Pewniki, że nic się nie zmieni, jeżeli:
1.

Dołożymy dwójkę zerowa sił

2.

Siłę oddziaływująca na to ciało przesuniemy wzdłuż linii jej działania

3.

Siły zastąpimy suma wektorową (wypadkową)

4.

Momenty zastąpimy suma algebraiczna par składowych

Wektor np. ¡F
Zapis siły:
¡F

1

=F

1

 * ¡e

1

¡F

2

=F

2

 * ¡e

2

F = F

1

 * ¡e

1

 + F

2

 * ¡e

2

 =   F

i

 * ¡e

i

Warunki równowagi układu płaskiego:
    F

i1

 +   R

j1

) = 0

    F

i2

 +   R

j2

) = 0

    M

i

 +   m

j

 = 0

„Pochodna” równań równowagi: (A,B,C nie są współ liniowe)
    M

iA

 +   m

jA

 = 0

    M

iB

 +   m

jB

 = 0

    M

iC

 +   m

jC

 = 0

Tarcie – zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni stykających się ciął, które 
to siły powstają wskutek przesuwania się lub tendencji do przesuwania się tych ciał 
względem siebie.
Prawo Coulomba – T

gr

 =   *N

Dowolny układ jest w równowadze, jeżeli suma ogólna sił czynnych działająca na 
to ciało i sił reakcji więzów jest równa zeru oraz suma momentu ogólnego obciążeń 
czynnych i momentów reakcji więzów obliczanych względem tego samego punktu jest 
równa zeru.
    F

i1

 +   R

j1

 = 0

    F

i2

 +   R

j2

 = 0

    F

i3

 +   R

j3

 = 0

    M

1

 +   m

1

 = 0

    M

2

 +   m

2

 = 0

    M

3

 +   m

3

 = 0

Wytrzymałość:
Siły wewnętrzne – to wzajemne oddziaływania cząstek materiału należących do tego 
samego obiektu.
Naprężenie sił wew. – stosunek siły do powierzchni, na której ta siła działa.
P= lim(A   0)   W/  A  P

śr

 =   W/  A

Przemieszczenie – zmiana położenia poszczególnych punktów ciała wskutek działania 
obciążenia, mogą one powodować zmiany wymiarów liniowych i kątowych
Odkształcenie liniowe    to intensywność zmian wymiarów względem danego odcinka 
 

śr

=  S/S    = lim (  S  0) =  S/S

Odkształcenie postaciowe (kątowe)    to intensywność zmiany kąta prostego w 
otoczeniu dowolnie wybranego punktu.
Wzór Hooka -   l =(P*l)/(A*E)
    dA =     dA =   A =N
  =N/A    =  /E
Wykres rozciągania: 
 
 
 
 
 
         R

H

 R

S

   R

e

           R

m

                 [%]

R

H

 – koniec liniowej zależności    -    (stosowania prawa Hooka)

R

S

 – granica sprężystości, ale nie ma liniowej zbieżności

R

e

 – granica plastyczności, wzrost wydłużenia bez wzrostu obciążeń

R

m

 – granica wytrzymałości materiału

Dla projektowania wytrzymałościowego znaczenie ma odcinak R

e

 – R

m

 gdyż do 

obliczenia naprężeń dopuszczalnych stosuje się wzór  

dop

=R

e

/n

e

=R

m

/n

m

 (n

e

 i n

m

 

współczynniki bezpieczeństwa > 1)
Rozciąganie/Ściskanie:
Założenia:

- W dowolnym przekroju poprzecznym występuje tylko  

n

- Naprężenia te są rozłożone w sposób równomierny na powierzchni przekroju
- Przekroje płaskie i prostop. do osi pręta przed i po obciążenie pozostają płaskie i 
prostop. (nie występuje spaczenie pręta.)
  =N/A    =N/(A*E)
u(x)=(N*x)/(A*E)
Kryterium wytrzymałości:  

max

   

dop

Kryterium sztywności:  u

max

  u

dop

Skręcanie 
Założenia
- W przekroju prostop. do osi pręta występuje tylko  

s

- Przekroje płaskie i prostop. nie ulegają zmianie
Warunek równowagi
M

s

=   

s

*  *dA (   promień)

Warunek geometryczny
  dx=  d   (   - kąt odkształcenia postaciowego,    kąt skręcenia)
Związek fizyczny   = 

s

/G (G- moduł Kirchoffa)

 

s

=M

s

/(I

s

*  )  

s

=M

s

/W

s

 (   = d)

  (x)=(M

s

*x)/(G*I

s

)

Przekrój kołowy pełny
I

s

=(  *d

4

)/32 Ws=(  *d

3

)/16

Przekrój rurowy 
I

s

=  /32*(D

z

4

-D

w

4

) W

s

=  /16*[(D

z

4

-D

w

4

)/D

z

]

Przekrój cienko ścienny (   - grubość ściany   /D<0,1; F pole rury ograniczone linią 
środkową otworu)
I

s

=2*  *r

3

*  =2*r*F*   W

s

 = 2*  *r

2

*  =2*F* 

Warunek wytrzymałości  

max

   

dop

Warunek sztywności  

max

   

dop

Zginanie: 
(  - kąt ugięcia;    - promień ugięcia)
d  =dx

1

/   = const.

 

1

=x

2

/     

n

=(E*x

2

)/  

  x

2

* 

n

*dA=M

g

  x

2

*[(E*x

2

)/  ]*dA=E/  *  x

2

2

*dA=E/  *I

30

=M

g

1/  =M

g

/(E*I

30

)   

n

=M

g

/I

30

*x

2

 

max

  kg

r-rozciąganie c – ściskanie
Przekrój prostokątny:
I

30

=(b*h

3

)/12

x

2

r

=x

2

c

=h/2

Przekrój kołowy:
I

30

=  d

4

/64 x

2

r

=x

2

c

=d/2

Przekrój trójkątny (równoramienny):
I

30

 = (b*h

3

)/36 x

2

r

=2/3*h >x

2

c

Linia ugięcia belek: (V – ugięcie)
1/  = -d

2

V/dx

1

2

1/  (x)=M

g

(x

1

)/(E*I

30

)

Równanie różniczkowe oblicza się poprzez dwukrotne całkowanie po dx

1

  =dV/dx

1   

-M

g

/(E*I

30

)=d

2

V/dx

1

Moment bezwładności jest to miara rozłożenie masy w obiekcie 
I=  r

2

*dm

Dla figur płaskich dm = m/A*dA
Na przykładzie trójkąta prostokątnego:
W odległości x

2

 wycinamy pasek o grubości dx

2

 na szerokości c (c to zmienna c(x

2

))

Z talesa c/b=(h-x

2

)/h

c=[b*(h-x

2

)]/h

dA=dx

2

*[b*(h-x

2

)]/h

x

1

=e

1

=  x

1

*dA/A i odpowiednio dla x

2

x

1

=1/3*b x2=1/3*h

I

x1

=  x

2

2

*dA=(b*h

3

)/12

I

x2

=(b

3

*h)/12

I

x1x2

=(b

2

*h

2

)/24

Z tw Steinera
I

x1c

=I

x1

 – e

2

2

*A

I

x2c

=I

x2

 – e

1

2

*A

I

x1x2c

=I

x1x2

 – e

1

*e

2

*A

Dla prostokąta I

x1

=(b*h

3

)/3 I

x2

=(b

3

*h)/3 I

x1x2

=(b

2

*h

2

)/4