OtóŜ rymowanka ta – w przeróbce mego autorstwa, przy-
znaję, moŜe pod względem poetyckim nie najwyŜszej próby
– brzmiała:
„Na co będą potrzebne – student mnie raz pytał – te ma-
cierze, te całki com o nich wyczytał; Ŝe potrzebne, mój drogi,
musisz teraz wierzyć, dlaczego potrzebne – zrozumiesz – gdy
ś
wiat zaczniesz mierzyć”.
Podam zatem garść uwag na temat matematyki, tej którą
wykłada się na studiach ekonomicznych. Nie pretendują one
do uwag całościowych. Są one fragmentaryczne, bowiem
odnoszą się jedynie do zajęć z algebry liniowej.
POSTĘPOWAĆ ROZSĄDNIE
Wybór tego działu matematyki jest podyktowany tym, Ŝe
z algebry korzysta się w ekonometrii i w programowaniu
liniowym, i w statystyce, i w prognozowaniu oraz w ekono-
mii matematycznej. W kaŜdym z tych przedmiotów mamy
do czynienia z macierzami, a na nich trzeba wykonać pewne
działania arytmetyczne. Wszędzie tam mamy równieŜ do
czynienia z wyznacznikami, z macierzą odwrotną jak rów-
nieŜ z układami równań liniowych. A to oznacza, Ŝe raz
opanowawszy te właśnie elementy algebry jesteśmy wypo-
saŜeni w narzędzia rachunkowe odgrywające istotną rolę w
wyjaśnianiu problemów charakterystycznych dla danej dys-
cypliny naukowej – to znaczy takiej, którą umieściliśmy na
wyŜej podanej liście.
A teraz coś o sposobie uczenia się szeroko rozumianych
metod ilościowych, to znaczy matematyki, ekonometrii,
programowania liniowego, prognozowania oraz ekonomii
matematycznej. Słuchacz powinien wynosić z zajęć jak
najwięcej. Aby to osiągnąć, musi jednak postępować roz-
sądnie. Oznacza to, Ŝe zadania, przytoczone na takich wy-
kładach, musi rozwiązywać samodzielnie, zaś to co jest
uwidocznione przez wykładowcę na tablicy traktować jedy-
nie jako sprawdzian poprawności swoich własnych obliczeń.
Tego niestety duŜa część słuchaczy wykładów nie chce
respektować. Ot, po prostu przepisuje z tablicy, na ogół nie
myśląc o tym co robi.
Dowód z mojej własnej praktyki dydaktycznej (no, moŜe
agitacja na rzecz dowodu). Prowadząc wykład, wykładowca
celowo się myli (pod względem arytmetycznym) i obserwu-
je, jaka jest reakcja. Reakcja jest na ogół Ŝadna. Nikt bądź
prawie nikt nie zwraca uwagi na pomyłkę, tymczasem –
gdyby słuchacze stosowali wspomnianą poprzednio zasadę –
bez trudu zauwaŜyliby ów błąd arytmetyczny.
Kolejna uwaga, dotycząca sposobów uczenia się. NaleŜy
zajmować się metodami ilościowymi systematycznie. Nie
trzeba poświęcać im więcej niŜ 15 minut dziennie (sic!), ale
trzeba to robić np. przez cztery następujące po sobie dni w
tygodniu. To – z punktu widzenia efektywności opanowywa-
nia materiału przez uczącego się – znacznie, znacznie więcej
niŜ przeznaczenie na naukę jednorazowo 60 min. (4 x 15).
TAK, ALE DLACZEGO?
A teraz trochę zadań typowych i typowych na nie odpo-
wiedzi.
1. Czy prawdą jest, Ŝe
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
6
1
1
5
2
2
4
3
det
3
6
1
1
5
2
2
4
3
det
.
Odpowiedź brzmi: tak. Ale dlaczego?
Słuchacz powinien wiedzieć z wykładów, w których
uczestniczy, Ŝe stały czynnik moŜna wynieść przed znak
wyznacznika. No to z kaŜdej kolumny wynosimy przed znak
wyznacznika (–1), a poniewaŜ macierz ma trzy kolumny,
przed wyznacznikiem stoi iloczyn (–1) (–1) (–1), czyli wła-
ś
nie –1. Stąd wyŜej podany wynik.
2. Czy wektory
=
=
=
3
2
1
0
5
2
0
0
3
3
2
1
a
a
a
tworzą bazę w R
3
?
TakŜe w tym wypadku odpowiedź brzmi: tak. Ale dla-
czego jest ona pozytywna? Po prostu dlatego, Ŝe opisany
układ składa się z trzech wektorów trójwymiarowych i są
one liniowo niezaleŜne.
Dlaczego – kolejne pytanie – układ ten ma tę własność?
Dlatego, Ŝe macierz utworzona ze współrzędnych wektorów
a
1
, a
2
, a
3
, czyli macierz
=
3
0
0
2
5
0
1
2
3
A
ma rząd równy 3.
Postawmy zatem następne pytanie: dlaczego ta macierz ma
rząd równy „3”? OtóŜ dlatego, Ŝe
3
)
3
,
3
min(
)
(
=
≤
A
R
zaś
0
det
≠
A
ALGEBRA PONAD WSZYSTKO
Michał Kolupa
Niedawno jeden z wykładów z matematyki, jakie prowadzę
w WyŜszej Szkole Społeczno-Ekonomicznej w Warszawie rozpocząłem od przeróbki
rymowanki napisanej przez nie byle kogo, bo Adama Mickiewicza.
A dlaczego jest spełniony ten warunek? Ano dlatego, Ŝe
wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi ele-
mentów tej macierzy połoŜonych na jej głównej przekątnej.
Iloczyn ten jest równy 3 · 5 · 3 = 45 ≠ 0. Ot i cała odpowiedź.
KROK PO KROKU
3. Wykorzystajmy zadanie 2 do rozwiązania następujące-
go zadania. Tak się z reguły w matematyce (i pochodnych
dziedzinach wiedzy) postępuje, gdyŜ dzięki temu krok po
kroku dochodzi się do kolejnego szczebla wiedzy. A więc,
skoro wektory a
1
, a
2
, a
3
, rozpatrywane w zadaniu 2, tworzą
bazę, to dowolny wektor, np.
=
0
2
5
b
z tej przestrzeni wyra-
Ŝ
a się jako kombinacja liniowa wektorów a
1
, a
2
, a
3.
A zatem
b
a
x
a
x
a
x
=
+
+
3
3
2
2
1
1
(1)
Znajdziemy x
1
, x
2
, x
3
, czyli rozwiąŜemy układ równań:
0
3
2
2
5
5
2
3
3
3
2
3
2
1
=
=
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
Mamy przeto:
0
3
=
x
5
2
2
=
x
5
7
1
=
x
czyli zgodnie z (1) mamy:
b
a
a
a
=
+
+
3
2
1
0
5
2
5
7
(2)
Z bazy a
1
, a
2
, a
3
usuniemy wektor a
3
a na jego miejsce
wprowadzamy wektor b. Czy układ a
1
, a
2
, b tworzy bazę?
Tym razem odpowiadamy: nie. A odpowiedź jest nega-
tywna, bo rząd macierzy utworzonej ze składowych wekto-
rów a
1
, a
2
, b jest mniejszy od trzech. Istotnie:
=
0
0
0
2
5
0
5
2
3
B
zaś
0
det
=
B
. Jest tak, bo ostatni wiersz składa się z samych
zer, zaś wyznacznik takiej macierzy jest równy zero. Układ
(a
1
, a
2
, b) nie tworzy bazy.
A jeŜeli z bazy (a
1
, a
2
, a
3
) usuniemy wektor a
1
to czy układ
(b, a
2
, a
3
) tworzy bazę? Odpowiadamy: tak. Uzasadnienie:
macierz
=
3
0
0
2
5
2
1
2
5
C
ma rząd równy trzy, zaś
0
12
75
3
2
2
5
2
0
1
5
0
1
2
0
0
2
2
3
5
5
det
≠
−
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
C
Popatrzcie raz jeszcze na zaleŜność (2) i na uzyskane re-
zultaty. Układ (a
1
, a
2
, b) nie tworzy bazy, zaś układ (b, a
2
,
a
3
) tworzy bazę. Wyciągnijcie wnioski samodzielnie, albo
zajrzyjcie do notatek z wykładu.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
A teraz coś o układach równań liniowych. To wcale nie
jest trudniejsze od przykładów poprzednich. Zatem:
4. Dla jakich wartości parametru a przestawiony poniŜej
układ równań jest sprzeczny?
a
x
x
x
x
a
x
x
2
5
2
2
5
2
3
2
1
2
1
2
1
=
+
=
+
=
+
Jest on sprzeczny wówczas – co powinno być wiadome z
wykładu – jeŜeli rząd macierzy podstawowej A jest róŜny od
rzędu macierzy rozszerzonej B, gdzie
=
5
2
5
1
2
3
A
=
=
a
a
b
A
B
2
5
2
2
5
1
2
3
]
/
[
ale
,
2
3
:
×
A
przeto
2
)
2
,
3
min(
)
(
=
≤
A
R
i jest równy 2 bo np.
0
13
5
1
2
3
det
≠
=
zaś
3
3
:
×
B
, przeto
3
)
2
,
3
min(
)
(
=
≤
B
R
i moŜe być równy trzy, [aby była spełniona zaleŜność
)
3
2
(
)
(
)
(
≠
≠
B
R
A
R
].
Obliczamy:
22
21
4
30
10
5
8
3
2
1
2
3
2
5
5
2
0
1
5
2
2
2
20
5
3
det
−
=
−
−
−
+
+
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
a
a
a
a
a
a
a
B
i aby
0
det
≠
B
(wówczas rząd macierzy B jest równy trzy)
musi być
0
22
21
≠
−
a
albo
21
22
≠
a
i to jest odpowiedź na
postawione pytanie.
5. A teraz nieco zmieńmy pytanie: dla jakich wartości pa-
rametru a układ rozpatrywany w zadaniu 4 ma jedno rozwią-
zanie? Odpowiadamy – wówczas, kiedy
2
)
(
)
(
=
=
B
R
A
R
(bo tyle jest niewiadomych w rozpatrywanym układzie),
2
)
(
=
A
R
co poprzednio stwierdziliśmy zaś
2
)
(
=
B
R
wówczas
kiedy
0
det
=
B
czyli
wówczas,
kiedy
0
22
21
=
−
a
prowadzi do wyniku
21
22
=
a
czyli dla takiej
wartości układ ma jedno rozwiązanie.
ZauwaŜmy, Ŝe
2
)
(
=
B
R
, bo wystarczy wskazać ten sam
minor
5
1
2
3
który rozpatrywaliśmy, badając rząd macie-
rzy A. Jeszcze raz popatrzcie na budowę macierzy B (ma-
cierz A uzupełniona kolumną wyrazów wolnych).
GDY CZAS NAGLI
6. A teraz coś innego: wyznaczyć macierz odwrotną do
macierzy
=
9
11
4
5
A
Skorzystamy w tym przypadku z algorytmu podanego na
wykładzie, bo będzie szybciej, a na przykład na egzaminie –
bo moŜe to być przecieŜ zadanie egzaminacyjne – czas na-
gli! Postępujemy tak. Obliczamy wyznacznik, co czynimy z
tego powodu, Ŝe macierz odwrotna istnieje tylko do macie-
rzy nieosobliwej. Liczmy
1
4
11
9
5
det
=
⋅
−
⋅
=
A
. Gdyby
0
det
=
A
to nic nie naleŜałoby liczyć, tylko powiedzieć, Ŝe
do takiej macierzy nie istnieje macierz odwrotna, ale
0
1
det
≠
=
A
przeto istnieje macierz
1
−
A
.
Wyznaczamy ją w sposób następujący. Przesuwamy ele-
menty połoŜone na głównej przekątnej, co oznacza, Ŝe w
macierzy A
–1
na miejsce 5 która stoi na węźle (1, 1) w ma-
cierzy A postawimy 9. Na węźle (2, 2) w macierzy A stoi 9 i
dlatego na tym węźle w macierzy A
–1
postawimy 5.
Elementy 4 i 11, stojące na antygłównej przekątnej w ma-
cierzy A, piszemy na tych samych węzłach w macierzy A
–1
i
poprzedzamy je znakiem minus.
Wobec tego:
−
−
=
−
5
11
4
9
1
A
Teraz coś jeszcze innego. Liczyć czy nie liczyć – to hasło
do przykładu 7.
JeŜeli:
=
5
1
2
3
A
=
0
1
2
6
B
to jak wyznaczyć
A
AB
B
D
1
)
(
−
=
?
Zaczniemy od prezentacji tego, jak nie naleŜy postępo-
wać. Po pierwsze obliczalibyśmy iloczyn AB, a zatem
=
=
2
11
6
20
0
1
2
6
5
1
2
3
AB
zaś następnie (patrz przykład 6) wyznaczalibyśmy
1
)
(
−
AB
:
26
66
40
)
det(
1
−
=
−
=
−
AB
.
−
−
=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
26
20
26
11
26
6
26
2
20
11
6
2
26
1
20
11
6
2
66
40
1
)
(
1
AB
następnie
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
13
3
13
1
13
2
13
5
26
6
26
2
26
4
26
10
26
20
26
11
26
6
26
2
0
1
2
6
)
(
1
AB
B
i na koniec
=
−
−
=
−
1
0
0
1
5
1
2
3
13
3
13
1
13
2
13
5
)
(
1
A
AB
B
Takie postępowanie jest jednak w tym przypadku niece-
lowe, gdyŜ jest czasochłonne, a czas na egzaminie jest bez-
cenny. MoŜna tę procedurę pominąć, jeśli skorzystamy z
tego, co powinniśmy wiedzieć juŜ wcześniej. PokaŜę, jak
postępować, aby nie liczyć tego wszystkiego, co przedsta-
wiłem wyŜej. Wiemy – a w kaŜdym razie powinniśmy wie-
dzieć – Ŝe
1
1
1
)
(
−
−
−
=
A
B
AB
przeto
A
A
BB
A
AB
B
D
1
1
1
)
(
−
−
−
=
=
ale
I
BB
=
−
1
oraz
I
A
A
=
−
1
ostatecznie
I
D
=
.
I oto wynik, do jakiego doszliśmy skomplikowaną drogą,
mamy bez liczenia, „na talerzu” (I jest macierzą stopnia
drugiego, bo takiego stopnia jest macierz D). Ale oczywiście
postępowanie według bardziej skomplikowanej procedury
nie jest zabronione, wybór naleŜy do zdającego.
NIE KOMPLIKOWAĆ BEZ POTRZEBY
8. No teraz jeszcze jedno, sytuacja nieco zbliŜona. Dany
jest układ równań
5
2
6
2
4
5
4
3
2
4
3
1
=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
zaś
=
=
=
=
2
4
6
5
1
0
0
1
4
3
2
1
a
a
a
a
czyli
5
2
6
2
4
5
4
3
2
4
3
1
=
+
+
=
+
+
a
a
a
a
a
a
Rozwiązanie bazowe względem bazy zbudowanej z
wektorów a
1
i a
2
ma postać
0
0
5
2
4
3
2
1
=
=
=
=
x
x
x
x
Zadanie polega na tym, by znaleźć nowe rozwiązanie ba-
zowe względem bazy utworzonej z wektorów (a
1
a
4
). Z bazy
(a
1
a
2
) wyrzuciliśmy wektor a
2
i na jego miejsce wprowa-
dziliśmy wektor a
4
. Oznacza to, Ŝe wprowadzony wektor
powinien mieć w bazie (a
1
a
4
) rozkład taki jak wektor, który
z bazy został usunięty. Innymi słowy wektor
=
2
4
4
a
ma
przejść w wektor
1
0
, stąd zamiast 2 ma być jedynka, zaś
zamiast 4 zero.
Jest to zapowiedź wykonywanych przekształceń. Obli-
czenia prowadzimy w tablicy.
b
a
1
a
2
a
3
a
4
Rozwiązanie i komentarz
T
ab
li
ca
1
2
5
1
0
0
1
5
6
4
2
0
0
5
2
4
3
2
1
=
=
=
=
x
x
x
x
Do bazy a
4
z bazy a
2
T
ab
li
ca
2
-8
2
5
1
0
-2
2
1
-7
3
0
1
Zamiast 2 ma być jedynka. Dzieli-
my drugi wiersz przez 2 i zapisu-
jemy w drugim wierszu tablicy 2.
Aby było zero (tablica 2) na miej-
scu 4 (tablica 1) naleŜy drugi
wiersz tablicy 2 pomnoŜyć przez
–4 i dodać do pierwszego wiersza
tablicy 1.
Nowe rozwiązanie względem bazy
(a
1
a
4
) ma postać
2
5
0
0
8
4
3
2
1
=
=
=
−
=
x
x
x
x
9. I jeszcze o własnościach wyznacznika. Obliczyć
+
+
2
2
2
2
det
b
c
b
b
a
c
b
a
Nie naleŜy sądzić, iŜ skoro jest to wyznacznik macierzy
stopnia trzeciego to naleŜy stosować schemat Sarrusa.
Znacznie łatwiej jest skorzystać z własności wyznacznika.
Najpierw pomnoŜymy pierwszy wiersz przez (–1) i dodamy
do drugiego wiersza. Wówczas
0
2
2
2
det
2
2
2
2
det
=
=
+
+
b
b
b
c
b
a
b
c
b
b
a
c
b
a
To juŜ wszystko, bo drugi i trzeci wiersz są proporcjonal-
ne, a wyznacznik takiej macierzy jest równy zero.
UWIERZYĆ W SIEBIE
10. Kolejne zadanie i ćwiczenie, na zakończenie tych pa-
ru uwag mającego juŜ trochę Ŝyciowego doświadczenia
pedagoga, któremu przypadło zajmować się tak (podobno)
„trudnymi”, ale – proszę mi wierzyć – pasjonującymi dzie-
dzinami wiedzy, jak matematyka, ekonometria i statystyka.
Oto ono: wiedząc, Ŝe
10
det
=
z
y
x
v
q
p
c
b
a
(*)
obliczyć
+
+
+
−
−
−
v
q
p
v
b
q
a
p
z
y
x
2
2
2
2
3
3
3
det
Postępujemy następująco: z pierwszego wiersza wyłą-
czymy (–1), zaś z trzeciego 2. Wówczas
+
+
+
−
=
=
+
+
+
−
−
−
v
q
p
z
v
b
q
a
p
z
y
x
v
q
p
v
b
q
a
p
z
y
x
3
3
3
det
)
1
(
2
2
2
2
2
3
3
3
det
PomnoŜymy trzeci wiersz przez –3 i dodamy do drugiego
wiersza.
Wówczas
−
=
+
+
+
−
v
q
p
c
b
a
z
y
x
v
q
p
c
v
b
q
a
p
z
y
x
det
2
3
3
3
det
2
Z kolei naleŜy zamienić wiersz drugi z pierwszym (doko-
naliśmy nieparzystej liczby przestawień wierszy). Wówczas
=
−
v
q
p
z
y
x
c
b
a
v
q
p
c
b
a
z
y
x
det
2
det
2
I na koniec zamieniamy wiersz drugi z trzecim (dokonali-
ś
my nieparzystej liczby przestawień wierszy), czyli na pod-
stawie informacji (*):
20
det
2
det
2
−
=
−
=
z
y
x
v
q
p
c
b
a
v
q
p
z
y
x
c
b
a
Łatwe, ale tylko dla tych, którzy chcą się czegoś nauczyć
i którzy nie odczuwają niechęci do matematyki. Ci, którzy
dotknięci są taką niechęcią, muszą się koniecznie pozbyć jej.
Nie moŜna nauczyć się czegokolwiek, jeŜeli towarzyszy
temu niechęć do przedmiotu.
A na koniec jeszcze jedna rada. Trzeba wierzyć, Ŝe ma-
tematykę moŜna opanować w takim stopniu i zakresie, jaki
jest potrzebny do zdania egzaminu.
Zrozumieć, a nie uczyć się na pamięć, to ostatnie zalece-
nie przed egzaminem, którego na przykład na kierunku stu-
diów: ekonomia, finanse czy zarządzanie nikomu uniknąć
się nie da, bo to fundament dla wielu innych wykładanych
na tych kierunkach przedmiotów. TakŜe zresztą na wielu
pozostałych kierunkach studiów wyŜszych. Od siebie zaś
dodam, Ŝe to naprawdę wiedza sympatyczna i odwzajem-
niająca „dobre uczucia”, jeśli takie wobec niej się Ŝywi.