości 

x

1

,...,

x

N

¯

x

=

x

1

+ x

2

+ ... + x

N

N

=

N

i=1

x

i

N

Średnia i odchylenie standardowe c.d.

Odchylenie  wartości 

x

i

od  średniej  obliczamy  w 

następujący sposób

Gdy 

d

i

ma małą wartość pomiary są precyzyjne, gdy 

d

i

ma dużą

wartość pomiary są mało precyzyjne

Odchylenie  standardowe  (dyspersja)  pomiarów 

x

1

, 

x

2

,..., 

x

N

jest miarą średniej niepewności pomiarów 

x

1

, 

x

2

,..., 

x

N

d

i

= x

i

− ¯

x

σ

x

=

1

N

N

i=1

(d

i

)

2

=

1

N

N

i=1

(x

i

− ¯

x

)

2

5

Średnia i odchylenie standardowe c.d.

Definicja odchylenia standardowego 

korygująca niedocenianie niepewności 
pomiarów 

x

1

, 

x

2

,..., 

x

N

szczególnie dla 

małej liczby pomiarów 

N

σ

x

=

1

N − 1

N

i=1

(d

i

)

2

=

1

N − 1

N

i=1

(x

i

− ¯

x

)

2

Odchylenie standardowe średniej

Niepewność wartości średniej równa jest odchyleniu standardowemu 

podzielonemu przez pierwiastek z liczby pomiarów

σ

¯

x

=

σ

x

√

N

Ostateczny wynik pomiaru możemy zapisać jako:

x

= ¯

x ± σ

¯

x

6

Przykład

Mierzymy wielkość

x

,  w wyniku pomiaru uzyskaliśmy następujące 

wartości 7, 8, 9, 7, 8

¯

x

=

7 + 8 + 9 + 7 + 8

5

=

39

5

= 7, 8

d

1

= 7 − 7, 8 = −0, 8 d

2

= 8 − 7, 8 = 0, 2 d

3

= 9 − 7, 8 = 1, 2

d

4

= 7 − 7, 8 = −0, 8 d

5

= 8 − 7, 8 = 0, 2

5

i=1

d

i

= 0

¯

d

= 0

Przykład c.d.

Uwzględnione zostały jedynie błędy statystyczne, a co z niepewnościami systematycznymi ?

σ

x

=

1

N

N

i=1

(d

i

)

2

=

1

N

N

i=1

(x

i

− ¯

x

)

2

σ

x

=

1

N − 1

N

i=1

(d

i

)

2

=

1

N − 1

N

i=1

(x

i

− ¯

x

)

2

σ

x

≈ 0, 75

σ

x

≈ 0, 84

σ

¯

x

≈ 0, 37

x

= 7, 8 ± 0, 4

7

Błędy systematyczne

procedura wielokrotnego pomiaru nie usuwa 

błędów systematycznych

błędy systematyczne powinny być rozpoznane 

i wyeliminowane

te których nie da się wyeliminować całkowicie 

powinny zostać zredukowane do poziomu dużo 
niższego niż wymagana precyzja

Błędy systematyczne c.d.

Wyznaczamy wielkość

x

=

m

T

2

Pomiary 

m

i 

T

są niezależne, wielkości te mierzone są

wiele razy (1,...,

N

)

Obliczamy 

x

1

,..., 

x

N

oraz wartość średnią

x

i 

odchylenie standardowe średniej

(¯

x, σ

¯

x

)

δ

x

stat

= σ

¯

x

8

Błędy systematyczne c.d.

Pomiary 

m

obarczony jest niepewnością systematyczną

równą 1%, a pomiar 

T

z niepewnością systematyczną

wynoszącą 0.5%

Błędy pomiarowe są niezależne bo pomiary były 

niezależne, stąd

δ

x

sys

x

=

δm

sys

m

2

+ 2

δT

sys

T

2

δx

=

(δ

x

stat

)

2

+ δ

x

sys

2

Zadania na przyszłe wykłady

Jak uśredniać pomiary wykonywane seriami obarczone 

różnymi niepewnościami statystycznymi

Uzasadnić w oparciu o rozkład normalny, że wartość

średnia jest najlepszym przybliżeniem wielkości 
mierzonej wielokrotnie