Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Krzysztof Marzjan
Podstawowe problemy automatyki
Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Krzysztof Marzjan
Podstawowe problemy automatyki
2
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Problem 1
Dla nieobciążonego czwórnika przedstawionego na rysunku wyznacz:
1.
opis układu (równanie stanu, równanie wyjścia),
2. schemat blokowy,
3. tra
nsmitancję operatorową,
4.
odpowiedź impulsową
)
(t
g
,
5.
odpowiedź jednostkową
)
(t
h
,
6.
charakterystykę amplitudowo – fazową,
7.
logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe.
1.
Do wyznaczenia opisu wykorzystana będzie zależność:
)
(
1
)
(
)
(
)
(
t
i
C
dt
t
du
dt
t
du
C
t
i
C
C
C
C
prąd w kondensatorze wyznacza się jako funkcje napięć: wejściowego (sterowanie) i na
kondensatorze (zmienna stanu)
oraz parametrów czwórnika, tzn:
)
,
(
)
(
1
1
u
u
f
t
i
C
C
.
Napięcie
)
(
2
t
u
(
sygnał wyjściowy) –
)
,
(
)
(
1
2
2
u
u
f
t
u
C
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
C
R
3
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Ponieważ czwórnik jest nieobciążony prąd płynący przez kondensator jest równy:
)
(
)
(
1
)
(
2
1
t
u
t
u
R
t
i
C
Z oczek zaznaczonych obok, można zapisać:
)
(
)
(
2
)
(
1
t
u
t
Ri
t
Ri
C
C
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
t
i
t
i
R
t
Ri
t
u
C
)]
(
)
(
2
[
5
1
)
(
)
(
)
(
2
)
(
5
0
)
(
)
(
)
(
2
)
(
4
0
)
(
)
(
2
)
(
2
0
)
(
)
(
2
)
(
1
1
1
1
1
1
t
u
t
u
R
t
i
t
u
t
u
t
Ri
t
Ri
t
u
t
u
t
Ri
t
Ri
t
Ri
t
u
t
u
t
Ri
t
Ri
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Po podstawieniu wyznaczonej
zależności do równania:
)
(
1
)
(
t
i
C
dt
t
du
C
C
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
C
R
R
u
u
i
c
2
1
1
i
4
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Otrzymuje się:
)]
(
)
(
2
[
5
1
)
(
1
t
u
t
u
RC
dt
t
du
C
C
i ostatecznie równanie stanu jest postaci:
)
(
5
1
)
(
5
2
)
(
1
t
u
RC
t
u
RC
dt
t
du
C
C
równanie wyjścia:
)
(
5
4
)
(
5
2
)
(
)
(
)]
(
)
(
2
[
5
1
)
(
1
2
1
1
2
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
R
R
t
u
C
C
ostatecznie
)
(
5
4
)
(
5
2
)
(
)
(
5
1
)
(
5
2
)
(
1
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u
RC
t
u
RC
dt
t
du
C
C
C
2. Schemat blokowy
Równania zapisane powyżej są równaniami sumatorów
RC
5
2
+
u
2
(t)
+
dt
du
C
u
C
(t)
u
C
(0
+
)
5
2
+
+
RC
5
1
u
1
(t)
5
4
5
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
3. Transmitancja operatorowa
5
4
;
5
2
;
5
1
;
5
2
D
C
RC
B
RC
A
2
5
2
4
)
2
5
(
5
8
20
2
5
4
)
2
5
(
5
2
5
4
5
2
25
2
5
4
5
1
5
2
5
2
)
(
)
(
1
1
RCs
RCs
RCs
RCs
RCs
RC
s
RC
RC
RC
s
D
B
A
sI
C
s
G
6
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
4.
Odpowiedź impulsowa:
)
(
)
(
1
s
G
t
g
RC
s
RC
RC
s
RC
s
RCs
RCs
s
G
5
2
10
1
1
5
4
5
2
2
1
5
4
2
5
2
4
)
(
)
(
1
25
2
)
(
5
4
5
2
t
e
RC
t
t
g
t
RC
Dla ustalenia uw
agi przyjmuje się:
2
5RC
T
stąd
)
(
1
5
1
)
(
5
4
t
e
T
t
t
g
T
t
L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1/5T
t/T
g
(t
)
odpowiedź impulsowa
1/5Texp(-t/T)
4/5
(t)
7
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
5.
Odpowiedź jednostkowa:
RC
s
s
RC
s
RC
s
s
RC
s
RCs
s
RCs
s
s
G
t
h
5
2
5
2
4
5
5
4
5
2
2
1
5
4
)
2
5
(
2
4
)
(
)
(
1
1
1
1
T
s
A
s
A
T
s
s
T
s
t
h
1
5
4
1
4
5
5
4
)
(
2
1
1
1
4
1
4
5
4
5
1
4
5
1
2
0
1
T
s
s
s
T
s
A
T
s
T
s
A
)
(
1
5
1
1
)
(
t
e
t
h
T
t
5
4
5
1
1
)
0
(
h
1
)
(
h
L
L
L
L
L
L
8
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
odpowiedź jednostkowa
t/T
h
(t
)
9
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
6.Charakterystyka amplitudowo
– fazowa
Postać wykładnicza transmitancji widmowej
1
1
5
4
1
2
5
1
2
5
5
4
2
5
2
4
)
(
Tj
Tj
j
RC
j
RC
RCj
RCj
j
G
2
5RC
T
arctgT
T
arctg
j
e
T
T
j
G
5
4
2
2
2
2
1
1
25
16
)
(
Postać algebraiczna transmitancji widmowej
25
25
5
)
(
25
25
20
25
)
(
25
25
5
20
25
)
5
5
(
)
5
5
(
)
5
5
(
)
5
4
(
5
5
5
4
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
Q
T
T
P
T
jT
T
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
j
G
Równanie charakterystyki amplitudowo – fazowej
25
25
25
16
1
1
25
16
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
Q
P
10
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
4
)
(
5
)
(
1
5
)
(
25
25
20
)
(
25
20
25
)
(
)
25
25
(
25
25
20
25
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
P
T
P
P
T
P
T
T
P
T
T
T
T
P
100
)
(
125
)
(
125
125
100
)
(
125
)
(
80
80
25
4
)
(
5
)
(
1
5
25
25
4
)
(
5
)
(
1
5
16
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
P
P
P
P
P
T
P
T
P
T
P
T
Q
P
5
4
)
(
5
9
)
(
)
(
2
2
P
Q
P
2
2
2
10
1
)
(
10
9
)
(
Q
P
0
)
(
0
)
(
Q
P
0
)
0
(
1
)
0
(
Q
P
5
4
lim
P
0
lim
Q
4/5
9/10
1
-1/10
0
Re[G(j
)]
Im
[G
(j
)]
charakterystyka amplitudowo-fazowa
charakterystyka
=0
11
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
7.Charakterystyki: amplitudowo
– częstotliwościowa i fazowo – częstotliwościowa.
Równanie charakterystyki amplitudowo – częstotliwościowej
1
log
20
1
25
16
log
20
1
1
25
16
log
20
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
L
1
25
16
log
20
)
(
2
2
1
T
L
1
log
20
)
(
2
2
2
T
L
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-30
-20
-10
0
10
20
30
T
L(
)=
2
0
lo
g
[A
(
)]
składowe charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej
L
1
(
)
L
2
(
)
1
T=5/4
2
T=1
12
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Równanie charakterystyki fazowo – częstotliwościowej
arctgT
T
arctg
5
4
)
(
T
arctg
5
4
)
(
1
arctgT
)
(
2
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
45
90
T
(
)
składowe charakterystyki fazowo-częstotliwościowej
1
(
)
2
(
)
1
T=5/4
2
T=1
13
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
0
1
log
20
)
(
lim
0
L
dB
L
2
5
4
log
20
)
(
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
1
16
25
20
1
1
5
4
25
16
1
1
)
(
T
T
T
T
T
T
T
T
)
1
(
)
16
25
(
)
16
25
(
)
1
(
20
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
T
T
0
)
16
25
(
)
1
(
20
2
2
2
2
T
T
T
T
0
16
25
20
20
2
2
2
2
T
T
5
4
2
2
T
T
2
5
2
5
T
0
2
2
4
,
6
20
5
4
5
20
25
2
5
5
20
25
5
arctg
arctg
T
T
arctg
min
14
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-2dB
0
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
T
L(
)=
2
0
lo
g
[A
(
)]
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-6,4
0
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
T
(
)
min
min
15
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Problem 2
Dla nieobciążonego czwórnika przedstawionego na rysunku
wyznacz:
1.
opis układu (równanie stanu, równanie wyjścia),
2. schemat blokowy,
3.
transmitancję operatorową,
4.
odpowiedź impulsową
)
(t
g
,
5.
odpowiedź jednostkową
)
(t
h
,
6. charakt
erystykę amplitudowo – fazową,
7.
logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe.
1.
Do wyznaczenia opisu wykorzystana będzie zależność:
)
(
1
)
(
)
(
)
(
t
u
L
dt
t
di
dt
t
di
L
t
u
L
L
L
L
prąd w kondensatorze wyznacza się jako funkcje: napięcia wejściowego (sterowanie) i prądu
w cewce
(zmienna stanu) oraz parametrów czwórnika, tzn:
)
,
(
)
(
1
1
u
i
f
t
u
L
L
.
Napięcie
)
(
2
t
u
(
sygnał wyjściowy) –
)
,
(
)
(
1
2
2
u
i
f
t
u
L
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
L
R
16
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Ponieważ czwórnik jest nieobciążony prąd płynący przez cewkę jest równy:
)
(
)
(
3
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
)
(
2
1
2
1
2
1
t
u
t
u
R
t
u
t
u
R
t
u
t
u
R
t
i
L
Równanie wyjścia
)
(
)
(
3
1
)
(
1
2
t
u
t
Ri
t
u
L
)
(
3
)
(
3
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
2
1
1
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
L
)
(
)
(
3
5
)
(
4
)
(
5
)
(
3
5
)
(
1
1
1
t
u
t
Ri
t
u
t
u
t
Ri
t
u
L
L
L
Po podstawieniu wyznaczonej
zależności do równania:
)
(
1
)
(
t
u
L
dt
t
di
L
L
Otrzymuje się:
)
(
1
)
(
3
5
)
(
1
t
u
L
t
i
L
R
dt
t
di
L
L
u
1
(t)
u
2
(t)
R
R
R
L
R
R
t
u
t
u
)
(
)
(
2
2
1
R
t
u
t
u
)
(
)
(
2
1
17
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Otrzymano równania
)
(
1
)
(
3
5
)
(
1
t
u
L
t
i
L
R
dt
t
di
L
L
)
(
)
(
3
1
)
(
1
2
t
u
t
Ri
t
u
L
2. Schemat blokowy
Równania zapisane powyżej są równaniami sumatorów
3. Transmitancja operatorowa
1
;
3
1
;
1
;
3
5
D
R
C
L
B
L
R
A
5
3
4
3
1
5
3
1
1
3
5
3
1
1
1
3
5
3
1
)
(
)
(
1
1
R
L
R
L
R
L
L
R
s
L
R
L
L
R
s
R
D
B
A
sI
C
s
G
L
1
L
R
3
5
u
1
(t)
i
L
(t)
u
2
(t)
+
+
i
L
(0
+
)
dt
di
L
R
3
1
+
+
18
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
R
L
T
Ts
Ts
T
s
T
s
L
R
s
L
R
s
s
R
L
s
R
L
s
G
5
3
;
1
1
4
5
5
4
1
5
4
3
5
3
4
5
3
4
3
)
(
4. Odpo
wiedź impulsowa
T
s
T
s
s
G
t
g
1
5
4
)
(
)
(
1
1
T
s
T
t
g
1
5
1
1
)
(
1
)
(
1
5
1
)
(
)
(
t
e
T
t
t
g
T
t
0
0.6
1.2
1.8
2.4
3
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
g(t)
t
L
L
L
19
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
5. O
dpowiedź jednostkowa
T
s
A
s
A
T
s
s
T
s
s
s
G
t
h
1
1
5
4
)
(
)
(
2
1
1
1
1
5
1
5
4
5
4
1
5
4
1
2
0
1
T
s
s
s
T
s
A
T
s
T
s
A
)
(
1
5
1
5
4
)
(
t
e
t
h
T
t
1
5
1
5
4
)
0
(
h
5
4
)
(
h
L
L
L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
odpowiedź jednostkowa
t/T
h
(t
)
20
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
6. Charakterystyka amplitudowo
– fazowa
Postać wykładnicza transmitancji widmowej
1
1
4
5
5
4
)
(
Tj
Tj
j
G
arctgT
T
arctg
j
e
T
T
j
G
4
5
2
2
2
2
1
1
16
25
5
4
)
(
Postać algebraiczna transmitancji widmowej
25
25
5
)
(
25
25
25
20
)
(
25
25
5
25
20
)
5
5
(
)
5
5
(
)
5
5
(
)
4
5
(
5
5
4
5
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
Q
T
T
P
T
jT
T
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
Tj
j
G
Równanie charakterystyki amplitudowo – fazowej
25
25
16
25
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
T
T
Q
P
21
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
25
)
(
25
)
(
25
20
)
(
25
20
25
)
(
25
25
20
)
(
)
25
25
(
2
2
2
2
2
2
2
2
P
P
T
P
P
T
T
P
T
125
)
(
225
100
625
)
(
625
)
(
625
500
400
)
(
400
)
(
625
500
25
25
)
(
25
)
(
25
20
25
16
25
)
(
25
)
(
25
20
25
)
(
)
(
2
2
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Q
P
5
4
)
(
5
9
)
(
)
(
2
2
P
Q
P
2
2
2
2
2
10
1
)
(
10
9
)
(
5
4
100
81
)
(
10
9
)
(
Q
P
Q
P
0
)
(
0
)
(
Q
P
4/5
9/10
1
0
1/10
Re[G(j
)]
Im
[G
(j
)]
charakterystyka amplitudowo-fazowa
charakterystyka
=0
22
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
7. Charakterystyki: amplitudowo
– częstotliwościowa i fazowo – częstotliwościowa.
1
log
20
1
16
25
log
20
5
4
log
20
1
1
16
25
5
4
log
20
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
L
5
4
log
20
)
(
1
L
1
16
25
log
20
)
(
2
2
2
T
L
1
log
20
)
(
2
2
3
T
L
0
1
log
20
lim
2
5
4
log
20
lim
0
L
dB
L
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-30
-20
-10
0
10
20
30
T
L(
)=
2
0
lo
g
[A
(
)]
składowe charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej
L
1
(
)
L
2
(
)
L
3
(
)
2
T=4/5
3
T=1
23
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Równanie charakterystyki fazowej
arctgT
T
arctg
4
5
)
(
T
arctg
4
5
)
(
1
arctgT
)
(
2
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
45
90
T
(
)
składowe charakterystyki fazowo-częstotliwościowej
1
(
)
2
(
)
1
T=4/5
2
T=1
24
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
2
2
2
2
2
2
2
2
1
25
16
20
1
1
4
5
16
25
1
1
)
(
T
T
T
T
T
T
T
T
)
1
(
)
25
16
(
)
25
16
(
)
1
(
20
1
25
16
20
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
0
)
25
16
(
)
1
(
20
2
2
2
2
T
T
T
T
0
25
16
20
20
2
2
2
2
T
T
4
5
2
2
T
T
5
5
2
5
5
2
T
0
2
2
4
,
6
20
5
25
20
25
20
5
5
2
5
25
20
5
arctg
arctg
T
T
arctg
max
25
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-2dB
0
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
T
L(
)=
2
0
lo
g
[A
(
)]
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
6,4
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
T
(
)
max
max
26
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Problem 3
Dla nieobciążonego czwórnika przedstawionego na rysunku wyznacz:
1.
opis w przestrzeni stanów
2.
transmitancję operatorową.
Opis w przestrzeni stanów
Do wyznaczenia opisu w przestrzeni stanów wykorzystane będą zależności:
dt
di
L
u
L
L
oraz
dt
du
C
i
C
C
Oznacza to, że za zmienne stanu przyjęto i
L
oraz u
C
.
Poszukuje się opisu postaci:
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
u
D
u
i
C
u
u
B
u
i
A
u
i
dt
d
x
C
L
x
x
C
L
x
C
L
Czyli
C
C
L
L
i
C
dt
du
u
L
dt
di
1
1
i=0
u
1
(t)
u
2
(t)
R
C
R
R
L
u
D
x
C
y
u
B
x
A
x
dt
d
qxr
qxn
nxr
nxn
x
dt
d
x
27
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Wobec tego należy obliczyć
)
,
,
(
1
1
u
u
i
f
u
C
L
L
i
)
,
,
(
1
2
u
u
i
f
i
C
L
C
oraz
)
,
,
(
1
3
2
u
u
i
f
u
C
L
wykorzystując do tego celu
prawa Kirchhoffa.
Zależność
)
,
,
(
1
3
2
u
u
i
f
u
C
L
wyznacza się z zewnętrznego oczka:
0
2
1
u
u
u
C
Stąd otrzymuje się równanie wyjścia:
1
2
u
u
u
C
1
1
1
2
1
2
1
1
0
u
u
i
u
x
C
L
x
Kolejne zależności:
0
)
(
1
L
L
C
L
u
Ri
i
i
R
u
0
2
L
L
C
u
Ri
Ri
u
Uwzględniając w ostatniej zależności
1
2
u
u
u
C
, otrzymuje się układ dwóch
równań z dwiema niewiadomymi
C
L
i
u ,
L
C
C
L
L
C
L
Ri
u
u
Ri
u
Ri
u
Ri
u
1
1
2
Dodając do siebie te równania otrzymuje się:
C
L
L
u
Ri
u
u
3
2
2
1
u
1
(t)
u
2
(t)
R
C
R
R
L
i
L
u
1
(t)
u
2
(t)
R
C
R
R
L
i=0
i
C
i
L
- i
C
28
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
A odejmując od drugiego pierwsze:
L
C
C
Ri
u
Ri
2
Po uporządkowaniu
C
L
C
C
L
L
u
R
i
i
u
u
Ri
u
2
1
2
1
2
1
2
3
1
I podstawieniu do zależności
C
C
L
L
i
C
dt
du
u
L
dt
di
1
1
C
L
C
C
L
L
u
RC
i
C
dt
du
u
L
u
L
i
L
R
dt
di
2
1
2
1
1
2
1
2
3
1
1
1
2
2
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
3
u
L
u
i
RC
C
L
L
R
u
i
dt
d
x
C
L
x
C
L
1
1
1
2
1
2
1
1
0
u
u
i
u
x
C
L
x
29
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
0
1
;
2
1
2
1
2
1
2
3
L
B
RC
C
L
L
R
A
1
;
1
0
D
C
Kolejne równania stanu są równaniami
odpowiednich sumatorów
1
1
2
1
2
3
u
L
u
L
i
L
R
dt
di
C
L
L
C
L
C
u
RC
i
C
dt
du
2
1
2
1
I także równanie wyjścia
1
2
u
u
u
C
L
1
L
R
2
3
RC
2
1
+
u
1
(t)
i
L
(t)
u
2
(t)
L
2
1
+
C
2
1
+
+
+
i
L
(0
+
)
dt
di
L
dt
du
C
u
C
(t)
u
C
(0
+
)
1
+
+
30
Podstawowe problemy automatyki
– sposoby opisu układów liniowych ciągłych
Transmitancja operatorowa:
1
4
1
2
1
2
3
0
1
2
3
2
1
2
1
2
1
1
0
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
0
)
(
)
(
1
1
LC
RC
s
L
R
s
L
L
R
s
C
L
RC
s
L
RC
s
C
L
L
R
s
D
B
A
sI
C
s
G
LC
s
RC
L
R
s
LC
s
RC
L
R
s
LC
s
RC
L
R
s
LC
LC
s
RC
L
R
s
L
L
R
s
C
s
G
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
1
1
2
1
2
3
2
1
1
1
2
1
2
3
0
1
2
3
2
1
)
(
2
2
2
2