Elementy geometrii analitycznej
Znajdziemy teraz wz´or na odleg lo´s´c punktu (x
0
, y
0
) od prostej, wsp´o lrze
,
dne
punkt´ow kt´orej spe lniaja
,
r´ownanie ax+by +c = 0 . Oczywi´scie po to, by to r´ownanie
przedstawia lo prosta
,
trzeba za lo˙zy´c, ˙ze wektor [a, b] nie jest wektorem zerowym, czyli
˙ze [a, b] 6= [0, 0] .
Odleg lo´s´c punkt´ow (x
1
, y
1
) i (x
2
, y
2
) to
p
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
. Wynika to
natychmiast z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach
(x
1
, y
1
) , (x
1
, y
2
) i (x
2
, y
2
) . Jego pionowy bok ma d lugo´s´c |y
2
− y
1
| , a poziomy
— |x
2
− x
1
| .
W przestrzeni tr´ojwymiarowej odleg lo´s´c punkt´ow (x
1
, y
1
, z
1
) i (x
2
, y
2
, z
2
) jest
r´owna
p
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
+ (z
1
− z
2
)
2
. W tym przypadku stosujemy wz´or
uzyskany dla punkt´ow p laszczyzny dla znalezienia odleg lo´sci punkt´ow (x
1
, y
1
, z
1
)
i (x
2
, y
2
, z
1
) , a naste
,
pnie twierdzenie Pitagorasa do tr´ojka
,
ta pionowego o wierz-
cho lkach (x
1
, y
1
, z
1
) , (x
2
, y
2
, z
1
) i (x
2
, y
2
, z
2
) .
Przypomnimy twierdzenie kosinus´ow: je´sli a, b, c sa
,
bokami tr´ojka
,
ta o wierz-
cho lkach A, B, C (wierzcho lek A le˙zy naprzeciw boku a itd.), to
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos C
— symbol C oznacza jednocze´snie wierzcho lek i ka
,
t mie
,
dzy bokami wychodza
,
cymi
z tego wierzcho lka. Przypomnimy dow´od tego twierdzenia, kt´ore mo˙zna i nale˙zy trak-
towa´c jako uog´olnienie twierdzenia Pitagorasa. Niech D oznacza rzut punktu B na
prosta
,
AC .
∗
Je´sli ka
,
ty C i A nie sa
,
rozwarte, to punkt D le˙zy na odcinku AC
w odleg lo´sci b − a cos C od punktu A . Je´sli ka
,
t A jest rozwarty, to punkt D le˙zy
w odleg lo´sci a cos C − b od punktu A . Wreszcie je´sli ka
,
t C jest rozwarty (tzn.
cos C < 0 ), to punkt D le˙zy w odleg lo´sci b+a cos(π −C) = b−a cos C od punktu A .
Wobec tego AD = |b − a cos C| we wszystkich przypadkach. Podobnie we wszystkich
przypadkach BD = a sin C . Mamy wie
,
c
c
2
= BD
2
+ AD
2
= a
2
sin
2
C + |b − a cos C|
2
=
= a
2
sin
2
C + b
2
− 2ab cos C + a
2
cos
2
C = a
2
+ b
2
− 2ab cos C .
Wobec tego 2ab cos C = a
2
+ b
2
− c
2
. Je´sli C = 0 = (0, 0, 0) , A = (x
1
, y
1
, z
1
) ,
B = (x
2
, y
2
, z
2
) , to zachodzi r´owno´s´c:
2ab cos C = (x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
) + (x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
) − (x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
+ (z
1
− z
2
)
2
) =
∗ Studenci, kt´orzy nie od razu wyobra˙zaja
, sobie sytuacje, powinni narysowa´
c tr´
ojka,t, zaznaczy´c punkty,
zrozumie´
c o jakich sytuacjach autor tekstu pisze.
1
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
=2(x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
) , zatem ab cos C = x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
. Pora na okre´slenie
iloczynu skalarnego.
Definicja 1.1 (iloczynu skalarnego)
Iloczynem skalarnym ~u · ~v wektor´ow ~u = [u
1
, u
2
, u
3
] ~v = [v
1
, v
2
, v
3
] nazywamy
liczbe
,
u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ u
3
v
3
.
Z tekstu poprzedzaja
,
cego definicje
,
wynika jasno, ˙ze iloczyn skalarny dw´och wek-
tor´ow jest r´owny iloczynowi ich d lugo´sci i kosinusa ka
,
ta mie
,
dzy nimi. Jest wie
,
c r´ow-
ny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektor´ow jest r´owny ~0 lub gdy kosinus ka
,
ta
mie
,
dzy nim i jest r´owny 0 , czyli gdy mno˙zone wektory sa
,
prostopad le. By nie lama´c
sobie je
,
zyka przyjmujemy, ˙ze wektor zerowy jest prostopad ly do ka˙zdego wektora.
Iloczynowi skalarnemu przys luguje wiele w lasno´sci algebraicznych, kt´ore czynia
,
go
wielce u˙zytecznym. Wymienimy najwa˙zniejsze z nich.
IS 0. ~u · ~u = ~0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~u = ~0 = [0, 0, 0)] ;
IS 1. ~u · ~v = ~v · ~u — iloczyn skalarny jest przemienny;
IS 2. ~u · (~v
1
+ ~v
2
) = ~u · ~v
1
+ ~u · ~v
2
— iloczyn skalarny jest rozdzielny wzgle
,
dem
dodawania wektor´ow;
IS 3. (t~u) · ~v = t(~u · ~v) = ~u · (t~v) dla dowolnej liczby t ∈ R i dowolnych wektor´ow
~u, ~v ;
IS 4. s(t~u) = (st)~u dla dowolnych s, t ∈ R i dowolnego wektora ~u ;
IS 5. (s + t)~u = s~u + t~u dla dowolnych s, t ∈ R i dowolnego wektora ~u ;
IS 6. |~u · ~v| ≤ k~uk · k~vk , gdzie k~uk :=
√
~u · ~u , przy czym r´owno´s´c zachodzi wtedy
i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektor´ow ~u, ~v jest zerowy lub gdy istnieje
liczba t taka, ˙ze ~u = t~v , ta nier´owno´s´c nazywana jest nier´owno´scia
,
Schwarza,
czasem Schwarza–Cauchy’ego.
Oczywi´scie mno˙zymy wektor przez liczbe
,
mno˙za
,
c ka˙zda
,
wsp´o lrze
,
dna
,
wektora
przez te
,
liczbe
,
:
t~u = t · [u
1
, u
2
, u
3
] = [tu
1
, tu
2
, tu
3
] .
Wszystkie wymienione w lasno´sci wynikaja
,
od razu z definicji dzia la´
n na wektorach.
Jedyny problem to nier´owno´s´c Schwarza, kt´ora wynika natychmiast z geometrycznej
interpretacji iloczynu skalarnego i z tego, ˙ze −1 ≤ cos α ≤ 1 . Mo˙zna ja
,
te˙z udowodni´c
nieco inaczej. Podamy dwa takie dowody, oba w nieco og´olniejszej sytuacji.
Pierwszy dow´
od nier´
owno´sci Schwarza
Wyka˙zemy, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb rzeczywistych
2
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, y
1
, y
2
, . . . , y
n
zachodzi nier´owno´s´c
(x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ · · · + x
n
y
n
)
2
≤ (x
2
1
+ x
2
2
+ · · · + x
2
n
)(y
2
1
+ y
2
2
+ · · · + y
2
n
) .
Przenosza
,
c wszystkie wyra˙zenia na prawa
,
strone
,
, wymna˙zaja
,
c wszystko otrzymu-
jemy sume
,
iloczyn´ow typu x
2
i
y
2
j
, 1 ≤ i, j ≤ n , od kt´orej odejmujemy sume
,
ilo-
czyn´ow postaci x
2
i
y
2
i
, 1 ≤ i ≤ n oraz podwojona
,
sume
,
wszystkich iloczyn´ow
postaci x
i
y
i
x
j
y
j
, 1 ≤ i 6= j ≤ n . Jasne jest ˙ze po odje
,
ciu znikna
,
iloczyny po-
staci x
2
i
y
2
i
, 1 ≤ i ≤ n . Reszta to suma wyra˙ze´
n postaci x
2
i
y
2
j
− 2x
i
x
j
y
i
y
j
+ x
2
j
y
2
i
,
1 ≤ i < j ≤ n . Poniewa˙z x
2
i
y
2
j
− 2x
i
x
j
y
i
y
j
+ x
2
j
y
2
i
= (x
i
y
j
− x
j
y
i
)
2
, wie
,
c ta suma jest
liczba
,
nieujemna
,
. Za l´o˙zmy, ˙ze 0 =
P
1≤i<j≤n
(x
i
y
j
− x
j
y
i
)
2
. Wtedy x
i
y
j
= x
j
y
i
dla 1 ≤ i < j ≤ n . Je´sli y
i
6= 0 6= y
j
, to mo˙zemy napisa´c
x
i
y
i
=
x
j
y
j
. Wo-
bec tego wszystkie ilorazy postaci
x
i
y
i
sa
,
r´owne. Oznaczmy ich wsp´olna
,
warto´s´c
przez t . Niech y
i
6= 0 = y
j
. Poniewa˙z x
i
y
j
= x
j
y
i
, wie
,
c x
j
= 0 i wobec tego
r´ownie˙z w tym przypadku zachodzi wz´or x
j
= ty
j
. Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze je´sli
(x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ · · · + x
n
y
n
)
2
= (x
2
1
+ x
2
2
+ · · · + x
2
n
)(y
2
1
+ y
2
2
+ · · · + y
2
n
) i co najmniej
jedna z liczb y
1
, y
2
, . . . , y
n
jest r´o˙zna od 0 , to istnieje liczba rzeczywista t taka, ˙ze
x
i
= ty
i
dla i = 1, 2, . . . , n . Jasne jest, ˙ze je´sli taka liczba t istnieje, to nier´owno´s´c
Schwarza staje sie
,
r´owno´scia
,
. W ten spos´ob zako´
nczyli´smy pierwszy dow´od.
Drugi dow´
od nier´
owno´sci Schwarza, kt´orego nie be
,
dzie go na wyk ladzie.
Jasne jest, ˙ze je´sli zdefiniujemy iloczyn skalarny w przestrzeni n –wymiarowej wzo-
rem
~x · ~y = [x
1
, x
2
, . . . , x
n
] · [y
1
, y
2
, . . . , y
n
] = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ · · · + x
n
y
n
,
to be
,
da
,
mu przys lugiwa´c w lasno´sci IS0 – IS5. Za l´o˙zmy, ˙ze ~y 6= ~0 , tzn., ˙ze co naj-
mniej jedna ze wsp´o lrze
,
dnych wektora ~y jest r´o˙zna od 0 . Niech
f (t) = (~x+t~y)·(~x+t~y) = (~x·~x)+t(~x·~y)+t(~y·~x)+t
2
(~y·~y) = (~x·~x)+2t(~x·~y)+t
2
(~y·~y) .
dla ka˙zdej liczby t ∈ R . Funkcja f jest wielomianem kwadratowym, kt´orego wszyst-
kie warto´sci sa
,
nieujemne, zatem jego wyr´o˙znik nie mo˙ze by´c dodatni. Mamy wie
,
c
0 ≥ ∆ = 4(~x · ~y)
2
− 4(~x · ~x)(~y · ~y) = 4 (~x · ~y)
2
− (~x · ~x)(~y · ~y)
,
a to oznacza, ˙ze nier´owno´s´c Schwarza jest prawdziwa. Oczywi´scie je´sli (~x · ~y)
2
=
(~x · ~x)(~y · ~y) , to wielomian kwadratowy ma dok ladnie jeden pierwiastek (podw´ojny),
a to oznacza, ˙ze istnieje liczba rzeczywista t taka, ˙ze 0 = f (t) = (~x + t~y) · (~x + t~y) ,
czyli ~x = −t~y . Zako´
nczyli´smy drugi dow´od nier´owno´sci Schwarza.
Uwaga 1.2 (o niestandardowych iloczynach skalarnych)
W drugim dowodzie mniej przekszta lcali´smy. W dodatku w samym dowodzie korzy-
stali´smy jedynie z w lasno´sci IS0 – IS5. Wynika sta
,
d, ˙ze je´sli zdefiniujemy iloczyn
3
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
w jakikolwiek inny spos´ob, ale tak, ˙ze w lasno´sci IS0–IS5 be
,
da
,
spe lnione, to r´ownie˙z
w lasno´s´c IS6 be
,
dzie spe lniona. Przyk lad takiej sytuacji mo˙zemy bez trudu poda´c.
Mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze iloczynem skalarnym wektor´ow [x
1
, x
2
] i [y
1
, y
2
] jest np. liczba
2x
1
y
1
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
2
y
2
, sens geometryczny jest znacznie mniej oczywisty ni˙z
poprzednio i nie be
,
dziemy tej kwestii analizowa´c, powiemy tylko, ˙ze na p laszczy´znie
mo˙zna wprowadza´c uk lady wsp´o lrze
,
dnych nieprostoka
,
tnych, ˙ze jednostki na osiach
nie musza
,
by´c r´ownej d lugo´sci. Iloczyny skalarne mo˙zna te˙z definiowa´c w innych
zbiorach, np. zbiorach, kt´orych elementami sa
,
funkcje.
Pierwszy dow´od podali´smy, by studenci widzieli, ˙ze wymy´slenie dowodu tak pro-
stej w lasno´sci jest w ich zasie
,
gu. Drugi, by m´oc powiedzie´c, ˙ze po pewnym czasie,
ludziom udaje sie
,
lepiej zrozumie´c uzyskane twierdzenie, cze
,
sto rozszerzy´c zakres jego
stosowalno´sci i na og´o l upro´sci´c dow´od. Nie nale˙zy sie
,
wie
,
c dziwi´c, ˙ze na pomys l prze-
prowadzenia kr´otkiego dowodu mo˙zna nie wpa´s´c od razu. Te kr´otkie rozumowania to
cze
,
sto efekt dosy´c d lugich rozmy´sla´
n.
Je´sli co najmniej jedna z liczb a, b jest r´o˙zna od 0 , to zbi´or wektor´ow [x, y] *
prostopad lych do wektora [a, b] jest opisany r´ownaniem ax + by = 0 . Oczywi´scie
ko´
nce tych wektor´ow tworza
,
prosta
,
prostopad la
,
do wektora [a, b] . Wobec tego:
je´sli [a, b] 6= [0, 0] , to r´
ownanie ax + by + c = 0 opisuje prosta
,
prostopad la
,
do
wektora [a, b] . Prosta ta jest r´
ownoleg la do prostej o r´
ownaniu ax + by = 0 .
Stwierdzenie 1.3
Je´sli co najmniej jedna z trzech liczb a, b, c jest r´o˙zna od 0 , to r´ownanie (liniowe)
ax + by + cz = 0 opisuje zbi´or wektor´ow prostopad lych do wektora [a, b, c] . Jest
wie
,
c to r´ownanie p laszczyzny przechodza
,
cej przez pocza
,
tek uk ladu wsp´o lrze
,
dnych.
Wobec tego: je´sli (a, b, c) 6= (0, 0, 0) , to r´
ownanie ax + by + cz + d = 0 opisuje
p laszczyzne
,
prostopad la
,
do wektora (a, b, c) . P laszczyzna ta jest r´
ownoleg la
do p laszczyzny o r´
ownaniu ax + by + cz = 0 .
Definicja 1.4 (iloczynu wektorowego)
Iloczynem wektorowym ~u×~v wektor´ow ~u = [u
1
, u
2
, u
3
)] i ~v = [v
1
, v
2
, v
3
] nazywamy
wektor
[u
2
v
3
− u
3
v
2
, u
3
v
1
− u
1
v
3
, u
1
v
2
− u
2
v
1
] .
Ze wzgle
,
du na to, ˙ze iloczyn wektorowy jest cze
,
sto stosowany, wypada wspo-
mnie´c, ˙ze wielko´sci postaci u
1
v
2
− u
2
v
1
nazywane sa
,
wyznacznikami drugiego stop-
*
M´
owia,c wektor [x,y] mamy na my´sli wektor zaczynaja,cy sie, w punkcie 0=(0,0) , kt´orego ko´ncem
jest punkt (x,y) .
4
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
nia. Piszemy u
1
v
2
− u
2
v
3
=
u
1
u
2
v
1
v
2
. Definiujemy te˙z wyznaczniki wy˙zszych stopni,
np. trzeciego:
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
= u
1
v
2
v
3
w
2
w
3
− u
2
v
1
v
3
w
1
w
3
+ u
3
v
1
v
2
w
1
w
2
=
= u
1
v
2
w
3
− u
1
v
3
w
2
+ u
2
v
3
w
1
− u
2
v
1
w
3
+ u
3
v
1
w
2
− u
3
v
2
w
1
.
O wyznacznikach opowiemy wie
,
cej w jednym z naste
,
pnych wyk lad´ow. Teraz
zauwa˙zmy tylko, ˙ze oznaczaja
,
c e
1
=
1
0
0
, e
2
=
0
1
0
, e
3
=
0
0
1
mo˙zemy napisa´c:
~u × ~v =
e
1
e
2
e
3
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
= e
1
u
2
u
3
v
2
v
3
− e
2
u
1
u
3
v
1
v
3
+ e
3
u
1
u
2
v
1
v
2
=
=
u
2
u
3
v
2
v
3
, −
u
1
u
3
v
1
v
3
,
u
1
u
2
v
1
v
2
!
W odr´o˙znieniu od iloczynu skalarnego dw´och wektor´ow, kt´ory jest liczba
,
(czyli
skalarem), iloczyn wektorowy jest wektorem. Wyka˙zemy jest jest on wektorem prosto-
pad lym do obu czynnik´ow jednocze´snie oraz ˙ze jego d lugo´s´c to pole r´ownoleg loboku
rozpie
,
tego przez mno˙zone wektory. By wykaza´c prostopad lo´s´c wystarczy obliczy´c ilo-
czyn skalarny:
~u · (~u × ~v) = [u
1
, u
2
, u
3
] · [u
2
v
3
− u
3
v
2
, u
3
v
1
− u
1
v
3
, u
1
v
2
− u
2
v
3
] =
=, u
1
u
2
v
3
− u
1
u
3
v
2
+ u
2
u
3
v
1
− u
2
u
1
v
3
+ u
3
u
1
v
2
− u
3
u
2
v
1
= 0 .
R´owno´s´c ~v · (~u × ~v) = ~0 sprawdzamy w taki sam spos´ob. Sprawdzimy najpierw,
˙ze kwadrat pola r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez wektory ~u oraz ~v r´owny jest
(~u · ~u)(~v · ~v) − (~u · ~v)
2
. Skorzystamy z tego, ˙ze pole r´ownoleg loboku jest iloczy-
nem boku przez wysoko´s´c do niego prostopad la
,
. Znajdziemy najpierw taka
,
liczbe
,
t ∈ R , ˙ze wektor ~u − t~v oka˙ze sie
,
prostopad ly do wektora ~v . Oznacza to, ˙ze wektor
t~v be
,
dzie rzutem wektora ~u na prosta
,
wyznaczona przez wektor ~v i wobec tego
wektor ~u − t~v be
,
dzie wysoko´scia
,
r´ownoleg loboku prostopad la
,
do „boku” ~v . Ma
by´c spe lniona r´owno´s´c ~v · (~u − t~v) = 0 , czyli ~v · ~u − t~v · ~v = 0 . Je´sli ~v 6= ~0 , to
t =
~
u·~
v
~
v·~
v
. Niech P oznacza pole r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez wektory ~u i ~v .
Mamy P = k~vk · k~u −
~
u·~
v
~
v·~
v
~vk . Wobec tego zachodza
,
r´owno´sci
P
2
= k~vk
2
· k~u −
~
u·~
v
~
v·~
v
~vk
2
= ~v · ~v
(~u −
~
u·~
v
~
v·~
v
~v) · (~u −
~
u·~
v
~
v·~
v
~v)
=
= ~v · ~v
~u · ~u −
~
u·~
v
~
v·~
v
~u · ~v −
~
u·~
v
~
v·~
v
~v · ~u + (
~
u·~
v
~
v·~
v
)
2
~v · ~v
=
= ~v · ~v
~u · ~u − 2
~
u·~
v
~
v·~
v
~u · ~v + (
~
u·~
v
~
v·~
v
)
2
~v · ~v
= k~vk
2
k~uk
2
− (~u · ~v)
2
.
5
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
Wz´or wykazali´smy. Z pierwszego dowodu nier´owno´sci Schwarza wynika wz´or
k~vk
2
k~uk
2
− (~u · ~v)
2
= (u
2
v
3
− u
3
v
2
)
2
+ (u
3
v
1
− u
1
v
3
)
2
+ (u
1
v
2
− u
2
v
3
) = k~u × ~vk
2
.
Udowodnili´smy, ˙ze kwadrat pola r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez wektory ~u, ~v r´ow-
ny jest kwadratowi d lugo´sci iloczynu wektorowego. Mo˙zemy otrzymany wz´or prze-
pisa´c w postaci
k~vk
2
k~uk
2
= (~u · ~v)
2
+ k~u × ~vk
2
.
Ten wz´or to w zasadzie „ jedynka trygonometryczna”. Je´sli bowiem ϕ oznacza ka
,
t
mie
,
dzy ~u i ~v , to ~u · ~v = k~uk · k~vk cos ϕ oraz k~u × ~vk = k~uk · k~vk sin ϕ , bo pole
r´ownoleg loboku to iloczyn bok´ow i sinusa ka
,
ta mie
,
dzy nimi.
Zadania
1. 01
Znale´z´c odleg lo´s´c punkt´ow (
1
2
, −7) i (
7
2
, −3) .
1. 02
Znale´z´c odleg lo´s´c punkt´ow (
1
2
, −7, −9) i (
7
2
, −3, 3) .
1. 03
Niech A = (a
1
, a
2
) , B = (b
1
, b
2
) i C = (0, 0) . Korzystaja
,
c z twierdzenia
Pitagorasa udowodni´c, ˙ze ka
,
t mie
,
dzy bokami AC i BC tr´ojka
,
ta ABC jest
prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0 .
1. 04
Niech A = (a
1
, a
2
, a
3
) , B = (b
1
, b
2
, b
3
) i C = (0, 0, 0) . Korzystaja
,
c z twierdze-
nia Pitagorasa udowodni´c, ˙ze ka
,
t mie
,
dzy bokami AC i BC tr´ojka
,
ta ABC jest
prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0
1. 05
Znale´z´c r´ownanie prostej r´ownoleg lej do prostej x − 7y + 5 = 0 przechodza
,
cej
przez punkt (1, 1) .
1. 06
Znale´z´c odleg lo´s´c punktu (1, 1) od prostej x − 7y + 5 = 0 .
1. 07
Jaki warunek spe lniaja
,
liczby a, b , je´sli wektor [a, b] jest prostopad ly do wekto-
ra [3, −5] ?
1. 08
Jaki warunek spe lniaja
,
liczby a, b, c , je´sli wektor [a, b, c] jest prostopad ly do
wektora [1, 2, 3] ?
1. 09
Jaki warunek spe lniaja
,
liczby a, b, c , je´sli wektor [a, b, c] jest prostopad ly do
wektor´ow [1, 2, 3] i [3, 2, 1] ?
1. 10
Czy punkty (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) le˙za
,
na jednej prostej?
1. 11
Czy punkty (1, 2) , (2, 4) , (3, 9) le˙za
,
na jednej prostej?
1. 12
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach (3, 5) , (5, 8) i (0, 0) . Czy ten tr´ojka
,
t jest
prostoka
,
tny, ostroka
,
tny czy rozwartoka
,
tny?
1. 13
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach (3, 5, 8) , (5, 8, 13) i (0, 0, 0) .
6
Elementy geometrii analitycznej
Micha l Krych
1. 14
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1) i (10, −5, −1) . Czy
ten tr´ojka
,
t jest prostoka
,
tny, ostroka
,
tny czy rozwartoka
,
tny?
1. 15
Znale´z´c ´srodek okre
,
gu opisanego na tr´ojka
,
cie o wierzcho lkach (2, 1) , (5, 5)
i (1, 8) ? Czy ten tr´ojka
,
t jest prostoka
,
tny, ostroka
,
tny czy rozwartoka
,
tny?
1. 16
Znale´z´c ´srodek okre
,
gu opisanego na tr´ojka
,
cie o wierzcho lkach (2, 1) , (3, 5)
i (8, 13) ? Czy ten tr´ojka
,
t jest prostoka
,
tny, ostroka
,
tny czy rozwartoka
,
tny?
1. 17
Znale´z´c punkt, w kt´orym przecinaja
,
sie
,
wysoko´sci tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach
(2, 1) , (3, 5) oraz (8, 13) .
1. 18
Znale´z´c punkt przecie
,
cia ´srodkowych tr´ojka
,
ta (´srodek cie
,
˙zko´sci) o wierzcho lkach
(2, 1) , (3, 5) i (8, 13) .
1. 19
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja
,
cej naste
,
puja
,
ce trzy punkty (3, −1, 2) ,
(0, 2, 1) i (−3, 2, 2) .
1. 20
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja
,
cej naste
,
puja
,
ce trzy punkty (−1, 2, 0) ,
(0, 3, 1) i (10, −5, −1) .
1. 21
Znale´z´c ´srodek okre
,
gu opisanego na tr´ojka
,
cie o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1)
i (10, −5, −1) .
1. 22
Znale´z´c punkt przecie
,
cia wysoko´sci tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1)
i (10, −5, −1) .
1. 23
Znale´z´c punkt przecie
,
cia ´srodkowych tr´ojka
,
ta (´srodek cie
,
˙zko´sci), kt´orego wierz-
cho lkami sa
,
punkty (−1, 2, 0) , (0, 3, 1) i (10, −5, −1) .
1. 24
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny przechodza
,
cej przez punkty (2, 7, −1) i (4, 1, 2)
r´ownoleg lej do wektora (1, 0, 0) . Ile jest takich p laszczyzn?
1. 25
Wykaza´c, ˙ze ~x · (~y · ~z) = (~x · ~y) · ~z wtedy i tylko wtedy, gdy wektory ~x i ~z sa
,
r´ownoleg le albo oba wektory ~x i ~z sa
,
prostopad le do wektora ~y .
1. 26
Znale´z´c odleg lo´s´c punktu 0 = (0, 0, 0) od p laszczyzny 4x − 3y + 12z − 39 = 0 .
1. 27
Znale´z´c odleg lo´s´c punktu A = (−1, 3, 1) od p laszczyzny 4x − 3y + 12z − 39 = 0 .
1. 28
Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek AB w stosunku:
1 : 1 ,
1 : 3 ,
2 : 3 ,
je´sli A = (1, −2, 3) ,
B = (21, −22, −37) .
1. 29
Znale´z´c iloczyn wektorowy ~v × ~
w wektor´ow ~v = [1, 2, 3] i ~
w = [1, −2, 3] .
1. 30
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu, kt´orego wierzcho lkami sa
,
punkty A = (1, 2, 0) ,
B = (4, 3, 0) , C = (1, 1, 1) i D = (2, 3, 1) .
1. 31
Znale´z´c ´srodek kuli opisanej na czworo´scianie o wierzcho lkach A = (1, 2, 0) ,
B = (4, 3, 0) , C = (1, 1, 1) i D = (2, 3, 1) .
1. 32
Znale´z´c ka
,
t mie
,
dzy p laszczyznami 2x − y − z − 1 = 0 i x + y − 2z = 0 .
7