Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
28
3.2. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG
ARYTMETYCZNY
R
1
, R
2
, . . . , R
n
- kolejne raty renty
{R
j
} – ciąg arytmetyczny
(51)
R
j
=R
1
+(j-1)b
gdzie:
R
j
– j-ta rata renty,
R
1
– pierwsza rata,
b – różnica ciągu arytmetycznego rat.
Założenia: a) R
j
= R
1
+ (j–1)b dla j = 2,. . . , n
b) renta zgodna płatna z dołu
Wartość początkowa renty arytmetycznej
v=(1+i)
-1
– czynnik dyskontujący
R
(0)
= R
1
v+R
2
v
2
+R
3
v
3
+ ... +R
n
v
n
Po podstawieniu do (51)
R
(0)
= R
1
v+ (R
1
+ b)v
2
+ (R
1
+2b)v
3
+ ...+ (R
1
+(n-1)b)v
n
(52)
(1+i)R
(0)
=R
1
+(R
1
+ b)v+ (R
1
+2b)v
2
+ ...+ (R
1
+(n-1)b)v
n-1
(53)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
29
Ode jmując (52) od (53) otrzymujemy
iR
(0)
= R
1
+ b(v + v
2
+ v
3
+ ...+ v
n-1
) – R
1
v
n
– (n–1)bv
n
iR
(0)
= R
1
(1– v
n
) + b(v +v
2
+ v
3
+ ...+v
n-1
) – nbv
n
iR
(0)
= R
1
(1– v
n
) + b
|
n
a - nbv
n
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
i
nv
a
b
i
v
1
R
R
n
|
n
n
1
)
0
(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
i
nv
a
b
a
R
R
n
|
n
|
n
1
)
0
(
(54)
Wartość końcowa renty arytmetycznej
R
(n)
= R
(0)
(1+i)
n
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
=
i
n
s
b
s
R
R
|
n
|
n
1
)
n
(
(55)
Przykład 7.
Obliczyć wartość rat leasingowych tworzących ciąg arytme-
tyczny, jeżeli:
-
wartość początkowa rat R
(0)
= 3000zł
-
pierwsza rata R
1
= 500zł
-
roczna stopa procentowa i=0,2 (20%)
-
okres dzierżawy 10 lat
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
30
R
(0)
= 3000zł; R
1
= 500zł;
2
,
0
10
a
⏐
=4,1925
V
10
= (1+0,2)
-10
= 0,1615; n=10; i=0,2
Podstawiając do równania (54) mamy:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
+
⋅
=
2
,
0
1615
,
0
10
1925
,
4
b
1925
,
4
500
300
b = 70,13
R
1
= 500zł; R
2
= 570,13zł R
3
= 640,26, ... R
10
= 1131,17zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna
E
n
= E(1+i)
n
– R
(n)
Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
=
i
n
s
b
s
R
)
i
1
(
E
E
|
n
|
n
1
n
n
(56)
Przykład 8
Jaki fundusz emerytalny należy zgromadzić aby zapewnić so-
bie wypłacanie renty rocznej płatnej z dołu w wysokości 1; 1,2;
1,4; ... 3,8 tys. zł przez 15 lat. Roczna stopa procentowa i=0,2
(1+0,2)
15
= 15,407;
0351
,
72
s
2
,
0
15
=
⏐
; i=0,2; n=15; R
1
= 1
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
31
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
−
⋅
=
2
,
0
15
0351
,
72
2
,
0
0351
,
72
1
407
,
15
E
0
E
≈
8377,37
☺☺☺☺☺☺☺☺
Renta arytmetyczna rosnąca
R
1
= 1; b = 1
R
1
= 1; R
2
= 2; R
3
= 3; ... R
n
= n
Wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej
increase
-
I
;
i
nv
a
a
)
Ia
(
n
|
n
|
n
|
n
−
+
=
(57)
i
nv
a
)
Ia
(
n
|
n
|
n
−
= &&
(58)
gdzie:
|
n
)
Ia
(
- wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej
Wartość końcowa renty arytmetycznej rosnącej
i
n
s
s
)
Is
(
|
n
|
n
|
n
−
+
=
(59)
i
n
s
)
Is
(
|
n
|
n
−
= &&
(60)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
32
Przykład 9.
Obliczyć wartość początkową i końcową renty arytmetycznej
rosnącej płatnej z dołu przez 10 okresów bazowych i oprocen-
towanej na 20%.
2
,
0
10
a
⏐
=4,1925;
9587
,
25
s
2
,
0
10
=
⏐
; (1+0,2)
-10
= 0,1615
08
,
17
2
,
0
1615
,
0
10
1925
,
4
1925
,
4
)
Ia
(
2
,
0
10
≈
⋅
−
+
=
⏐
79
,
79
2
,
0
10
9587
,
25
9587
,
25
)
Is
(
2
,
0
10
≈
−
+
=
⏐
☺☺☺☺☺☺☺☺
Renta arytmetyczna malejąca
R
1
= 1; b = –1
R
1
= n; R
2
= n–1; R
3
= n–2; ... R
n
= 1
Wartość początkowa renty arytmetycznej malejącej
dicrease
-
D
;
i
nv
a
)
1
(
na
)
Da
(
n
|
n
|
n
|
n
−
−
+
=
(61)
i
a
n
)
Da
(
|
n
|
n
−
=
(62)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
33
gdzie:
|
n
)
Da
(
- wartość początkowa renty arytmetycznej malejącej
Wartość końcowa renty arytmetycznej malejącej
n
|
n
|
n
)
i
1
(
)
Da
(
)
Ds
(
+
=
i
s
)
i
1
(
n
)
Ds
(
|
n
n
|
n
−
+
=
(63)
Przykład 10.
Obliczyć wartość początkową i końcową renty arytmetycznej
malejącej płatnej przez 10 lat z dołu. Stopa procentowa i=0,02
(20%)
2
,
0
10
a
⏐
=4,1925;
9587
,
25
s
2
,
0
10
=
⏐
; (1+0,2)
10
= 6,1917
0375
,
29
2
,
0
1925
,
4
10
)
Da
(
10
≈
−
=
⏐
7915
,
179
2
,
0
9587
,
25
1917
,
6
10
)
Ds
(
10
≈
−
⋅
=
⏐
☺☺☺☺☺☺☺☺
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
34
Wartości początkowe rent arytmetycznych nieskończonych
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
=
∞
→
∞
→
∞
i
nv
a
b
a
R
lim
R
lim
R
n
|
n
|
n
1
n
)
0
(
n
)
0
(
0
nv
lim
,
i
1
a
lim
n
n
|
n
n
=
=
∞
→
∞
→
2
1
0
)
(
i
b
i
R
R
+
=
∞
(64)
gdzie:
- wartość początkowa renty arytmetycznej nie-
skończonej
0
)
(
R
∞
2
n
|
n
n
|
i
1
i
1
i
nv
a
lim
)
Ia
(
+
=
−
=
∞
→
∞
&&
0
nv
lim
,
i
1
1
a
lim
n
n
|
n
n
=
+
=
∞
→
∞
→
&&
2
|
i
1
i
1
)
Ia
(
+
=
∞
(65)