Regresja, kowariancja, korelacja
Zakres teorii:
•
regresja I i II rodzaju
•
współczynnik kowariancji
•
współczynnik korelacji
Zadania:
Zad 1. Zmienne X i Y związane są zależnością funkcyjną Y=X
2
. Zmienna losowa X przyjmuje wartości –1, 0 , 1 każdą z
jednakowym prawdopodobieństwem równym 1/3. Sprawdzić czy zmienne są skorelowane.
Zad 2. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość
≤
≤
∧
≤
≤
+
=
.
.
0
2
0
1
0
)
2
(
2
,
0
)
,
(
p
p
w
y
x
y
x
y
x
f
Znaleźć proste regresji drugiego rodzaju oraz kąt jaki tworzą nożyce korelacyjne.
Zad 3. Czy zmienne X i Y są skorelowane, jeśli funkcja gęstości jest postaci
(
)
+
−
=
2
2
2
1
exp
2
1
)
,
(
y
x
y
x
f
π
?
Zad 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o gęstości
≤
≤
∧
≤
≤
+
=
.
.
0
2
0
1
0
)
2
(
2
,
0
)
,
(
p
p
w
y
x
y
x
y
x
f
Wyznaczyć równanie linii regresji I rodzaju zmiennej Y względem X oraz zmiennej X względem Y.
Zad 5. Obliczyć
a)
kowariancję
b)
współczynnik korelacji
dwuwymiarowej zmiennej losowej, której rozkład podany jest w tabeli.
Y\X
-2
-4
2
3
5
-1
0,06
0,1
0,04 0,08 0,02
-2
0,04 0,01
0
0,15
0
4
0,1
0,06 0,06 0,08
0
6
0
0
0,02
0,1
0,08
Zad 6. Jaki warunek muszą spełniać zmienne losowe X i Y, aby D
2
(X,Y)=D
2
(X)+D
2
(Y)?
Zad 7. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład podany w tabeli.
Y\X
5
6
7
0
0
0
0,1
1
0,1
0,2
0,1
2
0,3
0,1
0,1
Wyznaczyć i naszkicować wykresy prostych regresji II rodzaju.
Zad 8. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość
≤
≤
≤
≤
−
=
.
.
0
1
0
,
2
0
)
,
(
p
p
w
y
x
dla
xy
x
y
x
f
Znaleźć proste regresji drugiego rodzaju oraz kąt jaki tworzą nożyce korelacyjne.
Zad 9. Napisać gęstość rozkładu normalnego, dla którego wektor wartości oczekiwanych jest wektorem zerowym, a macierz
momentów centralnych rzędu drugiego jest postaci:
4
2
2
7