Sterowalność – układ dynamiczny nazywamy sterowalnym jeżeli dla 

każdego t0 istnieje takie sterowanie u(t) które spowoduję w 
skończonym przedziale czasu zmianę dowolnego stanu 

początkowego x(t0) w dowolny stan końcowy. Warunkiem koniecznym 
i dostatecznym sterowalności stacjonarnego układu liniowego jest 

aby rząd macierzy sterowalności Qs = [A AB A^2B ... A^n-1B] był 
równy wymiarowi wektora stanu.

Rozmiar macierzy – w przestrzeni stanów, determinuje: ilość 
stanów(n) ilość wejść(r) ilość wyjść(m) A-macierz stanu(nxn) 

B-macierz wejścia(nxr) C-macierz wyjścia(mxn) 
D-macierz transmisji(mxr)

Równania stanu z transmitancji

G(s)=1/(s+x1)(s+x2)(s+x3)
x'(t)=[x1 0 0 ; 0 x2 0 ; 0 0 x3]x(t) + [1 ; 1 ; 1]u(t)

rozbijamy transmitancje na ułamki proste 
C1/s+x1 + C2/s+x2 +C3/s+x3 = G(s)

y=[C1 C2 C3]x(t)

Równania stanu 
P<n-1

x'(t)=[0 1 0 ; 0 0 1 ; a1 a2 a(n-1)]x(t) + [0;0;1]u(t)
y(t)=[b0 b1 b(n-1)]x(t)

P<n

x'(t)=[0 1 0 ; 0 0 1 ; a1 a2 a(n-1)]x(t) + [B1;B2;B3]u(t)
y(t)=[1 0 0]x(t) + [B0]u(t)

B0=b_n               B1=b_(n-1)-a_(n-1)B0
B2=b_(n-2)-a_(n-2)B0-a_(n-1)B1

B2=b_(n-3)-a_(n-3)B0-a_(n-2)B1-a_(n-1)B2

Obserwowalność – układ dynamiczny nazywamy obserwowalnym 

jeżeli dla każdego t0 możemy określić stan układu x(t0) na 
podstawie znajomości sterowania u(t) i wyjścia y(t) w skończonym 

przedziale czasu. Warunkiem koniecznym i dostatecznym 
obserwowalności układu liniowego jest aby rząd macierzy 

obserwowalności Qo= [C CS ... C^n-1A]' był równy wymiarowi 
wektora stanu. 

M-file

A=[];B=[];C=[];D=[]
eig(A) %wartości własne

Qs=ctrb(A,B)
rank(Qs) %rząd macierza

[A1,B1,C1,T]=ctrbf(A,B,C)
p=[]

K=place(A,B,p) %wzmocnienie
Ac=(A-B*K) macierz po zmianie wartości własnych

prawo sterowania

∣

A− I∣wyznaczanie wartości własnych macierza A

wykreślamy kolumny i układamydo macierza V
u t =k⋅w

i

T

⋅

x t 

w = V

−

1



t

transponowanamacierz diagonalizacji

p

i

=

W

i

T

⋅

B

k =



i

−

i

p

i

lambda i -wartości własne które chcemy zmienić

ro i – wartości własne na które zmieniamy