1
I. LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW.
1.1 p i q elementy zdania logicznego
zdanie logiczne: jeżeli 0 to jest fałszywe
jeżeli 1 to prawdziwe
alternatywa „p
∨ q” koniunkcja „p ∧ q"
implikacja „p
⇒ q” równoważność „p ⇔ q” negacja „~ p”
1.2 Wartość logiczna zdania:
1
2
cos
2
3
6
sin
=
⇒
=
π
π
odp.: 1
)
0
100
(cos
18
7
11
4
0
>
∪
>
odp.: 0
)
0
5
(log
)
2
9
(log
3
1
3
>
⇔
=
odp.: 0
1.3
Tautologia:
a) sprawdź, czy podane zdanie logiczne jest tautologią – obliczenia wykonać tabelarycznie:
tak
:
odp.
)
(
tak
:
odp.
)
(
)
(
tak
:
odp.
)]
(
[
)
(
nie
:
odp.
)]
(
[
)
(
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
¬
⇒
¬
⇔
∧
⇒
¬
⇔
∨
¬
∧
⇔
⇒
¬
¬
∨
⇔
⇒
p
∧ ( p ⇒ q ) ⇒ q pokazać dowód nie wprost odp.: tak
[( p
⇒ q ) ∨ ( ~ p ∨ q )] ⇒ q odp.: tak
[( p
⇔ q ) ∧ ( p ∨ ~ q )] ⇒ p ∧ q odp.: nie
1.4
Kwantyfikatory:
-
istnieje takie x należące do zbioru A, że…
p q
p
∨
q
1
1
1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p q
p
∧
q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p q
p
⇒
q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
p q
p
⇔
q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p
~
p
1 0
0 1
A
x
A
x
∈
∈
∨
∃
2
A
x
A
x
∈
∈
∧
∀
- dla każdego x należącego do zbioru A….
Jaka jest wartość logiczna zdania:
1
:
odp.
)]
0
1
(
[
)]
0
5
(
[
0
:
odp.
)
(
1
:
odp.
)
(
1
:
odp.
)
sin
2
2
(sin
0
:
odp.
)
1
(
2
2
2
2
=
+
+
∃
⇒
<
+
∃
=
∀
=
∃
=
∃
<
∀
∈
∈
∈
∈
∈
∈
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
1.5
Zaprzeczenia zdaniom:
Zaprzeczenie koniunkcji:
- jest to pierwsze prawo De Morgana
Zaprzeczenie alternatywie:
- jest to drugie prawo De Morgana
Zaprzeczenie implikacji:
Zaprzeczenie równoważności:
przykład:
zaprzeczmy zdaniu: uczeń je lody wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciepło
odp: uczeń je lody i nie jest ciepło lub jest ciepło i uczeń nie je lodów
Powyższe przedstawić za pomocą p i q.
p
q
q
p
negacja
q
p
¬
∧
∨
¬
∧
⇔
:
1.6
Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów
)]
(
[
)]
(
[
)]
(
[
)]
(
[
x
p
x
p
x
p
x
p
A
x
A
x
A
x
A
x
¬
∀
⇔
∃
¬
¬
∃
⇔
∀
¬
∈
∈
∈
∈
3
1.7
Proszę określić wartość logiczną zdań oraz zapisać ich negację; prawidłowa negacja daje
dla tych samych argumentów przeciwny wynik do zdania pierwotnego:
(
)
0
1
3
0
:
.
0
1
3
0
2
2
1
:
.
0
)
2
2
(
3
3
0
:
.
3
3
3
2
1
2
1
:
.
3
2
1
2
0
3
3
1
:
odp.
0
3
3
5
0
:
odp.
5
2
2
2
2
R
x
≠
+
+
∀
=
+
+
∃
≠
≠
∧
=
∧
=
∃
=
=
⇒
=
∧
=
∀
≠
∨
≠
∃
=
∧
=
∀
≥
+
−
∀
≤
+
−
∃
<
+
+
∃
>
+
+
∀
≠
∃
=
∀
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
x
x
odp
x
x
y
x
y
x
x
y
odp
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
odp
y
x
x
y
y
x
x
odp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
C
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
R
x
1.8
Znaleźć taką liczbę M, aby zdanie:
n
n
M
n
n
n
N
n
a
a
n
a
>
∀
⇒
=
∀
+
>
∈
1
10
!
wskazówka: (n+1)! = n!*(n+1) odp.: M = 9
1.9
Algebra zbiorów.
A
∪ B = { x: x∈A ∪ x∈B }
A
∩ B = { x: x∈A ∩ x∈B }
A \ B = { x: x
∈A ∩ x∉B }
B \ A = { x: x
∈B ∩ x∉A }
A’ = { x: x
∈X ∩ x∉A }
A \ B
≠ B \ A !!!
1.10
Definicja wartości bezwzględnej:
dla
0
≥
x
dla
0
<
x
−
=
x
x
x
4
1.11
Zapisać zbiór w innej postaci:
( )
( ) (
)
[
]
(
)
−
−
∈
<
+
+
∧
∈
+∞
∈
<
−
+
∧
∈
−
∈
<
−
∧
∈
∈
∩
+∞
∪
∈
>
−
∧
∈
∈
<
−
∧
∈
4
3
;
1
:
.
}
0
3
7
4
:
{
;
2
1
8
:
.
}
3
5
2
:
{
4
;
2
:
.
}
3
1
:
{
;
5
3
;
1
:
.
}
2
3
:
{
9
;
5
:
.
}
2
7
:
{
2
x
odp
x
x
R
x
x
x
odp
x
x
R
x
x
x
odp
x
R
x
x
C
x
x
odp
x
C
x
x
x
odp
x
R
x
x
1.12
Wyznaczyć nst. relacje zbiorów A i B:
A
∪ B
A
∩ B
A \ B
B \ A
A’
przy czym zbiory określono jak poniżej:
A = { x:
x> 4 }
B = { x:
x-2 < 3 }
(
) (
)
[
]
( )
(
)
[
]
4
;
4
'
4
;
1
(
\
)
;
5
4
;
\
5
;
4
;
1
4
;
:
.
−
∈
−
∈
+∞
∪
−
∞
−
∈
∈
∩
+∞
−
∪
−
∞
−
∈
∪
x
A
x
A
B
x
B
A
x
B
A
x
B
A
odp
A = { x:
x+3≤ 4 }
B = { x:
x-1 ≥ 3 }
[
]
[
]
(
) (
)
[
]
+∞
∪
−
∞
−
∈
+∞
∪
−
−∞
∈
−
∈
−
−
∈
∩
+∞
∪
−∞
∈
∪
;
1
7
;
'
)
;
4
)
7
;
(
\
1
;
2
(
\
2
;
7
;
4
1
;
(
:
.
x
A
x
A
B
x
B
A
x
B
A
x
B
A
odp
A = { (x,y):
x-y ≤ 4 }
B = { (x,y): x
∈R
∧ y < 3 }
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
+∞
+
∪
−
∞
−
∈
∩
+∞
∞
−
∈
+∞
+
∪
−
∞
−
∈
∩
−
∈
+
−
∈
∩
+∞
∪
−
∞
−
∈
+
−
∈
∩
−
∈
∩
−
∪
+
−
∈
∩
+∞
∞
−
∈
∪
;
4
4
;
;
'
;
4
4
;
3
;
3
\
4
;
4
)
;
3
3
;
(
\
4
;
4
3
;
3
3
;
3
4
;
4
;
:
.
x
x
y
x
A
y
y
x
y
A
B
y
y
x
y
B
A
y
y
x
y
B
A
x
x
y
x
B
A
odp
1.13
Niech A={x:
2
5
:
{
},
3
1
<
−
=
≥
−
x
x
B
x
} proszę wyznaczyć:
A
∪ B odp.:
(
)
+∞
∪
−
−∞
∈
;
3
2
;
(
x
A
∩ B odp.:
)
7
;
4
∈
x
A
∩ B’ odp.:
)
;
7
2
;
(
+∞
∪
−
−∞
∈
x
A \ B odp.:
)
;
7
2
;
(
+∞
∪
−
−∞
∈
x
B \ A odp.:
( )
4
;
3
∈
x
A’
∪ B odp.:
(
)
7
;
2
−
∈
x
5
1.14
Wyznaczyć iloczyn zbiorów:
}
0
4
3
:
{
2
≤
−
+
∧
∈
=
x
x
R
x
x
A
}
0
4
:
{
2
<
−
∧
∈
=
x
R
x
x
B
}
4
,
0
,
3
{
−
=
C
odp.:
φ
∈
x
1.15
Wyznaczyć graficznie: A
∪ B, A ∩ B, A \ B
}
16
:
)
,
{(
2
2
≤
+
∧
∈
∧
∈
=
y
x
R
y
R
x
y
x
A
}
9
:
)
,
{(
2
2
≥
+
∧
∈
∧
∈
=
y
x
R
y
R
x
y
x
B
1.16
Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory (produkty) AxB oraz BxA
{
}
{ }
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
3
0
:
,
3
,
1
,
1
3
:
,
2
:
7
1
:
,
6
3
:
3
,
2
,
1
,
3
1
:
<
≤
∈
=
−
=
<
∈
=
≥
∈
=
≤
−
∈
=
≤
−
∈
=
=
≤
−
∈
=
x
R
x
B
A
x
R
x
B
x
R
x
A
x
R
x
B
x
N
x
A
B
x
R
x
A